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Fun¸c˜oes (12.
o ano)
Ass´ıntotas
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − ∞,1[ definida por f (x) = 2x + 3 + ln
(1 − x)
3
, e seja g a fun¸c˜ao, de
dom´ınio ] − ∞,1[, definida por g(x) =
f (x)
x − 1
Estude, sem recorrer a calculadora, exceto em eventuais c´alculos num´ericos, a a fun¸c˜ao g quantoa
existˆencia de ass´ıntotas ao seu gr´afico, paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva uma
equa¸c˜ao de cada ass´ıntota.
Exame – 2025,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R , definida por
f (x) =
1 − e
x
x
se x < 0
1 se x = 0
x
2
x + 1
se x > 0
Mostre, sem recorrer `a calculadora, que a reta de equa¸c˜ao y = x − 1 ´e ass´ıntota ao gr´afico da fun¸c˜ao f
quando x → +∞.
Exame – 2025, 2.
a Fase
- Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua, de dom´ınio [0, + ∞[, cujo gr´afico admite uma ass´ıntota horizontal.
Determine uma equa¸c˜ao da ass´ıntota n˜ao vertical ao gr´afico da fun¸c˜ao g, de dom´ınio [0, + ∞[, definida
por
g(x) =
f (x)
2
2
Exame – 2024,
´ Ep. especial
- Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua, de dom´ınio [0, + ∞[, com f (0) = 2, e seja g uma fun¸c˜ao, de dom´ınio R,
definida, para um certo valor de k real, por
g(x) =
f (x) se x ≥ 0
e
−k (e
x − 1)
−x
2
se x < 0
A reta de equa¸c˜ao y = 3x − 5 ´e ass´ıntota ao gr´afico da fun¸c˜ao g , quando x → +∞.
Qual das seguintes igualdades ´e verdadeira?
(A) lim
x→+∞
(g(x) + 3x) = − 5 (B) lim
x→+∞
(g(x) + 3x) = 5
(C) lim
x→+∞
(g(x) − 3 x − 5) = 0 (D) lim
x→+∞
(g(x) − 3 x + 5) = 0
Exame – 2024, 2.
a Fase
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R.
Sabe-se que:
- para qualquer n´umero real a, a 6 = 2, lim
x→a
f (x) = f (a);
x→ 2
f (x) = f (2) , com f (2) > 0 , e lim
x→ 2
−
f (x) = −∞ ;
Considere a proposi¸c˜ao seguinte.
A reta de equa¸c˜ao x = 2 ´e ass´ıntota ao gr´afico da fun¸c˜ao
f
Justifique que a proposi¸c˜ao anterior ´e falsa.
Na sua resposta, apresente uma raz˜ao que justifique a sua falsidade.
Exame – 2024, 1.
a Fase (adaptado)
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R \ { 0 }, definida, para um certo a ∈ R
, por
f (x) =
sen (ax)
e
x − 1
se x < 0
ln (2 − e
−x ) + x + 2 se x > 0
O gr´afico de f admite uma ass´ıntota obl´ıqua quando x tende para +∞.
Determine uma equa¸c˜ao dessa ass´ıntota.
Exame – 2023,
´ Ep. especial
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
x − e
−x
x
se x < 0
x
2
x + 1
− 3 se x ≥ 0
Resolva o item seguinte sem recorrer `a calculadora.
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas horizontais ao seu gr´afico e, caso estas existam,
escreva as respetivas equa¸c˜oes.
Exame – 2021, 2.
a Fase
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, definida por h(x) =
x
3
2 x
2 − ln x
Estude a fun¸c˜ao h quanto `a existˆencia de ass´ıntota obl´ıqua ao seu gr´afico e, caso esta exista, escreva a
sua equa¸c˜ao reduzida.
