Baixe Introdução à Análise Complexa: Continuidade de Funções Complexas e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas
Departamento de Matemática
Variáveis Complexas Viviane
- Continuidade
A definição de continuidade de uma função com- plexa é, em essência, igual à de uma função real:
Definição 1.1. Uma função é contínua em um ponto z 0 se lim z→z 0
f (z) = f (z 0 ).
Uma função complexa f é dita contínua numa região R se for contínua em cada ponto de R.
De forma análoga a funções reais, uma função complexa f é contínua em z 0 se satisfaz três condi- ções:
Critérios de continuidade de uma função em um ponto: Uma função complexa f é contí- nua no ponto z 0 se cada uma das três condi- ções a seguir for atendidas: (i) lim z→z 0
f (z) existe,
(ii) f está definida em z 0 e
(iii) (^) zlim→z 0
f (z) = f (z 0 ).
Exemplo 1.2. Seja p(z) uma função polinomial. Quando trabalhos com limites de funções, vimos que
lim z→z 0
p(z) = p(z 0 ),
para qualquer z 0 ∈ C. Então, p(z) é contínuo em z 0 e, pela arbitrariedade de z 0 , p(z) é contínuo em C.
Exemplo 1.3. Pelo Exemplo anterior e pela pro- priedade de limite (d), as funções racionais são con- tínuas em seus domínios.
Já sabemos que as raízes quadradas complexas de um número não nulo z = r(cos θ + i sin θ) são dadas por
zk =
r
cos
θ 2
θ 2
rei(θ/2+kπ), onde k = 0, 1.
Essa fórmula não define uma função, pois aloca dois valores complexos (um para k = 0 e outro para k = 1) ao número complexo z. Contudo, fixando θ = Arg(z) e k = 0 podemos definir uma função que associa z à única raiz quadrada principal.
A função f (z) = z^1 /^2 definida por:
z^1 /^2 =
|z|
[
cos
θ 2
θ 2
)]
em que θ = Arg(z) é chamada de função raiz quadrada principal.
Exemplo 1.4. Mostre que a função da raiz qua- drada principal f (z) = z^1 /^2 é descontínua no ponto z 0 = − 1.
Solução: Para mostrar que f (z) = z^1 /^2 é descon- tínua em z 0 = − 1 mostraremos que lim z→− 1
z^1 /^2 não existe. Para tanto, identificaremos dois caminhos que passam por − 1 ao longo dos quais z^1 /^2 tende a valores distintos.
Consideremos que z se aproxima de − 1 ao longo de um quarto da circunferência unitária no segundo quadrante, ou seja, consideremos os pontos z com |z| = 1 e π/ 2 < Arg(z) < π. Fazendo |z| = 1 e Arg(z) = θ tender a π, obtemos:
lim z→− 1
z^1 /^2 = lim θ→π
cos
θ 2
θ 2
= i. 1
2
Figura 1. Caminhos que passam pelo ponto (0, −1).
A seguir, fazemos z tender a − 1 pelo um quarto da circunferência unitária no terceiro quadrante, ou seja, consideremos os pontos z com
|z| = 1 e − π/ 2 < Arg(z) < −π.
Fazendo |z| = 1 e Arg(z) = θ tender a −π, obtemos:
lim z→− 1
z^1 /^2 = lim θ→−π
cos
θ 2
θ 2
= −i.
Como os limites não são iguais, concluímos que
z^ lim→z 0
z^1 /^2 não existe e, consequentemente, a função
raiz quadrada principal f (z) = z^1 /^2 é descontínua em − 1.
Proposição 1.5. (Partes real e imaginária de uma função contínua) Suponha que
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) e z 0 = x 0 + iy 0.
Então a função complexa f é contínua no ponto z 0 se, e somente se, se as funções reais u e v são con- tínuas no ponto (x 0 , y 0 ).
Exemplo 1.6. Pela proposição anterior temos que função f (z) = |z| é contínua em C. Realmente, fazendo z = x + yi temos que
f (z) = |z| =
x^2 + y^2.
Assim,
u(x, y) =
x^2 + y^2 e v(x, y) = 0.
Como ambas funções reais são contínuas para quais- quer (x, y) ∈ R^2 , concluímos que f (z) = |z| é con- tínua em todo o plano complexo.
Proposição 1.7. Se f e g são contínuas no ponto z 0 , então as seguintes funções são contínuas no ponto z 0 :
(a) cf , em que c é uma constante complexa, (b) f ± g, (c) f · g,
(d)
f g
desde que g(z 0 ) 6 = 0.
- Exercícios - Aula síncrona
(1) Mostre que a função é contínua em
f (z) =
z^3 z^3 + 3z^2 + z é contínua em z 0 = i.
(2) Determine a maior região no plano com- plexo na qual a função f é contínua. (a) f (z) = z − 3 Re(z) + i
(b) f (z) =
z − 1 |z|^2 − 4
(3) Mostre que a função
f (z) =
z |z|
se z 6 = 0
1 , se z = 0 é descontínua no ponto especificado em z 0 =
(4) Seja w = f (z) uma função definida em cada ponto de um δ-vizinhança de um ponto z 0 , e seja W = g(w) uma função cujo domí- nio de definição contenha a imagem da δ- vizinhança de z 0 por f.
Então, a composição W = g[f (z)] está de- finida em cada z da δ-vizinhança de z 0. Mostre que se f seja contínua em z 0 be g é contínua em f (z 0 , então a composição g ◦ f é contínua em f (z 0 ).
- Bibliografia
(1) CHURCHILL, Ruel V. e BROW, James W. Variáveis Complexas e Aplicações. Tradu- ção de Claus Ivo Doering. 9a. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. (2) ZILL, Dennis G. e SHANAHAN, Patrick. Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações. 2.ed. LT. 2011.
