GEOMETRIA
Plano 𝐈𝐑𝟐
Espaço 𝐈𝐑𝟑
𝐴൫𝑥𝐴,𝑦𝐴൯ e 𝐵൫𝑥𝐵,𝑦𝐵൯
𝐴൫𝑥𝐴,𝑦𝐴 ,𝑧𝐴൯ e 𝐵൫𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵൯
Distância entre dois pontos
𝐴𝐵 =ට൫𝑥𝐴−𝑥𝐵൯2+൫𝑦𝐴−𝑦𝐵൯2
𝐴𝐵 =ට൫𝑥𝐴−𝑥𝐵൯2+൫𝑦𝐴−𝑦𝐵൯2+൫𝑧𝐴−𝑧𝐵൯2
Ponto Médio de ሾ𝑨𝑩ሿ
൬𝑥𝐴+𝑥𝐵
2,𝑦𝐴+𝑦𝐵
2൰
൬𝑥𝐴+𝑥𝐵
2,𝑦𝐴+𝑦𝐵
2,𝑧𝐴+𝑧𝐵
2൰
Mediatriz de ሾ𝑨𝑩ሿ
𝑃𝐴 =𝑃𝐵 ⟺
൫𝑥− 𝑥𝐴൯2+ ൫𝑦 −𝑦𝐴൯2= ൫𝑥 −𝑥𝐵൯2+ ൫𝑦−𝑦𝐵൯2
Plano Mediador de ሾ𝑨𝑩ሿ
𝑃𝐴 =𝑃𝐵 ⟺
൫𝑥− 𝑥𝐴൯2+ ൫𝑦 −𝑦𝐴൯2+൫𝑧−𝑧𝐴൯2=
= ൫𝑥 − 𝑥𝐵൯2+൫𝑦 −𝑦𝐵൯2+൫𝑧− 𝑧𝐵൯2
Circunferência e círculo
൫𝑥− 𝑥𝐶൯2+ ൫𝑦 − 𝑦𝐶൯2= 𝑟2
൫𝑥− 𝑥𝐶൯2+ ൫𝑦 − 𝑦𝐶൯2≤ 𝑟2
Superfície esférica e esfera
൫𝑥− 𝑥𝐶൯2+ ൫𝑦 − 𝑦𝐶൯2+൫𝑧− 𝑧𝐶൯2= 𝑟2
൫𝑥− 𝑥𝐶൯2+ ൫𝑦 − 𝑦𝐶൯2+൫𝑧−𝑧𝐶൯2≤ 𝑟2
VETORES
𝐴𝐵
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 𝐵 − 𝐴 = ൫𝑥𝐵−𝑥𝐴 , 𝑦𝐵−𝑦𝐴 ൯
𝐴𝐵
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 𝐵 − 𝐴 = ൫𝑥𝐵−𝑥𝐴 , 𝑦𝐵−𝑦𝐴 ,𝑧𝐵− 𝑧𝐴 ൯
Norma de 𝒖
ሬ
ሬ
Ԧ
𝑢
ሬ
Ԧ
= ൫𝑢1,𝑢2൯, ԡ𝑢
ሬ
Ԧ
ԡ=ට𝑢1
2+𝑢2
2
𝑢
ሬ
Ԧ
= ൫𝑢1,𝑢2 ,𝑢3൯, ԡ𝑢
ሬ
Ԧ
ԡ=ට𝑢1
2+𝑢2
2+𝑢3
2
Vetores colineares
𝑢
ሬ
Ԧ
𝑒 𝑣
Ԧ 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
= 𝑘𝑣
Ԧ, 𝑘 ∈ IR
𝑢
ሬ
Ԧ
= ൫𝑢1,𝑢2൯ 𝑒 𝑣
Ԧ= ൫𝑣1,𝑣2൯
𝑣1
𝑢1=𝑣2
𝑢2 , 𝑢1 ≠ 0 𝑒 𝑢2≠ 0
𝑢
ሬ
Ԧ
= ൫𝑢1,𝑢2 , 𝑢3൯ 𝑒 𝑣
Ԧ= ൫𝑣1,𝑣2 ,𝑣3൯
𝑣1
𝑢1=𝑣2
𝑢2=𝑣3
𝑢3 , 𝑢1 ≠ 0 , 𝑢2≠0 e 𝑢3≠ 0
Equação vetorial da reta que passa no ponto A e tem a direção do vetor 𝒖
ሬ
ሬ
Ԧ
Equação vetorial: ൫𝑥, 𝑦൯ = ൫𝑥𝐴,𝑦𝐴൯+𝑘൫𝑢1,𝑢2൯, 𝑘 ∈ IR
Equação reduzida: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 = 𝑢2
𝑢1
൫𝑥, 𝑦,𝑧൯ = ൫𝑥𝐴,𝑦𝐴,𝑧𝐴൯+𝑘൫𝑢1,𝑢2,𝑢3൯, 𝑘 ∈ IR
Equação Reduzida da reta AB
𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑏, sendo 𝑚 = 𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
Planos Coordenados
Declive de Retas Paralelas
𝑚𝑟= 𝑚𝑠
Declive de Retas perpendiculares
𝑚𝑟= − 1
𝑚𝑠
Inclinação da reta 𝜽 ∈ ሾ0,180°ሾ
𝑚 = tan 𝜃
Equação Cartesiana do plano
𝑎𝑥+𝑏𝑦 +𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, sendo o vetor
normal 𝑛
ሬ
Ԧ
(𝑎,𝑏,𝑐)
Produto escalar 𝐈𝐑𝟐
𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑣
Ԧ= ԡ𝑢
ሬ
Ԧ
ԡ×ԡ𝑣
Ԧԡ×cos(𝑢
ሬ
Ԧ
,ො 𝑣
Ԧ)
𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑣
Ԧ= 𝑢1×𝑣1 + 𝑢2× 𝑣2
Ângulo entre dois vetores
cos(𝑢
ሬ
Ԧ
,ො 𝑣
Ԧ)=𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑣
Ԧ
ԡ𝑢
ሬ
Ԧ
ԡ×ԡ𝑣
Ԧԡ
Vetores Perpendiculares
𝑢
ሬ
Ԧ
𝑒 𝑣
Ԧ 𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
.𝑣
Ԧ=0
Produto escalar 𝐈𝐑𝟑
𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑣
Ԧ= ԡ𝑢
ሬ
Ԧ
ԡ×ԡ𝑣
Ԧԡ×cos(𝑢
ሬ
Ԧ
,ො 𝑣
Ԧ)
𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑣
Ԧ= 𝑢1×𝑣1+𝑢2×𝑣2+𝑢3×𝑣3
Lugares geométricos com o produto escalar
Mediatriz
𝑀𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐴𝐵
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
Circunferência
𝐴𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐵𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
Reta tangente a uma
circunferência
𝐴𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐴𝐶
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=0
Plano
Mediador
𝑀𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐴𝐵
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
Superfície esférica
𝐴𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐵𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
Reta tangente a uma
Superfície esférica
𝐴𝑃
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.𝐴𝐶
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
Posição relativa entre retas e planos
Reta perpendicular ao plano
𝑟 ⊥ 𝛼 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
∥ 𝑟
Ԧ
Reta paralela ao plano
𝑟 ∥ 𝛼 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
. 𝑟
Ԧ= 0
Planos paralelos
𝛼 ∥ 𝛽 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
∥ 𝑣
Ԧ
Planos perpendiculares
𝛼 ⊥ 𝛽 ⟺ 𝑢
ሬ
Ԧ
.𝑣
Ԧ= 0
