Baixe Números Complexos: Teoria, Operações e Aplicações na Engenharia Aeronáutica e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Números Complexos Os números complexos surgem a partir da necessidade de resolução de equações que possuem raiz de números negativos, o que, até então, não era possível de resolver-se trabalhando com os números reais. Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica: (z = a + bi) composta por uma parte real a e uma parte imaginária b; a forma geométrica, representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand- Gauss; e a sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar. Com base na sua representação, como estamos trabalhando com um conjunto numérico, os números complexos possuem operações bem definidas: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Esses números são representados, usualmente pela letra ”z”, em que sua parte imaginaria é representada pela letra “i” definida por ser o resultado ser o resultado de √-1 , portanto i^2 = -1 e i^4 = 1 Operações: Soma/ subtração -Para realizarmos a soma ou subtração de números imaginários somamos/subtraímos parte real e a parte imaginaria individualmente. Exemplo: z 1 = i + 2 z 2 = 2i + 3 z1 + z 2 = 3i + 5 , pois a parte imaginaria de z 1 (1) somada a parte imaginaria de z 2 (2) e a parte real de z 1 (2) somada a parte real de z 2 (3) resultando em 3i + 5 Multiplicação -Para a multiplicação entre números complexos usamos a propriedade distributiva entre os termos da multiplicação Exemplo: z 1 = i + 2 z 2 = 2i + 3
Caso queiramos multiplica-los, usaremos a propriedade distributiva para ambos os termos da expressão. z 1. z 2 = 2i^2 + 3i + 4i + 6 ... 2i^2 + 7i + 6 Sabemos por definição que i^2 = -1, podendo substituir na expressão, logo temos 2.(-1) + 7i + 6 ... z 1. z 2 = 7i + 4 Divisão -Para entender a divisão entre números complexos precisamos ter conhecimento sobre o conceito do conjugado de um numero complexo,. O conjugado (representado pela letra com uma barra em cima) pode ser definido nada mais nada menos que, o numero com sua parte imaginaria com o sinal invertido então temos que -Agora sabendo a definição de um conjugado podemos realizar a divisão entre números complexos da seguinte forma, usamos a divisão fornecida e multiplicamos tanto seu valor do numerador quanto do denominador pelo conjugado do denominador Exemplo: z 1 = 6 – 4i z 2 = 4 + 2i z 1 : z 2 =
Representação de Numeros Complexos em vetores: Podemos notar que |z| representa um vetor cujo seu modulo e representado pela distancia entre as coordenadas do numero complexo no plano
Argumento de um numero complexo:
- O argumento de um número complexo, geometricamente, é o ângulo formado pelo eixo horizontal e o seguimento |z|. -Podemos descobrir o valor do argumento de um numero complexos usando as relações trigonométricas de seno e cosseno do triangulo Exemplos: Para o numero complexo z 1 Temos então que Sendo a o valor real de z, e b o valor imaginário temos que |z 1 | = √4^2 + 2^2 |z 1 | = √ |z 1 | = 2√
1º passo – Cálculo de |z| Conhecendo-se o |z|, é possível encontrar-se o valor de θ consultando-se a tabela de ângulos notáveis. Agora é possível escrever o número z na sua forma trigonométrica com o ângulo em graus ou com o ângulo medido em radianos.
Aplicação de números complexos no Dia a Dia
Aplicacao de um numero complexo no voo de um avião (Engenharia Aeronautica e Aeroespacial) A aerodinâmica é uma parte da mecânica dos fluidos que estuda os gases em movimento, e em particular o movimento relativo entre o ar e os corpos sólidos. Ao construir um avião, os engenheiros se fundamentaram nos princípios da aerodinâmica, principalmente na elaboração do aerofólio. Um aerofólio é projetado para causar certa variação da velocidade de um fluido, acarretando uma diferença de pressão. Nas aeronaves, os aerofólios se encontram nas asas e no leme, proporcionando a sustentação e direção do avião, logo o
mantendo no ar, cuja explicação está na conservação de energia enunciada pelo Princípio de Bernoulli (PORTOLAN, 2017). E quanto aos números complexos? Há alguma contribuição desses números na aerodinâmica? Estudos como os de Camata (2015), Pereira (2017) e Novais (2020) dizem que há contribuições dos números complexos na aerodinâmica e destacam ainda o cientista russo Nicolai Egorovich Joukowski (1847-1921). Camata (2015) descreve que Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, calculou a força de levantamento responsável pela sustentação do corpo. Ainda, ressalta que os números complexos permitiram uma explicação matemática capaz de definir as características do perfil aerodinâmico da asa do avião, colaborando com o progresso aeronáutico. Pereira (2017) comenta que não se pode deixar de destacar a grande contribuição dos números complexos para várias áreas, como para a Dinâmica dos Fluidos e Aerodinâmica, onde Nikolai Joukowski desenvolveu um método que possibilitou que engenheiros aeronáuticos fizessem estudos sobre aerofólios e sua influência na sustentação de aviões (construção das asas). Novais (2020) ressalta que esse cientista foi responsável por demonstrar que a imagem de uma circunferência de raio unitário no z − plano é mapeada1 dentro de uma curva de formato de um aerofólio no w − plano, semelhante a uma asa de avião. Ao estudar a função f: *→ , deduziu uma função de variável complexa dada por: 𝐹(𝑧) = 𝑧 + 1 𝑍. Essa transformação ficou conhecida como transformação de Joukowski, que propõe um aproveitamento da conhecida solução analítica para um escoamento potencial ao redor de um cilindro com circulação e conclui que “se os fluxos aerodinâmicos” para um fluxo em torno de um círculo são conhecidos, então suas imagens sob o mapeamento 𝑤 = 𝑓(𝑧) será o fluxo aerodinâmico para um fluxo em torno do aerofólio (NOVAIS, 2020). Resolucao de um problema envolcendo os números complexos: Após conhecermos a importante expressão 𝑧 + 1 𝑍 estudada por Joukowski que, segundo alguns estudos, explica matematicamente a força de levantamento responsável pela sustentação do voo de um avião, determine o seu valor para 𝒛𝟏, , 𝒛𝟐, 𝒛𝟑, 𝒆 𝒛𝟒 apresentados a seguir e represente-os graficamente.
Fontes: Teoria: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm Parte experimental / Engenharia Aerodinamica: https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/29089/2/numeroscomplexosrecu rsosdidaticos_produto_1.pdf https://matematicacoes.blogspot.com/2012/12/aplicacoes-dos-numeros- complexos-os.html Ferramentas usadas: Geogebra
