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C´alculo 1^1
Ass´ıntostas e Limite Fundamental Trigonom´etrico 27 de agosto de 2019
0.1 Ass´ıntotas horizontais e verticais
Defini¸c˜ao 0.1.1. (Ass´ıntota horizontal) A reta y = L ´e chamada de Ass´ıntota horizontal da curva y = f (x) se
xlim→∞ f^ (x) =^ L ou^ x→−∞lim f^ (x) =^ L
Defini¸c˜ao 0.1.2. (Ass´ıntota vertical) A reta x = a ´e chamada de Ass´ıntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos uma das condi¸c˜oes ´e satisfeita:
xlim→a f^ (x) =^ ∞^ xlim→a+^ f^ (x) =^ ∞^ xlim→a−^ f^ (x) =^ ∞ x^ lim→a f^ (x) =^ −∞^ xlim→a+^ f^ (x) =^ −∞^ xlim→a−^ f^ (x) =^ −∞
Exemplo 0.1.1. Calcule as Ass´ıntotas horizontais e verticais das fun¸c˜oes a seguir, caso existam.
a) f (x) = √ 9 x (^6) +4x 2 x^3 − 1 Solu¸c˜ao: Ass´ıntotas Horizontais: Para encontrar as ass´ıntotas horizontais precisamos encontrar
x^ lim→∞ f^ (x) =^ L e^ x→−∞lim f^ (x) =^ L
xlim→∞ f^ (x) =^ xlim→∞
√ 9 x (^6) + 4x 2 x^3 − 1 =^ xlim→∞
x^6 (9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =^ xlim→∞
|x^3 |
(9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =^ xlim→∞
x^3
(9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =
xlim→∞
x^3 √ (9+ (^) x^44 ) x^3 x^3 x^3 −^ x^13
= lim x→∞
(9 + (^) x^44 ) 1 − (^) x^13 = 3 Note que usamos que √x^6 = √x^2 .x^2 .x^2 = |x||x||x| e como x → ∞, ent˜ao x > 0 e com isso,
x^6 =
x^2 .x^2 .x^2 = x.x.x = x^3.
x→−∞^ lim f^ (x) = lim x→∞
√ 9 x (^6) + 4x 2 x^3 − 1 =^ x→−∞lim
x^6 (9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =^ x→−∞lim
|x^3 |
(9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =
x−→∞lim
−x^3
(9 + (^) x^44 ) x^3 − 1 =^ x→−∞lim
−x^3 √ (9+ (^) x^44 ) x^3 x^3 x^3 −^ x^13
= (^) x→−∞lim
(9 + (^) x^44 ) 1 − (^) x^13 =^ −^3 Note que usamos que √x^6 = √x^2 .x^2 .x^2 = |x||x||x| e como x → −∞, ent˜ao x < 0 e com isso,
x^6 =
x^2 .x^2 .x^2 = (−x).(−x).(−x) = −x^3. Portanto, as retas y = 3 e y = − 3 s˜ao Ass´ıntotas horizontais. Ass´ıntotas verticais: Pela defini¸c˜ao de ass´ıntota vertical devemos procurar onde a fun¸c˜ao ´e descont´ınua, nesse caso quando x^3 − 1 = 0. Portanto a ´unica candidata a Ass´ıntota vertical ´e x = 1.
x^ lim→ 1 +^ f^ (x) = lim x→ 1 +
√ 9 x (^6) + 4x 2 x^3 − 1 =^ ∞ , pois quando x → ∞, o numerador se aproxima de √ 13 e o denomindador se aproxima de 0 por valores positivos.
x^ lim→ 1 −^ f^ (x) = lim x→ 1 −
√ 9 x (^6) + 4x 2 x^3 − 1 =^ −∞ , pois quando x → ∞, o numerador se aproxima de √ 13 e o denomindador se aproxima de 0 por valores negativos. Portanto a reta x = 1 ´e a ´unica Ass´ıntota Vertical. Note que bastava encontrar um dos limites laterais para conclu´ırmos que x = 1 ´e uma Ass´ıntota vertical. Aqui calculamos os dois apenas a n´ıvel de revis˜ao.
