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Este documento aborda temas relacionados à geometria analítica no plano complexo, incluindo equações de retas, circunferências, elipses, hipérboles e transformações de möbius. São apresentadas equações para diferentes elementos geométricos no plano complexo e transformações que preservam essas estruturas geométricas.
Tipologia: Esquemas
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Dissertação de Mestrado do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT)
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados inseridos pelo(a) autor(a)
Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/ Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/
R161t Raiz, Caio Eduardo Martins Transformações de Möbius e projeções na esfera de Riemann / Caio Eduardo Martins Raiz; orientador Prof. Dr. Tiago Henrique Picon. -- São Carlos, 2018. 123 p.
Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2018.
Möbius transformations and Riemann sphere projections.
Master dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Mathematics Professional Master’s Program. FINAL VERSION Concentration Area: Professional Master Degree Program in Mathematics in National Network Advisor: Prof. Dr. Tiago Henrique Picon
USP – São Carlos December 2018
Este trabalho é dedicado ao meu pai.
“Too much ego will kill your talent.”
RESUMO
RAIZ, C. E. M. Transformações de Möbius e projeções na esfera de Riemann.. 2018. 123 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional)
Nessa dissertação exploramos os efeitos geométricos das Transformações de Möbius em C utilizando projeções na Esfera de Riemann. Como aplicação, apresentamos a ação de algumas transformações aplicadas em cônicas no plano. Uma atividade didática voltada aos alunos do Ensino Médio sobre Transformações de Möbius utilizando o Geogebra é apresentada.
Palavras-chave: Números Complexos, Geometria Analítica em C, Transformações de Möbius, Projeções na Esfera de Riemann.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Exemplo 2.1.1................................. 23 Figura 2 – Exemplo 2.1.2................................. 26 Figura 3 – Exemplo 2.1.3................................. 29 Figura 4 – Exemplo 2.1.4................................. 31 Figura 5 – Elipse ξ e os focos F 1 e F 2.......................... 32 Figura 6 – Exemplo 2.1.5................................. 35 Figura 7 – Exemplo 2.1.6................................. 38 Figura 8 – Tα (z) = z + α................................. 40 Figura 9 – Exemplo 2. 2. 1. r ‖ Tα (r)........................... 43 Figura 10 – z 1 , z 2 , z 3 e z 4 na circunferência π de raio
2 e centro z 0........... 45 Figura 11 – Exemplo 2.2.2. As circunferências π e Tα (π)................ 46 Figura 12 – Homotetia pelo fator ρ 0 e Rotação pelo ângulo θ 0.............. 47 Figura 13 – Mβ (z) =
Hρ 0 ∘ Rθ 0
(z) =
Rθ 0 ∘ Hρ 0
(z)................... 49 Figura 14 – Exemplo 2.2.3. ∆ 1 ∼ ∆ 2 - Ângulos preservados e lados dobrados....... 50 Figura 15 – Exemplo 2.2.4. r e Mβ (r) - Bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares, respectivamente................................. 53 Figura 16 – Exemplo 2.2.5. As circunferências π e Mβ (π) β = − 1 − i = 2
2 ei^ 54 π 56 Figura 17 – z = ρeiθ^ e w = ρ−^1 e−iθ^............................. 57 Figura 18 – Exemplo 2.2.6. I(z) transforma a reta r na reta I(r). Ambas passam pela origem...................................... 61 Figura 19 – Exemplo 2.2.7. I(z) transforma retas que não passam pela origem em circun- ferências que passam pela origem....................... 63 Figura 20 – Exemplo 2.2.8. I(z) transforma circunferências em retas ou em circunferências. 68 Figura 21 – Exemplo 2.2.9. Gráfico da curva I(ξ )..................... 72 Figura 22 – Exemplo 2.2.10. Gráfico da hipérbole ψ e da curva I(ψ)........... 75 Figura 23 – As duas soluções da equação (2.30) com a restrição |z| = 1.......... 76 Figura 24 – z 1 e z 2 são as únicas soluções com a restrição |z| = 1 para a Equação 2. com n + 2 divisível por 6........................... 78 Figura 25 – f (z) = (h ∘ g)(z)................................ 82 Figura 26 – f (z) = (k ∘ j ∘ h ∘ g)(z)............................ 84 Figura 27 – Projeção na superfície esférica......................... 92
Figura 28 – Retas que passam pela origem e suas projeções na esfera(meridianos).... 97
