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Sequências e séries
numéricas
Sequência
Definição: É uma lista ordenada dos pares. Através do limite podemos verificar se a sequência converge ou não. Ou seja, se existe lim → ∞^ an , a sequência converge. Já se lim → ∞^ an^ = ∞ , a sequência diverge.
Séries
Definição: é a soma dos termos de uma sequência. Cálculo de série por soma parcial: S = lim → ∞^ Sn Se existe lim → ∞^ Sn , a série converge. Já se lim → ∞^ Sn^ = ∞ , a série diverge. Passo-a-passo:
1. Analisar a série e tentar escrevê-la como frações parciais; 2. Abrir a série como telescópica e atribuir valores para n para que consiga cancelar os termos e chegar a uma equação final; 3. A equação será composta pelo primeiro termo da série menos o último termo; 4. Calcular o limite e concluir se a série converge ou não. Série geométrica: Tem a seguinte estrutura:
n = 1 ∞ a .r n − 1
ou ∑
n = 0 ∞ a .r n Se a razão |r| < 1, a série é convergente e sua soma é dada por S = a 1 − r
Se a razão |r| ≥^ 1, a série é divergente. Critérios de convergência de uma série:
Se a série ∑
n = 1 ∞ an é convergente, então = lim → ∞^ an = 0. OBS: se lim → ∞^ an^ = 0 não significa que a série é convergente. Lembrar sempre da série harmônica que lim → ∞^ an^ = 0, mas a série é divergente. Portanto, calculamos o limite da série, se for DIFERENTE DE ZERO, concluímos que a série DIVERGE. Mas, se o limite for IGUAL A ZERO, NADA PODEMOS AFIRMAR e precisaremos de outros testes. P-série: A p-série tem o seguinte formato:
n = 1 ∞ 1 n p Para sabermos se a série converge, basta olhar para a potência p: Para p > 1, a série converge; Para p ≤^ 1, a série diverge. Lembrando que a série harmônica é uma p-série que SEMPRE diverge. Teste da comparação :
Sejam as séries ∑ an^ e ∑ bn
de termos positivos, tais que an ≤^ bn. Passo-a-passo:
1. Quero mostrar se a minha série converge ou diverge? 2. Para mostrar que CONVERGE, preciso de uma série MAIOR e que CONVERGE TAMBÉM; 3. Para mostrar que DIVERGE, preciso de uma série MENOR e que DIVERGE TAMBÉM. Logo, se a série maior converge, a menor converge. Se a série menor diverge, a maior diverge. NOTA!!! Se quero aumentar minha fração, aumento o numerador. Se quero diminuir a fração, aumento o denominador. Teste da integral:
converge como série de termos positivos, então ela converge condicionalmente. Passo-a-passo:
1. Testar o critério de Leibniz e ver se converge;. 2. Testar a série de termos positivos; 3. Se convergir, converge absolutamente, se divergir, converge condicionalmente. Teste da razão ou teste de D’Alembert:
