Baixe Problemas de matemática e geometria no plano complexo e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Proposta de Teste [abril – 2018]
Nome: _______________________________________________________________
Ano / Turma: _________ N.º: _____ Data: ___ - ____ - ___
- Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado.
- A prova inclui um formulário.
- As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
CADERNO 1
(É permitido o uso de calculadora gráfica)
1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um octaedro regular
[ OABCDE ].
Sabe-se que:
. os vértices O e E pertencem ao eixo Oz ;
. o plano BCE é definido pela equação 2 y + 2 z − 12 = 0 ;
. a reta AB é definida pela equação
x y z , , = 3, 0,3 2 + k 0,1, 0 ; k ∈ ℝ.
1.1. Determina as coordenadas do ponto B.
1.2. Considera todas as sequências de seis elementos formadas pelas letras O , A , B , C , D e E , que
representam os vértices do octaedro.
Quantas dessas sequências começam por uma consoante e têm as vogais juntas?
(A) 108 (B) 360 (C) 60 (D) 120
1.3. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do octaedro.
Determina a probabilidade de ser escolhido o vértice A , sabendo que a reta definida pelos vértices
escolhidos não é paralela ao plano xOy.
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
2. Em
, conjunto dos números complexos, considera = 3 −2i
A
z.
Seja S a região do plano complexo definida pela condição:
− ≤ −3i ∧ Im ≤Im
A A
z z z z
O perímetro da região S , arredondado às centésimas, é igual a:
(A) 4,71 (B) 14,14 (C) 15,42 (D) 18,
Proposta de Teste [abril – 2018]
3. Numa casa houve uma rutura na instalação de água, tendo sido detetada uma mancha numa das
paredes da casa.
A área da superfície da mancha foi aumentando até ao
momento em que a rutura foi reparada. A partir desse
momento a mancha foi diminuindo até desaparecer.
Admite que a área da mancha, t horas após ter sido
detetada, é dada em metros quadrados, pela função
definida por: ( )
0,
e
t
t
f t.
Recorre às capacidades gráficas da calculadora e resolve o seguinte problema:
Quanto tempo decorreu, após a reparação da rutura,
até a área da mancha atingir 25% da área detetada inicialmente?
Na tua resposta deves:
. Equacionar o problema. . Reproduz num referencial o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizares na calculadora e
assinalar pontos relevantes para a resolução do problema e as respetivas coordenadas.
. Apresentar a resposta na forma ⋯ h ⋯ min (os minutos arredondados às unidades).
FIM (Caderno 1)
Cotações
Total
Questões – Caderno 1 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3.
Pontos 10 15 15 10 20 70
Proposta de Teste [abril – 2018]
b) Determina o valor de k de modo que ( ) ( )
x '' t = k x t
c) Calcula
( )
1
2
lim
t
x t
t
→
d) O valor da frequência deste oscilador harmónico é:
(A)
(B)
(C)
(D)
3. Na figura estão representados, no plano complexo, os pontos P , Q , R , S e T.
Sabe-se que:
. o ponto P é o afixo de um número complexo z ;
. w = − z i
Qual dos pontos assinalados na figura pode ser o afixo do número
complexo
w ?
(A) R (B) T (C) S (D) Q
4. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considera:
( )
2
1
z = 2 + i −3i e
2
1
5i
z =
z
4.1. Representa na forma
a + b i; a b , ∈ ℝ
o número complexo
2
z.
4.2. Representa no plano complexo o conjunto de pontos definido pela condição:
1
z − z ≤ 2 ∧ z ≥ 3
FIM (Caderno 2)
Cotações
Caderno 1 (com calculadora)
Questões 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3.
Pontos 10 15 15 10 20 Total 70
Caderno 2 (sem calculadora)
Questões 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. a) 2.2. b) 2.2. c) 2.2. d) 3. 4.1. 4.2.
