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Capítulo 2
Funções complexas
2.1. Introdução
Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão geométrica dos seus efeitos e para a compreensão de como podem estender funções reais. O exemplo mais importante considerado nesta secção é a exponencial complexa, em associação natural com funções logaritmo que são inversas da exponencial em conjuntos onde esta é uma função injectiva.
Consideram-se também outras funções complexas definidas a partir da exponencial, como é o caso de funções trigonométricas, hiperbólicas, potências e exponenciais de base e expoente complexos.
Para o leitor que lidou com estas funções exclusivamente no âmbito dos números reais pode parecer surpreendente que as funções trigonométricas possam ser obtidas das funções exponenciais, dado o comportamento muito diferente destas funções no caso real e o facto de terem originado em contextos claramente distintos. L. Euler foi o primeiro a referir a relação entre funções trigonométricas e a função exponencial, numa carta a Johann Bernoulli 1 em 1740 em que escreveu a fórmula. Na verdade, a exponencial complexa, além do caracter de crescimento geométrico da exponencial real, contém o comportamento oscilatório exibido pelas funções trigonométricas reais seno e coseno. É mais um exemplo do poder unificador e simplificador da análise complexa que encontraremos em muitas outras situações.
2 cosθ = e i θ^ + e − i^ θ
O capítulo termina com as noções de limite e continuidade de funções complexas.
(^1) Johann Bernoulli (1667-1748).
10 Funções complexas
2.2. Representação geométrica de funções complexas
As funções complexas são funções com valores complexos e definidas num conjunto de números complexos, f : S →ℂ, com S ⊂ℂ. Para z = ( x + iy )∈ S , x , y ∈ x , y ) ∈
a função pode-se escrever na forma , com ℝ. Chama-se às funções
f ( x + i y ) = u ( x , y )+ iv ( x , y ) u ( x , y ), v ( u v , respectivamente, a parte real e a parte imaginária da função , e escreve-se.
f f =( u , v ) De forma análoga ao que se convencionou para funções reais, quando a função é dada por uma expressão sem indicação do domínio, considera-se que o domínio é o máximo subconjunto S ⊂ℂ para o qual a expressão dá valores complexos.
Para visualizar o efeito de funções complexas podem-se usar métodos semelhantes aos adoptados para funções reais de variáveis reais, nomeadamente: imagens de curvas no domínio, gráficos (das partes reais e imaginárias, ou das funções módulo e argumento), conjuntos de nível (das partes reais e imaginárias).
(2.1) Exemplo: A função complexa definida no semiplano superior complexo ℂ:.
f ( z )= z^2 S = {( x , y ) ∈ y > 0 } Um método de visualizar geometricamente uma função complexa é baseado na representação das imagens de curvas que preenchem o plano complexo , de forma a obter uma ideia geométrica de como a função deforma regiões do plano quando se passa do domínio para o contradomínio.
Figura 2.1: Transformação definida pela função f ( z )= z^2 Para a função considerada neste exemplo é prático analisar o efeito da função,
w = f ( z ), em termos de coordenadas polares, com z = r (cos θ,sin θ) e
w = ρ(cos ϕ,sin ϕ ). A relação entre w e z pode ser expressa pelas igualdades: ρ= r^2 e
2
ρ=( r 0 )
. Cada semicircunferência centrada na origem e de raio no semiplano superior complexo transforma-se no subconjunto da circunferência centrada na origem de raio obtido retirando-lhe apenas o ponto no semieixo real positivo (Figura 2.1).
r 0
12 Funções complexas
Também se pode representar geometricamente uma função complexa pelos conjuntos de nível das partes real e imaginária de. Isto corresponde a determinar os conjuntos de pontos do domínio que são transformados em rectas verticais u e em rectas horizontais.
f
uo
f
v = v o No exemplo presente estes conjuntos são, respectivamente, o arco de hipérbole de equação cartesiana , com , e o arco de hipérbole , com
. Trata-se de hipérboles equilatras que têm por assímptotas, respectivamente, as bissectrizes dos quadrantes definidos pelos eixos dos
0 x^2 − y^2 = u y > 0 / 2 xy = v 0 y > 0 xx e dos yy , e os próprios eixos dos xx e dos yy (Figura 2.4).