Exame – 2021, 1.
a Fase
- Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − ∞,4[, definida por
h(x) =
1 + xe
x− 1 se x ≤ 1
x − 1
sen (x − 1)
se 1 < x < 4
Mostre, sem recorrer `a calculadora, que o gr´afico da fun¸c˜ao h tem uma ass´ıntota horizontal e apresente
uma equa¸c˜ao dessa ass´ıntota.
Exame – 2020, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao definida em ] − ∞,2] por f (x) = x + ln(e
x
Resolva o item seguinte sem recorrer `a calculadora.
O gr´afico de f tem uma ass´ıntota obl´ıqua.
Determine uma equa¸c˜ao dessa ass´ıntota.
Exame – 2020, 1.
a Fase
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
g(x) =
x ln(1 − x) se x ≤ 0
1 − 3 x
1 − e
−x
se x > 0
O gr´afico da fun¸c˜ao g tem uma ass´ıntota obliqua, quando x → +∞
Determine a equa¸c˜ao reduzida dessa ass´ıntota.
Exame – 2019,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao h , de dom´ınio R \ { 1 }, definida por h(x) =
e
x
x − 1
Estude a fun¸c˜ao h quanto `a existˆencia de ass´ıntotas do seu gr´afico paralelas aos eixos coordenados e, caso
existam, escreva as suas equa¸c˜oes.
Exame – 2019, 2.
a Fase
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R \ { 0 }, definida por g(x) =
e
−x
x
Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, definida por h(x) = g(x) + 2x −
x
Sabe-se que o gr´afico da fun¸c˜ao h tem uma ass´ıntota obl´ıqua.
Qual ´e o declive dessa ass´ıntota?
(A) 1 (B) 2 (C) e (D) e
2
Exame – 2019, 1.
a Fase
- Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio
[
π
[
, definida por
h(x) =
sen
2 x
sen (x
2 )
se −
π
≤ x < 0
e
x
x + 1
se x ≥ 0
Sabendo que a fun¸c˜ao h ´e cont´ınua no ponto 0, estude a fun¸c˜ao h quanto `a existˆencia de ass´ıntotas do
seu gr´afico.
Exame – 2018,
´ Ep. especial
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
−
Sabe-se que:
x→−∞
f (x) + e
x − x
x
- o gr´afico de f tem uma ass´ıntota obl´ıqua
Qual ´e o declive dessa ass´ıntota?
(A) − 2 (B) − 1 (C) 1 (D) 2
Exame – 2016, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ] − ∞, − 1[∪]1, + ∞[ definida por f (x) = ln
x − 1
x + 1
Resolva o item seguinte recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas verticais do seu gr´afico.
Exame – 2016, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
0
, definida por f (x) = x
2 e
1 −x
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntota horizontal, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem
utilizar a calculadora.
Exame – 2015,
´ Ep. especial
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
1 + xe
x se x ≤ 3
ln(x − 3) − ln x se x > 3
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas horizontais do seu gr´afico, recorrendo a m´etodos
anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2015, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
e
x −
e
2 x − 1
se x <
(x + 1) ln x se x ≥
Averigue, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, da existˆencia de ass´ıntotas verticais
do gr´afico da fun¸c˜ao f
Exame – 2015, 1.
a Fase
- Considere, para um certo n´umero real k, a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ] − ∞,e[, definida por
f (x) =
xe
x− 2 se x ≤ 2
sen (2 − x)
x
2
Estude, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de
ass´ıntota horizontal do seu gr´afico e, caso exista, indique uma equa¸c˜ao dessa ass´ıntota.
Exame – 2014,
´ Ep. especial
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
A reta de equa¸c˜ao y = 2x − 5 ´e ass´ıntota do gr´afico da fun¸c˜ao f
Qual ´e o valor de lim
x→+∞
6 x − 1
f (x)
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) +∞
Exame – 2014,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ] − ∞, 0[ definida por f (x) = x − 1 +
ln(−x)
x
Estude, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de
ass´ıntotas do seu gr´afico e, caso existam, indique as suas equa¸c˜oes.
