Baixe sequencia didática teorema de tales e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Resumo
O presente trabalho apresenta uma hipotética sequência didática sobre o teorema de Tales para ser trabalhada por professores de matemática do Ensino Fundamental. Ele traz uma descrição pormenorizada das atividades, assim como o tempo necessário para a implementação de cada etapa temática, os pré- requisitos para uma boa compreensão dos conceitos abordados e as habilidades contempladas. Sua construção teve como base fatores pedagógicos e teóricos, visando assim uma melhor assimilação dos temas e um ensino que tenta explorar o rigor matemático adequado para a faixa etária em questão. No total, este trabalho possui cinco atividades, que trazem, além de propostas didáticas, exercícios para a fixação dos conteúdos abordados e problemas extraídos das principais avaliações aplicadas aos estudantes (Saresp, Obmep,).
Sumário
- Objetivos Centrais
- Habilidades Matemáticas
- Sequência Didática
- Razão e proporção
- 1.1. Trabalho a ser desenvolvido
- 1.2. Exercícios
- Teorema de Tales
- 2.1. Trabalho a ser desenvolvido
- 2.2. Exercícios
- Projeto em equipe
- 3.1. Trabalho a ser desenvolvido
- Aplicação do teorema de Tales: Divisão de um segmento em partes iguais
- 4.1. Trabalho a ser desenvolvido
- 3.2. Exercícios
- Teorema da bissetriz
- 5.1. Trabalho a ser desenvolvido
- 5.2. Exercícios
- Resultados esperados
- Considerações finais...............................................................................................................................
- Bibliografia
1. Razão e proporção
Pré-requisitos: números racionais; Habilidades matemáticas: assimilar o conceito de razão e proporção e saber aplicá-lo em geometria; Tempo: duas horas-aula.
1.1. Trabalho a ser desenvolvido
Esta seção tem a finalidade de retomar dois conceitos fundamentais para a compreensão dos temas vindouros. Trata-se da noção de razão e proporção, em tese, já vista pelo aluno nas séries anteriores, mas que deve ser novamente abordada, agora visando sua aplicabilidade em geometria. O professor pode iniciar o assunto apresentando alguns exemplos de razões extraídos do dia a dia e da própria realidade dos estudantes. Uma forma de elucidar tal questão é calculando a razão entre o número de meninas e o total de estudantes da sala. A partir de modelos como este, cabe ao docente estabelecer a relação entre razão e quociente (razão entre dois números, com o segundo diferente de zero, é o quociente do primeiro pelo segundo) e explicar que, diferentemente de uma fração, a razão exprime um sentido de comparação entre duas grandezas (no exemplo anterior, podemos dizer que para uma quantidade X de alunos, temos uma quantidade Y de meninas, ou seja, esta razão é indicada por Y/X). Dando continuidade ao tema, deve ser exposto pelo professor que duas razões são proporcionais se estas resultam num mesmo valor. Junto deste enunciado, é importante que ele traga exemplos de razões que formam uma proporção e demonstre algumas propriedades, como as listadas abaixo:
Propriedade fundamental das proporções:
a d b c
d
c
b
a
Tabela 1 – Propriedades das proporções (igualdades obtidas a partir
da proporção ba^ dc )
c
c d
a
a b
b
a
b d
a c
b
c d
b
a b
d
c
b d
a c
Após revisar estes dois conceitos, é necessário aliá-los à geometria. Para tal, o professor pode pedir aos alunos que calculem a razão entre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes, como os do exemplo abaixo.
C
C’
A’ ≡ A B’ B Figura 1 – A razão entre os lados correspondentes de figuras semelhantes formam uma proporção.
AB = 8, A ' C '= 6
BC = 10, A ' B '= 4
A ' C ' = 3, B ' C '= 5
Ao fazerem isto, espera-se que os alunos cheguem à seguinte conclusão:
ou seja, 2 é definido como sendo a razão da proporção. Vale destacar que, neste caso não é necessário indicar os ângulos , e , pois pelo teorema de Tales eles são congruentes dois a dois.