Figura 2.4: Curvas de nível das partes real e imaginária da função definida no semiplano complexo superior por f ( z )= z^2 Um outra representação geométrica útil, a que se chama o relevo de , é o gráfico da função
f ( x , y )α | f ( x + iy ) |. Juntamente com gráficos de um argumento de f , ( x , y )α arg f ( x + iy ), obtêm-se representações geométricas completas da função .(como o argumento de um número complexo é determinado a menos de um múltiplo inteiro de
f
2 π , para facilitar a visualização pode ser útil assegurar a continuidade do
gráfico nos pontos onde tal seja possível pela utilização de valores apropriados do argumento em regiões diferentes do domínio, em vez de se optar por uma escolha predeterminada como, por exemplo, o argumento principal).
No caso presente, | f ( rei^ θ)|= r^2 e arg f ( rei θ^ )= 2 θ (ver Figura 2.5).
|f| arg f
Figura 2.5: Relevo e gráfico de um argumento de f ( z )= z^2 A função considerada é uma bijecção do semiplano superior complexo para o conjunto obtido retirando ao plano complexo o semieixo real positivo e a origem. Contudo, se a função fosse tomada com domínio em todo o plano complexo, o contradomínio seria todo o plano complexo, mas cada ponto não nulo deste plano seria
2.2. Representação geométrica de funções complexas 13
imagem de dois pontos distintos, um no semiplano superior complexo unido com o semieixo real positivo e outro igual ao simétrico desse ponto em relação à origem e, portanto, na união do semiplano inferior complexo com o semieixo real negativo. Ou seja, os valores da função ℂ ℂ, com recobrem o plano complexo (com excepção da origem) duas vezes. Neste caso, a função não é injectiva e diz-se que a relação inversa é plurívoca e tem dois ramos contínuos máximos, um com contradomínio igual ao semiplano superior complexo unido com o semieixo real positivo e outro com contradomínio igual ao semiplano inferior complexo unido com o semieixo real negativo. Na verdade, a relação inversa deve, neste caso, dar as raízes quadradas de cada número considerado no plano complexo. Sabemos que cada número tem duas raízes quadradas complexas, as quais são simétricas em relação à origem do plano complexo.
f : → f ( z )= z^2
(2.2) Exemplo: A função complexa f ( z )= 1 /( z − 1 ).
O domínio desta função é ℂ. Com e , obtém-se
S = \ { 1 } z = ( x , y ) w = f ( z )=
( u ( x , y ), v ( x , y ) )
− i y ( 1 )^22
x y
x x iy
u x y iv x y − +
O conjunto de pontos que são transformados numa circunferência de centro na origem e raio , cuja equação é u , é a curva de equação cartesiana , a qual é a circunferência de centro em ( e raio 1. O conjunto de pontos que são transformados na união das semirectas de declive com extremidade na origem das coordenadas, cuja equação cartesiana é
r 0 (^) > 0 ) 2 + y^2
2 0 (^2) + v (^2) =( r ) 2 ( x − 1 =( 1 / r 0 ) 1 , 0 ) / r 0 m v = mu ( 1 , 0 )
u }
, com , é a curva de equação cartesiana , com , a qual é a união das semirectas de declive com origem no ponto (Figura 2.6). O conjunto de pontos do domínio que são transformados no eixo imaginário, , é a recta vertical de equação (Figura 2.4). O contradomínio de é ℂ.
( u , v )≠( 0 , 0 ) y = − m ( x − 1 ) − m
( x , y ) ( 1 , 0 )
\
x = 1 f
Figura 2.6: Transformação definida pela função f ( z )= 1 /( z − 1 ) O relevo de f é, neste caso, o gráfico da função ( x , y )α| f ( x + iy )| = 1 / ( x − 1 )^2 + y^2 , indicado na Figura 2.7. O gráfico do argumento principal de f
2.5. Funções trigonométricas e funções hiperbólicas complexas 15
Analogamente a funções reais, diz-se que uma função complexa é periódica de período ℂ{0}, ou que ℂ{0} é um período de , se para todos os pontos
f w ∈ w ∈ f f ( z ) = f ( z + w ) z do domínio. Neste caso, todos os múltiplos inteiros positivos de , com ℕ, também são períodos de. Diz-se que é um período mínimo de se é um período de e não existe um seu submúltiplo inteiro que seja um período de. Ao contrário do que acontece para funções reais, uma função complexa pode ter mais de um período mínimo.
f w f f
kw k ∈ f w f
As observações anteriores sobre a função exponencial complexa mostram que é
periódica de período i 2 π e que este é o seu único período mínimo.
u(z) v(z)
Figura 2.8: Gráficos das partes real e imaginária da exponencial complexa
|e |zz^ Arg(e )
z
Figura 2.9: Relevo e argumento da exponencial complexa
2.5. Funções trigonométricas e funções hiperbólicas complexas
É claro da definição de exponencial complexa que, para ℝ, se verifica e sin. As funções complexas coseno e seno definem-se estendendo as correspondentes funções reais por expressões análogas, e a função complexa tangente define-se por (Figuras 2.10 a 2.12):
y ∈ cos y = ( ei^ y + e − iy )/ 2 y =( ei^ y − e − iy )/( 2 i )
tan z = (sin z ) /(cos z )
cos ei^ z e i^ z z
+^ −
i
e e z
iz iz 2
−^ −
sin = , (^) iz iz
iz iz e e
e e z i −
−
tan =−.