Exame – 2014, 2.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
e
x− 4 − 3 x + 11
4 − x
se x < 4
ln(2e
x − e
4 ) se x ≥ 4
O gr´afico da fun¸c˜ao f tem uma ass´ıntota obl´ıqua quando x tende para +∞, de equa¸c˜ao y = x + b, com
b ∈ R
Determine b, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2014, 1.
a Fase
- Considere duas fun¸c˜oes g e h, de dom´ınio R
Sabe-se que:
- a reta de equa¸c˜ao y = 2x − 1 ´e ass´ıntota do gr´afico da fun¸c˜ao g
- a fun¸c˜ao h ´e definida por h(x) =
1 − [g(x)]
2
x
2
Mostre que o gr´afico da fun¸c˜ao h tem uma ass´ıntota horizontal.
Exame – 2013,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
xe
3+x
x + sen (x − 1)
1 − x
se x > 1
Mostre recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, que o gr´afico da fun¸c˜ao f admite uma
ass´ıntota obl´ıqua quando x tende para −∞
Exame – 2013, 2.
a Fase
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
Sabe-se que lim
x→+∞
ln x + f (x)
3 x
Qual das equa¸c˜oes seguintes pode definir uma ass´ıntota do gr´afico da fun¸c˜ao f?
(A) y =
x (B) y =
x (C) y = x (D) y = 3x
Exame – 2013, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R \ { 0 }, definida por
f (x) =
e
x − 1
e
4 x − 1
se x < 0
x ln x se x > 0
Estude, a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas verticais do seu gr´afico, recorrendo a m´etodos
anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2013, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
3 x + 1 − xe
x se x < 0
x + cos x se x ≥ 0
Resolva recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora:
O gr´afico da fun¸c˜ao f tem uma ass´ıntota obl´ıqua quando x → −∞
Determine a equa¸c˜ao reduzida dessa ass´ıntota.
Teste Interm´edio 12.
o ano – 24.05.
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por f (x) =
3 x + 3
√
x
2
se x ≤ 4
ln(3x − 11)
x − 4
se x > 4
O gr´afico da restri¸c˜ao da fun¸c˜ao f ao intervalo ] − ∞, 4] tem uma ass´ıntota horizontal.
Determine uma equa¸c˜ao dessa ass´ıntota, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Teste Interm´edio 12.
o ano – 28.02.
- Sejam f e g fun¸c˜oes de dom´ınio ]0, + ∞[
Sabe-se que:
- a reta de equa¸c˜ao y = 3 ´e ass´ıntota horizontal do gr´afico de f
- f n˜ao tem zeros;
- g(x) =
e
−x − 3
f (x)
Qual das op¸c˜oes seguintes define uma ass´ıntota horizontal do gr´afico de g?
(A) y = 3 (B) y = e (C) y = 0 (D) y = − 1
Exame – 2012,
´ Ep. especial
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
Sabe-se que:
x→+∞
(f (x) − 2 x) = 1
x→−∞
f (x) = 3
x→ 1
f (x) = +∞
x→ 1
−
f (x) = 2
Em qual das op¸c˜oes seguintes as duas equa¸c˜oes definem ass´ıntotas do gr´afico da fun¸c˜ao f?
(A) x = 1 e y = − 2 x + 1 (B) x = 1 e y = 2x + 1
(C) y = 3 e y = − 2 x + 1 (D) y = 2 e y = 2x + 1
Exame – 2012, 2.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
x ln(x + 1) − x ln(x) + 3x se x > 0
xe
1 −x se x ≤ 0
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas n˜ao verticais do seu gr´afico, recorrendo a m´etodos
exclusivamente anal´ıticos.
Exame – 2012, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
1 − e
x− 1
x − 1
se x < 1
−x + ln x se x ≥ 1
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de assimptotas horizontais do gr´afico de f
Exame – 2011, Prova especial
- Considere uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R \ { 3 }, cont´ınua em todo o seu dom´ınio.
