- C´alculo 2: Lista de exerc´ıcios 1 - Sequˆencias1
1. Obtenha uma express˜ao para o termo geral de cada sequˆencia abaixo:
(a) (1
2,1
4,1
8,1
16,···); (b) (1
2,1
4,1
6,1
8,···); (c) (2,7,12,17,···); (d) (−1
4,2
9,−3
16,4
25,−5
36,···);
(e) (1,−2
3,4
9,−8
27,···); (f) (0,2,0,2,0,· ··); (g) (5,1,5,1,5,···); (h) (1
2,2
4,6
8,24
16,120
32 ,720
64 ,···).
2. Determine se a sequˆencia converge ou diverge e se convergir obtenha seu limite:
(a) an=n(n−1); (b) an=n+ 1
3n−1; (c) an=3 + 5n2
n+n2; (d) an=√n
1 + √n;
(e) an=2n
3n+1 ; (f) an=n
1 + √n; (g) an=(−1)nn
n2+ 1 ; (h) an=sen (nπ
2);
(i) an= 2 + cos(nπ); (j) an=3 + (−1)n
n2; (k) an=n!
(n+ 2)!; (l) an=ln n2
n;
(m) an= (−1)nsen (1
n); (n) an=√n+ 2 −√n; (o) an=ln(2 + en)
3n; (p) an=n2−n;
(q) an= ln(n+ 1) −ln n; (r) an=cos2n
2n; (s) an=(1 + 2
n)n
; (t) an=n!
2n.
3. Calcule o limite da sequˆencia (√2,√2√2,√2√2√2,· ··).
4. Mostre que a sequˆencia definida por a1= 1, an+1 = 3 −1
an
´e crescente, e que an<3 para todo n. Deduza que (an) ´e
convergente e calcule o seu limite.
5. Determine para quais valores de ra sequˆencia nrnconverge e obtenha seu limite.
6. (a) Se (an) for convergente, mostre que lim
n→∞
an+1 = lim
n→∞
an.
(b) Uma sequˆencia (an) ´e definida por a1= 1 e an+1 =1
1 + an
, para n≥1. Supondo que (an) seja convergente,
encontre seu limite.
7. Sabe-se que uma determinada sequˆencia (an) ´e decrescente e todos os termos est˜ao entre 5 e 8. ´
E poss´ıvel garantir que
(an) converge? Nesse caso, ´e poss´ıvel afirmar algo sobre seu limite?
8. Determine se a sequˆencia dada ´e mon´otona e/ou limitada:
(a) an=1
2n+ 3; (b) an=n(−1)n; (c) an=n
n2+ 1.
9. Seja an=(1 + 1
n)n
.
(a) Mostre que se 0 ≤a < b, ent˜ao bn+1 −an+1
b−a<(n+ 1)bn.
(b) Deduza que bn[(n+ 1)a−nb]< an+1 .
(c) Use a= 1 + 1
1 + neb= 1 + 1
nno item anterior para mostrar que (an) ´e crescente.
(d) Use a= 1, b= 1 + 1
2nno item (b) para mostrar que a2n<4.
(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que an<4 para todo n.
(f) Conclua que (an) ´e convergente e mostre que lim
n→∞ (1 + 1
n)n
=e.
1Exerc´ıcios retirados do livro C´alculo, Vol. II, de James Stewart.
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