Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
1◦Teste de Álgebra Linear - V4
Licenciatura em Engenharia Mecânica e Electromecânica
22 de Novembro de 2013 Duração: 1h30m
1. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
x+y−αz =α
x+ 2y−z= 0
y−αz =α
(a) Discuta o sistema em função do parâmetro real α.
(b) Considere α= 1.
i. Determine a solução geral do sistema.
ii. Determine a matriz inversa do sistema e use-a para resolver Ax=b.
2. Considere as seguintes matrizes A=
−1 2 −3
210
4−2 5
eB=−110
1 0 1 .
(a) Determine a característica de A.
(b) Calcule ABTeBTAcaso seja possível.
(c) Determine x de modo que Z−1=ZT, sendo Z=1/2x
−x1/2.
3. Para cada uma das afirmações seguintes, diga se é verdadeira ou falsa, apresentando, em cada caso,
uma justificação:
(a) Se Afor uma matriz 5×7eBuma matriz 7×5, é possível efectuar os produtos AB eB A, mas
AB eBA são diferentes.
(b) Um sistema linear homogéneo pode ser impossível.
(c) Seja Auma matriz quadrada de ordem n. Então, característica de Aé superior a n.
4. Considere, em IR3, os vectores v1= (2,−1,3),v2= (−1,1,2) ev3= (−3,2,−1).
(a) Identifique/caracterize o subespaço de IR3gerado por v1,v2ev3.
(b) Escreva o vetor v3como combinação linear de v1ev2.
Bom Trabalho.
Cotação das perguntas
1.(a) 1.(bi) 1.(bii) 2.(a) 2.(b) 2.(c) 3.(a) 3.(b) 3.(c) 4.(a) 4.(b)
1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5