No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma
parábola e que esse gráfico apresenta pontos notáveis e de bastante
aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências. Esses pontos
são: as raízes da função e o vértice da parábola. As raízes determinam
quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x); o
vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da
função, ou seja, o maior ou o menor valor que a função pode assumir em
todo o seu domínio.
Iremos fazer um estudo dos pontos de máximo e mínimo absolutos da
função do 2º grau e compreender sua utilidade nos contextos mais
diversos.
Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2+ bx + c, com a ≠ 0.
Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de
acordo com o coeficientea. Ou seja,
Se a < 0→ a concavidade da parábola é voltada para baixo;
Se a > 0→ a concavidade da parábola é voltada para cima;
Sabemos também que o valor de Δ = b2– 4ac determina quantos pontos a parábola
intercepta o eixo x. Ou seja,
Δ > 0→ a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos;
Δ < 0→ a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x;
Δ = 0→ a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um
ponto;
Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto
ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da
parábola.
Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto.
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto.
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou
mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos.
a) f(x) = 3x2– 4x + 1
Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da
função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função
apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e