Pontos 15 10 15 15 15 15 10 10 15 10 Total 130
Total 200
Proposta de Teste [abril – 2018]
FORMULÁRIO
GEOMETRIA
Comprimento de um arco de circunferência: α r
( α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;
r – raio)
Áreas de figuras planas
Polígono regular: Semiperímetro × Apótema
Setor circular:
2
2
α r
( α
- amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio )
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: π r g
( r – raio da base ; g – geratriz )
Área de uma superfície esférica:
2
4 π r
( r – raio )
Volumes
Pirâmide:
1
3
× Área da base × Altura
Cone:
1
3
× Área da base × Altura
Esfera:
3
4
3
π r
(r – raio)
PROGRESSÕES
Soma dos n primeiros termos de uma progressão ( u n
):
Progressão aritmética:
1
2
n
u u
n
×
Progressão geométrica:
1
1
1
n
r
u
r
−
×
−
TRIGONOMETRIA
sin a + b = sin a cos b +sin b cos a
cos a + b = cos a cos b −sin a sin b
sin A sin B sin C
a b c
= =
2 2 2
a = b + c − 2 bc cos A
COMPLEXOS
( ) ( ) ( )
i i
cis cis ou e e
n
n n n n
n
θ θ
ρ θ = ρ θ ρ =ρ
2
i
2
cis cis ou e e
k
n n n n n
k
n
θ
θ
θ
ρ θ ρ ρ ρ
= =
( )
k ∈ 0 , ... , n − 1 e n ∈ℕ
PROBABILIDADES
1 1 n n
μ = p x +…+ p x
2 2
1 1 n n
σ= p x − μ +…+ p x −μ
Se X é N ( μ , σ )
, então:
P μ − σ < X < μ + σ ≈0 6827 ,
P μ − 2 σ < X < μ + 2 σ ≈0 9545 ,
P μ − 3 σ < X < μ + 3 σ ≈0 9973 ,
REGRAS DE DERIVAÇÃO
u + v ' = u' + v'
u v ' = u' v + u v'
2
u u' v u v'
v v
′
−
=
( ) ( )
n n 1
u ' n u u' n
−
= ∈ℝ
sin u ' = u' cos u
cos u ' = − u' sin u
2
tan
cos
u'
u '
u
=
( )
e e
u u
u'
′
=
( ) ( { })
In \ 1
u u
a u' a a a
′ +
= ∈ ℝ
In
u'
u
u
′
=
( ) ( { })
log \ 1
In
a
u'
u a
u a
′
= ∈ ℝ
LIMITES NOTÁVEIS
1
lim 1 e
n
n
( n ∈ ℕ)
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
e 1
lim 1
x
x
x →
−
=
In
lim 0
x
x
x
→+∞
=
e
lim
x
p
x
p
x
→+∞
= +∞ ∈ℝ
Proposta de Resolução [abril – 2018]
2. A condição dada define um semicírculo de raio 3, tal como está
representado na figura.
Assim, o perímetro da região S é dado por:
2 π
2 2 π 6 3 π
r
r r r
6 + 3 π ≈15, 42
Opção: (C) 15,
3. Área da mancha no momento em que foi detetada:
( )
0
e
f = =
O momento em que se procedeu à reparação corresponde ao máximo da função.
Após inserir a expressão da função na calculadora, identifica-se o
instante em que esta atinge o valor máximo, considerando uma janela
com
m ín
x = 0
, uma vez que t ≥ 0.
Verifica-se que esse instante ocorre para t ≈ 2, 9833.
Pretende-se resolver a equação ( )
f x = 0, 25 × 0, 7.
Para isso, insere-se a função definida por 25% da área detetada inicialmente, ou seja,
( )
g x = 0,25 × 0,
e identifica-se o ponto de interseção dos gráficos
de f e g , fazendo o ajuste necessário à janela de visualização.
Identifica-se o ponto de coordenadas: ( )
23, 284; 0, 209
O tempo decorrido após a reparação é dado por: 23, 284 − 2, 983 = 20, 301
0, 301 × 60 =18, 06
Após a reparação decorreram, aproximadamente, 20,301 horas, ou seja, 20 h 18 min.
Resposta: 20 h 18 min
Proposta de Resolução [abril – 2018]
CADERNO 2
(Não é permitido o uso de calculadora gráfica)
cos 2cos
2
OA
α= ⇒ OA = α
sin 2sin
2
AB
α= ⇒ AB = α
Área do triângulo [ OAB ]:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2cos 2sin
2sin cos sin 2
2 2
OA AB
α α
α α α
×
= = =
Raio do semicírculo:
2sin
sin
2 2
AB α
= = α
Área do semicírculo de raio r = sin α:
( )
2 2
πsin π
2 2
=
r
α
Área da região sombreada: ( ) ( )
( )
2
πsin
sin 2
2
f = +
α
α α
( )
π
8
lim
→
f f
f
α
α
α
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
π sin
sin 2 2 cos 2 2 sin cos 2 cos 2 sin 2
= + = + × = +
f
2 cos sin 2 2
= + = × + × = +
f
Opção: (D)
2 π
2
4
5cos 5 cos cos sin sin
t π t t
( )
5 cos sin 2, 5 2 cos sin
= × − = − =
t t t t
x t
Assim, tem-se ( )
π π
5cos
2 4
= +
t
x t.
Proposta de Resolução [abril – 2018]
d) ( )
π π
5cos
2 4
= +
t
x t
Período da função:
2 π
π
T = =
Frequência do oscilador harmónico:
T 4
Resposta:
3. Se z = a + b i , então
( )
P a b ,.
( ) ( )
w = − z i = − a − b i i = − a i + b = − − b a i
Então, o afixo de
w é o ponto de coordenadas ( )
− b , − a .
O ponto S é o único que pode ter coordenadas ( )
− b , − a.
Opção: (C) S
( )
2
1
z = 2 + i − 3i = 4 + 4 i − 1 − 3i = 3 +i
( )
( ) ( )
2
1
5i 3 i
5i 5i 5 15i 1 3
i
3 i 3 i 3 i 10 2 2
z
z
Resposta:
2
i
z = − +
1
z − z ≤ 2 ∧ z ≥ 3
1
z − z ≤ 2 → Representa um círculo de centro no ponto ( )
3, 1 e
raio 2.
z ≥ 3 → Representa a parte exterior do círculo de centro ( )
0,
e raio 3, incluindo a fronteira.
