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Tópicos de resoluçao da 2ª Frequência v
- Localize pelo método gráfico a solução da equação 1/(1+x^2) = x-1, num intervalo de amplitude um, e efetue três iterações do método da bissecção para aproximar a solução. Indique um majorante para o erro.
plot(1/(1+x^2),x-1)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
A soluçao da equaçao pertence ao intervalo [1,2].
f(x):=1/(1+x^2)-x+1:
n:=3: a:=1: b:=2: for k from 1 to n do c:=(a+b)/2: va:=evalAt(f(x),x=a): vc:=evalAt(f(x),x=c): if vc= then k:=n+ elif va*vc< then b:=c else a:=c end end_for:
e:=(2-1)/2^3: // Erro do método print(Unquoted,"A soluçao é aproximadamente ".float(c)." com um erro de ".float(e)):
A soluçao é aproximadamente 1.375 com um erro de 0.
- Uma sonda de calor regista a temperatura T em graus Celsius, medida t segundos após a caldeira de um sistema de aquecimento estar ligada. Os resultados nos primeiros 30 segundos estão anotados na tabela.
t 0 15 30
T(t) 25.2 36.9 45.
Utilize todos os pontos da tabela para determinar o polinómio interpolador da função T e indique uma estimativa da temperatura ao fim de 20 segundos.
xList := [0,15,30]: yList := [25.2,36.9,45.5]: p := interpolate(xList, yList,x): print(NoNL,Unquoted,"O polinómio interpolador é dado por P(x)="): simplify(p(x));
DIGITS:=6: valor:= evalAt(simplify(p(x)),x=20):
print(Unquoted, "O valor de T(20) é aproximadamente P(20)=".float(valor)):
delete DIGITS:
O polinómio interpolador é dado por P(x)= − 0.006888888889 x^2 + 0.8833333333 x + 25. O valor de T(20) é aproximadamente P(20)=40.
- Aproxime pela regra de Simpson, com n=4, o integral da função f(x) = 0.1 ln(2/x) no intervalo [1,4]. Caso pretendesse usar a regra dos trapézios para aproximar o valor do integral com um erro inferior a 0.004, sabendo que max_{x\in[1,4]}|f''(x)|=0.1, quantos pontos precisaria de considerar no intervalo de integração?
f:=x->0.1*ln(2/x):
n:=4: a:=1: b:=4: h:=(b-a)/n: x:=a: s:=0: for i from 1 to n-1 do x:=x+h: if i mod 2= then s:=s+2f(x) else s:=s+4f(x) end_if end_for: IT:=h/3*(f(a)+s+f(b)):
DIGITS:=3: print(Unquoted, "O integral é aproximadamente ".float(IT)):
delete x,DIGITS:
O integral é aproximadamente -0.
delete n: ET(n):=(4-1)^30.1/(12n^2): solve(ET(n)<=0.004,n, Real) [7.5, ∞) ∪ ( − ∞, − 7.5]
Para aproximar o integral pela regra de trapézios, com um erro inferior a 0.004, teria de considerar n=8 subintervalos, ou seja, 9 pontos.
- Considere o problema de valor inicial v' = -2.5 sqrt(v), com v(0)=60. Determine uma aproximaçao para v(1.5) usando o método de Euler com h=0.5.
v:=60: t:=0: for i from 1 to 3 do v:=v-1.25sqrt(v); t:=0+0.5i; print(Unquoted,"t".i=t,"v".i~=float(v)) end_for:
DIGITS:=6: print(Unquoted, "O valor de v(1.5) é aproximadamente ".float(v)):
delete x,DIGITS:
t1 = 0.5, v1 ~= 50. t2 = 1.0, v2 ~= 41. t3 = 1.5, v3 ~= 33. O valor de v(1.5) é aproximadamente 33.
- Identifique o método numérico associado ao algoritmo.