2. Teorema de Tales
Pré-requisitos: conceitos básicos de geometria; Habilidades matemáticas: Identificar situações-problemas que possam ser resolvidas através do teorema de Tales e figuras para as quais ele seja válido; Tempo: 4 horas-aulas.
2.1. Trabalho a ser desenvolvido
Verificação empírica do teorema de Tales
Com esta atividade, espera-se que os alunos constatem empiricamente a validade do teorema de Tales. Para tal, basta que o professor desenhe um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, meça, usando uma régua graduada, o comprimento dos segmentos formados e peça aos alunos que calculem a razão entre esses segmentos (é importante destacar a necessidade de o desenho atender a tais especificações). Outra opção é usar o computador para fazer este tipo de verificação. O software Cabri-géomètri II, desenvolvido pelos matemáticos franceses Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain, por exemplo, permite a construção de figuras de modo simples, favorecendo o entendimento dos conceitos expostos que, num primeiro momento, podem não convencer. Com este programa, é possível alterar a posição das retas transversais e, consequentemente, a medida dos segmentos formados: entretanto, a razão entre as medidas continua a mesma.
Formalização do teorema de Tales
Feita a exibição supracitada, cabe ao docente, neste novo momento, perguntar aos alunos se eles notaram algum “padrão” nos cálculos realizados. Após uma breve discussão, ele deve formalizar o teorema, não se esquecendo de definir os seguintes conceitos geométricos:
Feixe de retas paralelas: Duas ou mais retas de um mesmo plano formam um feixe de retas paralelas quando, tomadas duas a duas, são sempre paralelas; Transversal: Se uma reta corta uma ou duas retas de um feixe de paralelas, então ela corta também as demais. Dizemos que essa reta é transversal ao feixe de paralelas; Pontos correspondentes: pontos correspondentes de duas transversais são pontos destas transversais que estão numa mesma reta do conjunto de paralelas; Segmentos correspondentes: segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos que têm por extremidade pontos correspondentes
Também é interessante fazer um resgate histórico sobre a construção do teorema de Tales, a fim de ilustrar o desenvolvimento da matemática em diferentes épocas e contextos. O professor ainda pode solicitar aos alunos uma pesquisa a respeito, lembrando de indicar as fontes mais confiáveis e de dar algumas orientações sobre como realizá-la. Por último, ele não pode deixar de fazer uma demonstração algébrica desse teorema, tendo em vista que este tipo de abordagem é fundamental para que o aluno tome conhecimento da matemática em seu aspecto mais formal.
2.2. Exercícios
1. Determine os valores de x e y indicados nas figuras abaixo.
a)
x = 1,
estudantes como é possível realizar tal medida sem que seja necessário utilizar uma escada ou algo parecido. Após uma breve discussão, eles devem notar a relação entre o problema exposto e o teorema de Tales. Então, para verificar sua viabilidade, o professor deve levá-los para o pátio da escola (o dia deve estar ensolarado e o horário não pode ser entre 10h e 14h, pois nesse intervalo a sombra é pequena) e pedir para que eles meçam o comprimento da sobra projetada pelo prédio e por um aluno, assim como sua respectiva altura. Aplicando o teorema, obtemos a seguinte proporção:
sombra do aluno
altura do aluno
sombra da escola
altura da escola
Para deixar ainda mais evidente a validade do teorema, eles podem medir diferentes alunos (altos e baixos). Por fim, cabe ao professor colher os valores obtidos pelos estudantes, tirar a média aritmética entre eles, compará-la com o valor real (caso a escolha disponha desse dado) e explicar a origem das possíveis diferenças (causadas por pequenos erros na medição ou por causa da imprecisão dos instrumentos utilizados).
4. Aplicação do teorema de Tales: Divisão de um segmento em partes iguais
Pré-requisitos: conhecer alguns instrumentos de desenho geométrico, tais como régua e compasso; Habilidades: aplicar o teorema de Tales na construção de figuras; Tempo: duas horas-aula.
