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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 3
a Frequˆencia do dia 6 de janeiro de 2014
- Calcule o integral
− 2
| 2 x − 4 | dx e indique o valor m´edio da fun¸c˜ao integranda no intervalo [− 2 , 3].
3
− 2
| 2 x − 4 | dx =
2
− 2
− 2 x + 4 dx +
3
2
2 x − 4 dx =
[
−x
2
] 2
− 2
[
x
2 − 4 x
] 3
2
A fun¸c˜ao integranda f (x) = | 2 x − 4 | ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [− 2 , 3], ent˜ao, o valor m´edio da fun¸c˜ao
´e dado por f (c) =
− 2
| 2 x − 4 | dx =
, em que c ∈] − 2 , 3[.
- Determine o valor do integral
∫ (^) π^2 / 4
0
cos(
x) dx efetuando a substitui¸c˜ao x = t 2 .
Considerando a substitui¸c˜ao x = t 2 , temos x ′ (t) = 2t e t =
x. Assim, t(0) = 0 e t(π 2 /4) = π/2. Integrando
por substitui¸c˜ao, obt´em-se:
∫ (^) π^2 / 4
0
cos(
x) dx =
∫ (^) π/ 2
0
cos(t) 2t dt = [sin(t) 2t]
π/ 2 0
∫ (^) π/ 2
0
2 sin(t) dt = π − [−2 cos(t)]
π/ 2 0 = π − 2.
- Considere a regi˜ao plana R limitada pelas curvas y =
x + 1
, y = x
2
(a) Represente a regi˜ao R e determine o valor da sua ´area.
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
Area =^ ´
0
x
2
x + 1
dx =
[
x
3
] 2
0
− ln | 3 |.
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao R em torno do eixo das abcissas.
Volumex = π
0
(x
2
2 dx − π
0
x + 1
dx = π
0
x
4
2
0
(x + 1)
− 2 dx
= π
[
x
5
2 x
3
] 2
0
− π
[
x + 1
] 2
0
= π
2 π
196 π
(c) Determine uma express˜ao que permita calcular:
i. O per´ımetro da regi˜ao.
Per´ımetro =
2
0
1 + 4x 2 dx +
2
0
(x + 1) 4
dx.
ii. O volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao de R em torno do eixo das ordenadas.
Volumey = π
1 / 3
2 dx − π
1 / 3
y
dy − π
1
y − 1
2 dy
= π
5
1 / 3
4 dx − π
1
1 / 3
y
dy − π
5
1
y − 1 dy.
- Resolva apenas duas das al´ıneas deste exerc´ıcio:
i. Calcule as primitivas: I.
arctan(x) dx II.
e 2 x
e x
dx.
I.
arctan(x) dx = x arctan(x) −
2 x.
1 + x^2
dx = x arctan(x) −
ln(1 + x
2 ) + C, com C ∈ IR.
II. Considere-se a substitui¸c˜ao e
x = t, ent˜ao, x = ln(t) e x
′ (t) = 1/t. Assim, ∫ e 2 x
e x
dx =
t 2
t + 1
t
dt =
t
t + 1
dt =
t + 1
dt = t − ln |t + 1| + C
= e
x − ln(e
x
ii. Seja h uma fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica de per´ıodo T. Mostre que F (x) =
x+T
x
h(t) dt ´e constante.
A fun¸c˜ao h e os extremos do integral, x + T e x, s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas. Ent˜ao, o integral indefinido F ´e
diferenci´avel e a sua derivada ´e dada por F
′ (x) = h(x + T ) − h(x). Uma vez que h ´e peri´odica de per´ıodo
T , h(x + T ) = h(x), ent˜ao F ′ (x) = 0. Portanto, F ´e uma constante.
iii. Determine a natureza do integral
+∞
0
(x + 1)(x + 3)
dx.
Por defini¸c˜ao de integral impr´oprio
∫ +∞
0
(x + 1)(x + 3)
dx = lim s→+∞
s
0
(x + 1)(x + 3)
dx.
Se o limite existe e ´e um valor finito o integral diz-se convergente, caso contr´ario diz-se divergente. Assim,
lim s→+∞
s
0
(x + 1)(x + 3)
dx = lim s→+∞
s
0
(x + 1)
(x + 3)
dx = lim s→+∞
[ln |x + 1| − ln |x + 3|]
s 0
= lim s→+∞
[
ln
x + 1
x + 3
]s
0
= lim s→+∞
ln
s + 1
s + 3
− ln
= − ln
Portanto, o integral impr´oprio ´e convergente para ln(3).
- Determina a solu¸c˜ao na forma expl´ıcita do problema de valor inicial: y
′ cos(t) − y sin(t) = 1, com y(π) = 1.
Podemos escrever a equa¸c˜ao diferencial da seguinte forma
y
′ −
sin(t)
cos(t)
y =
cos(t)
de modo que a equa¸c˜ao ´e linear de 1
a ordem. O fator integrante ´e dado por
μ = e
∫ −
sin(t) cos(t) dt^ = e
ln | cos(t)| = | cos(t)|.
Assim, a equa¸c˜ao diferencial ´e equivalente a
(cos(t)y)
′ = 1 ⇐⇒ cos(t)y = t + C ⇐⇒ y =
t + C
cos(t)
com C ∈ IR.
Atendendo a que y(π) = 1, ent˜ao, C = − 1 − π. Portanto, y =
t − 1 − π
cos(t)
, com cos(t) 6 = 0 ´e a solu¸c˜ao do
problema de valores iniciais.