Sabe-se que:
x→+∞
f (x) = 1
x→ 3
f (x) = − 2
x→−∞
(f (x) + 2x) = 0
Em qual das op¸c˜oes seguintes as equa¸c˜oes definem duas ass´ıntotas do gr´afico de f?
(A) x = −2 e y = 1 (B) x = 3 e y = − 2 x
(C) y = − 2 x e y = 1 (D) y = 2x e y = − 1
Exame – 2011,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio [0, + ∞[, definida por
f (x) =
e
2 −x − 1
x − 2
se 0 ≤ x < 2
x + 1
ln(x + 1)
se x ≥ 2
Estude f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas verticais no seu gr´afico, recorrendo a m´etodos exclusivamente
anal´ıticos.
Exame – 2011, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte
do gr´afico da fun¸c˜ao g, de dom´ınio ] − 3 , + ∞[
A reta y = 2x − 4 ´e ass´ıntota do gr´afico de g
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) lim
x→+∞
(g(x) − 2 x − 4) = 0 (B) lim
x→+∞
x
g(x)
(C) lim
x→+∞
(g(x) − 2 x + 4) = 0 (D) lim
x→+∞
(g(x) − 2 x) = 0
Exame – 2011, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, definida por
f (x) =
sen (x − 1)
ex − e
se 0 < x < 1
xe
−x
O gr´afico da fun¸c˜ao f tem uma assimptota obl´ıqua.
Determine, sem recorrer `a calculadora, a equa¸c˜ao reduzida dessa assimptota.
Teste Interm´edio 12.
o ano – 26.05.
- Considere a fun¸c˜ao h, de dom´ınio R
, e a reta de equa¸c˜ao y = −4, ass´ıntota do gr´afico de h
Qual ´e o valor de lim
x→+∞
ln
2 x
h(x)
(A) −∞ (B) +∞ (C) 4 (D) 0
Exame – 2010,
´ Ep. especial
- Seja uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R
, e seja a reta de equa¸c˜ao y = 1 a ´unica ass´ıntota do gr´afico de f
Considere a fun¸c˜ao g, de dom´ınio R
, definida por g(x) = f (x) + x
Prove que o gr´afico de g tem uma assimptota obl´ıqua paralela `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares.
Exame – 2010,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ]0, +∞[, definida por
f (x) =
e
x − 3 x
x
se 0 < x ≤ 2
x − ln x se x > 2
Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de assimptotas obl´ıquas, recorrendo a m´etodos exclusivamente
anal´ıticos.
Exame – 2010, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte do
gr´afico de uma fun¸c˜ao f , cont´ınua, de dom´ınio ] − ∞,1[
Tal como a figura sugere, a reta de equa¸c˜ao x = 1 ´e ass´ıntota do gr´afico de f
Qual ´e o valor de lim
x→ 1
−
3 x
f (x)
(A) −∞ (B) 3 (C) 0 (D) +∞
x
y
O
Exame – 2010, 1.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representadas parte do gr´afico de uma
fun¸c˜ao f , de dom´ınio [− 3 , +∞[, e parte da reta r, que ´e a ´unica
ass´ıntota do gr´afico de f.
Qual ´e o valor de lim
x→+∞
f (x)
x
(A) − 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
x
y
O
r
Exame – 2009, 2.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao h, de dom´ınio R, definida por h(x) =
x
2
2 se x = 0
e
2 x − 1
x
se x < 0
Recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos, estude a fun¸c˜ao h quanto `a existˆencia de ass´ıntotas do
seu gr´afico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equa¸c˜oes.
Exame – 2009, 2.
a Fase
- Sejam f e g duas fun¸c˜oes, ambas de dom´ınio R
.
Sabe-se que:
x→+∞
(f (x) − 2 x) = 0;
- a fun¸c˜ao g ´e definida por g(x) = f (x) + x
2 .
Prove que o gr´afico de g n˜ao tem ass´ıntotas obl´ıquas.
