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ELETROTECNICA´
Impedˆancia
1 N´umeros complexos
As equa¸c˜oes alg´ebricas do tipo x^2 = -3 n˜ao possuem solu¸c˜oes no campo dos n´umeros reais. Tais equa¸c˜oes podem ser resolvidas somente com a introdu¸c˜ao de uma unidade imagin´aria ou operador ima- gin´ario, que representamos pelo s´ımbolo j. Por defini¸c˜ao j =
−1. O produto de um n´umero real por um operador imagin´aria ´e chamado de n´umero imagin´ario e a soma de um n´umero real e um n´umero imagin´ario ´e chamada n´umero complexo. Assim, um n´umero com a forma a + jb, onde a e b s˜ao n´umeros reais, ´e um n´umero complexo. O n´umero complexo ´e representado por:
Aˆ = a + jb (1) O n´umero complexo Aˆ ´e descrito como tendo uma componente real a e uma componente imagin´aria b, que podem ser representadas por:
<e[ Aˆ] = a (2)
=m[ Aˆ] = b (3) A componente imagin´aria de Aˆ n˜ao ´e jb. Por defini¸c˜ao, a componente imagin´aria ´e um n´umero real. Como qualquer n´umero complexo ´e completamente caracterizado por um par de n´umeros reais, po- demos represent´a-lo num sistema de coordenadas cartesianas como mostra a Figura 1.
Eixo
imaginário
Eixo
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 real
j
j
j
j
-j
-j
-j
-j
Plano complexo
A(3,1)
B(2,3)
Figura 1 - Representação de números complexos
diagrama de Argand
ou
^
^
2 FASORES 2
1.1 Formas de representa¸c˜ao dos n´umeros complexos
Existem quatro formas de representa¸c˜ao dos n´umeros complexos:
- Forma retangular ou cartesiana
- Forma exponencial
- Forma polar
- Forma trigonom´etrica
Os n´umeros complexos representados pela Equa¸c˜ao 1 est˜ao na forma retangular ou cartesiana. Para representar na forma exponencial utilizamos a identidade de Euler, ou seja:
ejθ^ = cosθ + jsenθ (4) Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler pelo n´umero real, A temos:
Aejθ^ = Acosθ + jAsenθ (5) Comparando a Equa¸c˜ao 5 com a Equa¸c˜ao 1 temos:
Acosθ = a (6)
Asenθ = b (7) Elevando as Equa¸c˜oes 6 e 7 ao quadrado e somando, temos:
A^2 = a^2 + b^2 (8) e
A =
a^2 + b^2 (9) Dividindo a Equa¸c˜ao 7 pela Equa¸c˜ao 6:
b a
= tanθ (10)
θ = arctan(
b a
A representa¸c˜ao de um n´umero complexo na forma polar ´e essencialmente a mesma da forma exponencial, exceto por uma pequena diferen¸ca de simbologia, ou seja:
Aˆ = A^6 θ (12) O segundo membro da Equa¸c˜ao 5 ´e a pr´opria representa¸c˜ao na forma trigonom´etrica.
2 Fasores
Sejam:
v = Vpsen(ωt) (13) e
i = Ipsen(ωt − ϕ) (14) A representa¸c˜ao gr´afica das Equa¸c˜oes 13 e 14 ´e dada na Figura 2, e conforme vimos no t´opico anterior (Circuitos RC e RL s´eries) trata-se de um circuito RL, que passaremos a cham´a-lo de circuito indutivo. A an´alise de um circuito de corrente alternada seria muito trabalhosa se tiv´essemos que recorrer sempre a este tipo de gr´afico. Assim, o m´etodo fasorial vem facilitar bastante a an´alise. Sabemos que:
Aejθ^ = Acosθ + jAsenθ (15)
3 IMPED ANCIAˆ 4
Iˆ = √Ip 2
ejϕ^ = Ief ejϕ^ (24)
cujo diagrama fasorial ´e mostrado na Figura 4.
^I
V^
ϕ
Figura 4 - Diagrama fasorial de um circuito capacitivo
Vale ressaltar que:
- o m´etodo fasorial s´o ´e aplic´avel `as fun¸c˜oes senoidais;
- os m´odulos dos fasores Vˆ e Iˆ s˜ao valores eficazes ( Vef e Ief );
- todas as propriedades dos vetores s˜ao aplic´aveis nos fasores.
3 Impedˆancia
A fun¸c˜ao impedˆancia, ou simplesmente impedˆancia, ´e a rela¸c˜ao entre os fasores da tens˜ao e da corrente. Portanto:
Zˆ =
Vˆ
I^ ˆ
Para um circuito indutivo, teremos:
Zˆ = Vef Ief ejϕ^ (26)
ou
Zˆ = Zejϕ^ (27) A Equa¸c˜ao 27 representa a impedˆancia na forma exponencial. As representa¸c˜oes nas outras formas s˜ao dadas a seguir:
Zˆ = Z 6 ϕ (28)
Zˆ = Zcosϕ + jZsenϕ (29) Considerando:
R = Zcosϕ (30)
XL = Zsenϕ (31) A representa¸c˜ao na forma retangular ´e dada por:
Zˆ = R + jXL (32) onde R ´e a resistˆencia e XL ´e a reatˆancia indutiva. O valor da reatˆancia indutiva XL depende da frequˆencia e da indutˆancia, assim:
XL = ωL = 2πf L (33) Um desenvolvimento an´alogo para um circuito capacitivo resulta a fun¸c˜ao impedˆancia dada pela Equa¸c˜ao 34:
Zˆ = Ze−jϕ^ (34)
3 IMPED ANCIAˆ 5
que colocadas nas outras formas teremos:
Zˆ = Z 6 − ϕ (35)
Zˆ = Zcosϕ − jZsenϕ (36)
Zˆ = R − jXC (37) XC representa a indutˆancia capacitiva e depende da frequˆencia e da capacitˆancia, assim:
XC =
ωC
2 πf C
A Equa¸c˜ao 38 ´e aplic´avel quando a capacitˆancia C ´e dada em F arad. Para C em μF arad temos:
XC =
2 πf C
