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Aprenda sobre derivadas por definição
Tipologia: Resumos
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Derivadas e taxa de variac¸˜ao 30 de agosto de 2019 Lembre- se que a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto P (x 0 , y 0 ) ´e dada por:
y − y 0 = m(x − x 0 )
onde m ´e a inclina¸c˜ao ou coeficiente angular dessa reta.
Defini¸c˜ao 1.0.1. A reta tangente `a uma curva y = f (x) em um ponto P (a, f (a)) ´e a reta que passa por P e tem inclina¸c˜ao
m = lim h→ 0 f^ (a^ +^ h h)^ −^ f^ (a) (1.1)
ou alternativamente
m = lim x→a^ f^ (x x)^ −−^ fa^ (a) (1.2)
Defini¸c˜ao 1.0.2. A A derivada da fun¸c˜ao f (x) no ponto a ´e definida como
f ′(a) = lim h→ 0 f^ (a^ +^ h h)^ −^ f^ (a) (1.3)
ou alternativamente
f ′(a) = lim x→a^ f^ (x x)^ −−^ fa^ ( a) (1.4)
Exemplo 1.0.1. Encontre uma equa¸c˜ao da reta tangente `a par´abola y = x^2 no Ponto P (1, 1). Temos aqui que a = 1 e f (x) = x^2 , logo a inclina¸c˜ao da reta tangente ´e dada por:
m = f ′(a) = lim x→ 1 f^ (x x)^ −−^ f 1 (1) = (^) xlim→ 1 x
x − 1 = (^) xlim→ 1 (x^ − x^ 1)( −x 1 + 1) = (^) xlim→ 1 (x + 1) = 2
Portanto, a equa¸c˜ao da reta tangente a curva em (1, 1) ´e
y − 1 = 2(x − 1) ou y = 2x − 1
Exemplo 1.0.2. Encontre uma equa¸c˜ao da reta tangente `a hip´erbole y = (^3) x no Ponto P (3, 1). Temos aqui que a = 3 e f (x) = (^3) x , logo a inclina¸c˜ao da reta tangente ´e dada por:
m = f ′(a) = lim h→ 0 f^ (3 +^ h h)^ −^ f^ (3) = lim h→ 0 3+^3 h −^1 h = lim h→ 0
3 −3+(3+hh) h = lim h→ 0 h(3 +^ −h h) = lim h→ 0 3 +^ −^1 h = −^13
Portanto, a equa¸c˜ao da reta tangente a curva em (1, 1) ´e
y − 1 = −^13 (x − 3) ou x + 3y − 6 = 0
Note que agora podemos definir uma fun¸c˜ao cujo o dom´ınio s˜ao os pontos do dom´ınio de f para os quais o limite da equa¸c˜ao ?? existe e cuja a imagem ´e
e, dessa forma, f ´e diferenci´avel para qualquer x > 0. Se x < 0, ent˜ao |x| = −x e podemos escolher h suficientemente pequeno de modo que x + h < 0 e portanto |x + h| = −(x + h). Consequentemente, para x < 0 temos
f ′(x) = lim h→ 0 |x^ +^ h h| − | x|= lim h→ 0 −x^ −h^ h^ +^ x = lim h→ 0 −hh = − 1.
e, dessa forma, f ´e diferenci´avel para qualquer x < 0. Para x = 0 temos que averiguar
f ′(0) = lim h→ 0 |0 +^ h h| − | 0 |(Se existir).
Vamos calcular os limites a esquerda e a direita:
f ′(x) = (^) hlim→ 0 +^ |0 +^ h h| − | 0 |= lim h→ 0 |h h| = − 1.
e
f ′(x) = lim h→ 0 |0 +^ h h| − | 0 |= lim h→ 0 −hh = = − 1.
Uma vez que esses limites s˜ao diferentes, f ′(0) n˜ao existe. Logo f ´e diferenci´avel para todo x, exceto 0. Uma f´ormula para f ′^ ´e dada por
f ′(x) =
1 se x > 0 − 1 se x < 0.
Tanto continuidade como a diferenciabilidade s˜ao propriedades desej´aveis de uma fun¸c˜ao.
Teorema 1.0.1. Se f ´e diferenci´avel em a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a.
Como uma fun¸c˜ao pode deixar de ser diferenci´avel?
Derivadas de ordem superior (f ′)′^ = f ′′^ dxd
( (^) dy dx
= d
(^2) y dx^2
Exemplo 1.0.6. Se f (x) = x^3 − x, encontre uma f´ormula para f ′′(x).