4.1. Trabalho a ser desenvolvido
Nesta atividade, o professor mostrará aos alunos como é possível dividir um segmento de reta em partes iguais usando apenas régua não graduada e compasso. Ao seu final, espera-se que os estudantes saibam aplicar o teorema
de Tales na construção de figuras e assimile algumas noções básicas de desenho geométrico. Seguem, abaixo, as instruções para a realização desta tarefa.
1º - Traçamos uma semirreta com origem em A e que forma um ângulo < 90º (ângulo agudo) com AB. 2º - Com uma abertura qualquer do compasso, obtemos os pontos R, S, P, de modo que AR = RS = SP. 3º - Após ligarmos PB, traçamos a reta que passa por S e é paralela a PB, obtendo o ponto S’. 4º - Em seguida, traçamos a reta que passa por R e é paralela a SS, obtendo o ponto R’.
Após a conclusão do desenho, os alunos devem notar, com a orientação do professor, que AR’, R’S’ e S’B são congruentes, pois AB e AP são duas transversais de um feixe paralelas. Sendo assim, como AR = RS = SP, o teorema de Tales nos garante que AR’= R’S’= S’B.
Ao final deste exercício, teremos a seguinte figura:
Figura 3 – Segmento de reta dividido em partes iguais
3.2. Exercícios
1. Em grupo, trace um segmento de reta qualquer na posição vertical e divida-o em três partes iguais.
AC = 48 cm
2. O perímetro de um triângulo ABC é 100 cm. A bissetriz interna do ângulo
 divide o lado oposto BC em dois segmentos de 16 cm e 24 cm. Determine os lados desse triângulo.
24 cm, 36 cm e 40 cm.
Resultados esperados
Com a implantação desta sequência didática espera-se que o aluno tenha domínio sobre os conceitos abordados e saiba aplicá-los na resolução de situações-problema. Além disso, com as atividades expostas ao longo deste trabalho, espera-se que o estudante tome conhecimento dos momentos históricos em que os mesmos surgiram bem como do rigor matemático necessário para sua compreensão, que aqui é explorado através dos exercícios apresentados como modelo em cada etapa temática.
Considerações finais
Na análise deste autor, o presente trabalho contempla satisfatoriamente o tema em questão. O professor que se guiar pelas atividades aqui propostas certamente poderá explorar os conceitos matemáticos abordados conectados à realidade dos estudantes, principalmente no que se refere à faixa etária e à capacidade cognitiva dos mesmos. Por outro lado, a sequência didática exposta não abre mão do rigor matemático necessário para uma boa exposição teórica do conteúdo, tendo em vista sua cobrança nos principais exames (Saresp e Obmep) a que os alunos do ensino fundamental estão sujeitos.
Bibliografia
DANTE, L.R., Tudo é Matemática: 9º ano, Manual do Professor. 3. Ed. São Paulo: Ática, 2011. São Paulo. Secretaria de Educação. Caderno do Aluno – 7ª Série do Ensino Fundamental. Volume 4. São Paulo: SEE, 2010. 56p. COC Sistema de Ensino, Pré-Vestibular, Matemática 2: Geometria Plana. Ed. Ribeirão Preto, SP: COC. LANDIM, Claudio (Coordenador). OBMEP - Banco de Questões 2008. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/bq2008.pdf. Acessado em: 5 de novembro de 2011. LANDIM, Claudio (Coordenador). OBMEP - Banco de Questões 2007. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/BANCOQUESTOES2007-final- grafica-CD.pdf. Acessado em: 1 de novembro de 2011. http://www.colegioinovacao.com.br/cms/documentos/denise_matematica_ a_serie_segmentos_proporcionais.pdf. Acessado em: 1 de novembro de
http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/teorema-bissetriz- interna.htm. Acessado em: 5 de novembro de 2011.