b) f (x) = (^) x 2 x+^2 −x−^12 Solu¸c˜ao: Ass´ıntotas Horizontais: Para encontrar as ass´ıntotas horizontais precisamos encontrar
x^ lim→∞ f^ (x) =^ L e^ x→−∞lim f^ (x) =^ L
xlim→∞ f^ (x) = lim x→∞^ x
(^3) − x x^2 − 4 = lim^ x→∞
x x^32 − (^) xx 2 x x^22 − (^) x 42 = lim x→∞
x − (^) x^1 1 − (^) x^42 =^ ∞ x→−∞^ lim f^ (x) =^ x→−∞lim (ex^ −^ 2) =^ x→−∞lim ex^ −^ x→−∞lim 2 = 0^ −^ 2 =^ −^2 Portanto a reta y = − 2 ´e a ´unica Ass´ıntota horizontal. Ass´ıntotas verticais: Pela defini¸c˜ao de ass´ıntota vertical devemos procurar onde a fun¸c˜ao ´e descont´ınua. Portanto as candidatas a Ass´ıntotas verticais s˜ao: x = 0 e x = 2. Note que x = 0 n˜ao pode ser Ass´ıntota pois, x^ lim→ 0 +^ f^ (x) = lim x→ 0 +^ x
(^3) − x x^2 − 4 = 0^ e^ xlim→ 0 −^ f^ (x) = lim x→ 0 −^ e
x (^) − 2 = − 2. Por outro lado, x^ lim→ 2 +^ f^ (x) =^ xlim→ 2 +^ x
(^3) − x x^2 − 4 =^ xlim→ 2 +
x^3 − x) (x − 2)(x + 2) =^ ∞, pois quando^ x^ →^2
- (^) o numerador se aproxima de 6 e o denominador se aproxima de 0 por valores positivos. Argumentando de maneira an´aloga chegamos que (^) xlim→ 2 − f (x) = −∞. Portanto, a reta x = 2 ´e a ´unica Ass´ıntota vertical. Note que bastava encontrar um dos limites laterais para conclu´ırmos que x = 1 ´e uma Ass´ıntota vertical. Aqui calculamos os dois apenas a n´ıvel de revis˜ao.
0.2 Demonstra¸c˜ao: Limite Fundamental Trigonom´etrico.
Nessa se¸c˜ao iremos demonstrar que limx→ 0 sin( xx )= 1, para o caso onde x ∈ [0, π 2 ].
Demonstra¸c˜ao. Considerando a figura abaixo
Inicialmente note que:
- A ´area do triˆangulo OTA ´e: AOT A = tan( 2 x)= (^) 2 cos(sin(xx)).
- A ´area do triˆangulo OPQ ´e: AOP Q = cos(x) sin( 2 x).
- A ´area do setor circular OAP_ = A (^) OAP_ = x 2
Al´em disso vale que AOAP < A (^) OAP_ < AOT A
ou seja, cos(x) sin(x) 2 <
x 2 <^
sin(x) 2 cos(x) Se multiplicarmos a desigualdade por 2 n˜ao altera o sentido.
cos(x) sin(x) < x < sin(cos(xx))
Dividindo tudo por sin(x), levando em considera¸c˜ao que sin (x) > 0 em (0, π 2 ), chegamos a cos(x) < (^) sin(xx) < (^) cos(^1 x)
Invertendo a desigualdade 1 cos(x) >^
sin(x) x >^ cos(x) Note que (^) xlim→ 0 +cos(^1 x) = lim x→ 0 + cos(x) = 1 Ent˜ao, Pelo Teorema do Confronto
xlim→ 0 +^ sin( xx )= 1
.
Exemplo 0.2.1. Vamos usar o limite fundamental trigonom´etrico para mostrar que
xlim→∞^ cos(x x) −^1 = 0
xlim→ 0 (cos(x x) −^ 1)=^ xlim→ 0 (cos(x x)^ −^ 1)^ (cos((cos(xx) + 1)) + 1) =^ xlim→ 0 cos
(^2) (x) − 1 x(cos(x) + 1) =^ lim^ x→^0
− sin^2 (x) x(cos(x) + 1) =
xlim→ 0 sin( x x) xlim→ (^0) cos(^ −^ sin(x) + 1 x) = 1.0 = 0