Teorema 1.2.1. Seja f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis e c uma constante. Ent˜ao:
(f (x) g(x)
= dxd^ [f^ (x)]g(x g)(−x)f 2 (x)^ dxd^ [g(x)] Nota¸c˜ao de linha:
(f g
= f^ ′g g− 2 f g′
dx^ d (ax) =^ axln(a)^ dxd (ex) =^ ex Demonstra¸c˜oes:
f (x + h) − f (x) h =
h = 0
xn^ − an^ = (x − a)(xn−^1 + xn−^2 a + ... + xan−^2 + an−^1 ) Usando a defini¸c˜ao de derivada no ponto a. f ′(a) = (^) xlim→a^ f^ (x x)^ −−^ fa^ ( a)= lim x→a^ x
n (^) − an x − a =^ xlim→a
(x − a)(xn−^1 + xn−^2 a + ... + xan−^2 + an−^1 ) x − a = lim x→a(xn−^1 + xn−^2 a + ... + xan−^2 + an−^1 ) = nan−^1 Logo f ′(x) = nan−^1. Em particular note que, se f (x) = x, ent˜ao f ′(x) = 1
Demonstra¸c˜ao. Seja F (x) = f (x) + g(x), ent˜ao: F ′(x) = lim h→ 0 F^ (x^ +^ h h) −^ f^ (x)= lim h→ 0 f^ (x^ +^ h) +^ g(x^ + h^ h)^ −^ f^ (x)^ −^ g(x) = lim h→ 0 f^ (x^ +^ h h)^ −^ f^ (x)= lim h→ 0 g(x^ +^ h h)^ −^ g(x)= f ′(x) + g′(x).
Demonstra¸c˜ao. f ′(x) = lim h→ 0 e
x+h (^) − ex h = lim h→ 0
exeh^ − ex h = lim h→ 0 e
x(eh (^) − 1) h =^ e
x (^) lim h→ 0
eh^ − 1 h =^ e
x Lembre se que definimos o n´umero e como sendo o n´umero tal que f ′(0) = lim h→ 0 e
h (^) − 1 h = 1
Exemplo 1.2.1. Derive a) f (x) = x^4 b) y = (^) x^12 c) g(x) = 3
x^2 d) h(x) = 3x^2 e)p(x) = −x
Note que em todos os itens iremos usar o item 9)
a) f ′(x) = 4x^4 −^1 = 4x^3 b) Note que f (x) = x−2, logo f ′(x) = − 2 x−^2 −^1 = − 2 x−^3 c) Note que g(x) = 3
x^2 = x^23 , ent˜ao g′(x) = 23 x^23 −^1 = 23 x−^13. d h′(x) = 3. 2 x^2 −^1 = 6x e) p′(x) = −1.
Exemplo 1.2.2. Calcule (^) dxd (x^8 + 12x^5 − 4 x^4 + 10x^3 − ex^ + 3x^ − 6 x + 5)
Exemplo 1.2.8. Encontre uma equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y = (^) 1+exx 2 no ponto (1, 12 e).
dx^ d (sin(x)) = cos(x)^ dxd (cos(x)) =^ −^ sin(x)^ dxd (tan(x)) = sec^2 (x) dx^ d (sec(x)) = sec(x) tan(x)^ dxd (cossec(x)) =^ cossec(x)cotg(x)^ dxd (cotg(x)) =^ −cossec^2 (x) Vamos demonstrar a derivada da fun¸c˜ao f (x) = sin(x) e da fun¸c˜ao g(x) = tan(x). Para de- monstrarmos a derivada de f (x) = sin (x), usaremos dois limites fundamentais trigonom´etricos.
xlim→ 0 sin( x x)= 1^ e^ lim x→ 0 cos(x x) −^1 = 0
Demonstra¸c˜ao. Usando a defini¸c˜ao de derivada f ′(x) = lim h→ 0 sin(x^ +^ h h)^ −^ sin(x)= lim h→ 0 sin(x) cos(h) + sin( hh) cos(x)^ −^ sin(x)
= lim h→ 0 sin(x)(cos(h)^ −^ 1) + sin( h h) cos(x)= lim h→ 0 sin(x)(cos( h h)^ −^ 1)+ lim h→ 0 sin(h) cos( h x)
= sin(x) lim h→ 0 cos(h h) −^1 + cos(x) lim h→ 0 sin( hh )= sin(x).0 + cos(x).1 = cos(x). Note que g(x) = tan(x) = (^) cos(sin(xx)). Ent˜ao, usando a regra do quociente. g′(x) = (sin(x))′cos( cosx)− (^2) (sin(x) x)(cos(x))′= cos^2 (cosx)+sin (^2) (x) 2 (x)= (^) cos^12 (x) = sec^2 (x)
Exemplo 1.3.1. Derive a) y = x^2 sin(x) b)f (x) = (^) 1+tan(sec(x)x) c) f (x) = √x sin (x)(x^2 − x)