Exame – 2009, 1.
a Fase
- De uma fun¸c˜ao g, de dom´ınio R
, sabe-se que:
lim
x→ 0
g(x) = −∞ e lim
x→+∞
[g(x) − x] = 0
Em cada uma das alternativas apresentadas abaixo, est´a representado, em referencial o.n. xOy, o gr´afico
de uma fun¸c˜ao e, a tracejado, uma ass´ıntota desse gr´afico.
Em qual das alternativas pode estar representado o gr´afico de g?
(A) (B) (C) (D)
x
y
x
y
x
y
x
y
Teste Interm´edio 12.
o ano – 11.03.
- Seja f a fun¸c˜ao de dom´ınio R definida por f (x) =
3 x
2 − 3
x
2 − 2 x + 1
se x < 1
ln(x) − e
1 −x se x ≥ 1
Sem recorrer a calculadora, estude a fun¸c˜ao f quantoa existˆencia de ass´ıntotas do seu gr´afico, paralelas
aos eixos coordenados.
Indique uma equa¸c˜ao para cada ass´ıntota encontrada.
Teste Interm´edio 12.
o ano – 11.03.
- Na figura ao lado est´a representada parte do gr´afico de
uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, sendo y = −1 a ´unica
ass´ıntota do seu gr´afico.
Qual ´e o valor do lim
x→−∞
f (x)
(A) −∞ (B) − 3
(C) − 1 (D) 3
x
y
O
f
Exame – 2008, 2.
a Fase
- Na figura ao lado est´a parte da representa¸c˜ao gr´afica de uma fun¸c˜ao f ,
de dom´ınio R
Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a reta de equa¸c˜ao y = 1
s˜ao ass´ıntotas do gr´afico de f.
Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por g(x) = ln [f (x)]
Numa das op¸c˜oes seguintes est´a parte da representa¸c˜ao gr´afica
da fun¸c˜ao g.
Em qual delas?
x
y
O
(A) (B)
x
y
O
x
y
O
(C) (D)
x
y
O
x
y
O
Exame – 2007, 1.
a Fase
- Seja g uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
Sabe-se que a reta de equa¸c˜ao y = 2x + 3 ´e ass´ıntota do gr´afico de g
Indique o valor de
lim
x→+∞
[
g(x)
x
× (g(x) − 2 x)
]
(A) 0 (B) 5 (C) 6 (D) +∞
Teste Interm´edio 12.
o ano – 15.03.
- Na figura ao lado est´a representada, em referencial xOy, parte
do gr´afico de uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio ] − ∞,1[, cont´ınua
em todo o seu dom´ınio.
Tal como a figura sugere, tem-se:
- o gr´afico de f cont´em a origem do referencial;
- as retas de equa¸c˜oes y = 0 e x = 1 s˜ao ass´ıntotas do
gr´afico de f.
Em qual das op¸c˜oes seguintes poder´a estar representada, em
referencial xOy, parte do gr´afico de
f
(A) (B)
(C) (D)
Teste Interm´edio 12.
o ano – 15.03.
- Seja a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R
, definida por f (x) =
x
ln x
se 0 < x < 1
xe
2 −x se x ≥ 1
Sem recorrer a calculadora, estude a fun¸c˜ao f quantoa existˆencia de ass´ıntotas do seu gr´afico.
Exame – 2006,
´ Ep. especial
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ]1, + ∞[, definida por f (x) = x + x ln(x − 1).
Sem recorrer a calculadora, estude a fun¸c˜ao quantoa existˆencia de assimptotas do seu gr´afico.
Exame – 2006, 2.
a fase
- De uma certa fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, sabe-se que:
- f ´e cont´ınua;
- a reta de equa¸c˜ao y = x ´e ass´ıntota do gr´afico de f , quer quando x → +∞, quer quando x → −∞.
Mostre que o gr´afico da fun¸c˜ao g, definida, em R, por g(x) = xf (x), n˜ao tem qualquer ass´ıntota.
Exame – 2006, 1.
a fase