16 Funções complexas
Como a exponencial é uma função periódica de período i 2 π, as funções coseno e seno
são periódicas de período 2 π. Na verdade, este é o único período mínimo destas funções.
A tangente complexa é periódica de período π e este é o seu único período mínimo.
|cos z| Arg(cos z)
Figura 2.10: Relevo e argumento do coseno complexo
u(z) (^) v(z)
Figura 2.11: Gráficos das partes real e imaginária do seno complexo
|tan z|
Arg(tan z)
/
/
/
/
Figura 2.12: Relevo e argumento da tangente complexa Analogamente, definem-se as funções complexas seno hiperbólico , coseno hiperbólico e tangente hiperbólica como extensões das correspondentes funções reais (Figuras 2.13 a 2.15):
cosh ez^ e^ z z
+^ −
sinh ez^ e^ z z
−^ −
= , (^) z z
z z e e
e e z (^) −
−
tanh =.
18 Funções complexas
2.6. Logaritmos complexos
Dado um número complexo em representação polar , uma vez que , define-se o seu logaritmo por
z = rei θ ≠ 0 z = e ln r^ ei θ^ = e ln r + i^ θ
ln z = ln r + i θ,
onde ln r designa o logaritmo real de r (Figuras 2.16 e 2.17). Em particular, os números reais negativos têm logaritmos complexos, apesar de não terem logaritmos reais.
Como o argumento θ de cada pode ser escolhido num conjunto infinito de
valores que diferem de múltiplos inteiros de
z ≠ 0
2 π , conclui-se que o logaritmo complexo
pode ser escolhido entre infinitos valores que diferem de múltiplos inteiros de i 2 π. Para
assegurar a unicidade de valor e a continuidade de ln z , pode-se restringir θ a um
intervalo semiaberto I ⊂ℝ de largura 2 π (corresponde a separar diferentes “ramos” do
logaritmo com “cortes” ao longo de uma semirecta com origem no ponto zero). Cada
uma destas escolhas conduz a um ramo contínuo do logaritmo^2 , ln z = ln r + i θ, com
θ ∈ I. Chama-se valor principal do logaritmo de z a , onde
designa o argumento principal de
ln z =ln r + i θ 0
θ 0 ∈ ]− π ,π] z. Os logaritmos complexos assim definidos são extensões do logaritmo real e têm propriedades básicas semelhantes, como
ln( zw ) =ln z +ln w , ln( z / w ) =ln z −ln w , ln z n = n ln z (a menos de i 2 k π, com
ℤ)^3. Por convenção, o logaritmo de um número real positivo é sempre considerado como o seu logaritmo real e, portanto, é definido univocamente, a menos que se diga o contrário.
k ∈
|ln z| (^) Arg(ln z)
Figura 2.16: Gráficos das partes real e imaginária do logaritmo complexo
(^2) É ainda possível obter outros ramos, por exemplo considerando “cortes” ao longo de linhas curvas ilimitadas com origem no ponto zero e sem auto-intersecções. (^3) Pode haver situações em que haja números da forma ln que não sejam da forma , embora deles difiram de um múltiplo inteiro de
z + ln w ln( zw ) i 2 π. Porém, o contrário não pode acontecer. Aplicam-se observações análogas às outras fórmulas dadas.
2.6. Logaritmos complexos 19
|ln z| Arg(ln z)
Figura 2.17: Relevo e valor principal do argumento do logaritmo complexo
2.7. Potências e exponenciais complexas de base complexa
Dados z ∈ℂ , ℂ ℚ, define-se a potência complexa de base complexa e expoente complexo por (Figura 2.18)
{ 0 } w
w ∈ \
z α zw^ = ew ln^ z. Se z é um número real positivo, então ln z é real e z w tem um único valor. Caso contrário ln z é um logaritmo complexo e, portanto, z w pode ser definido através de uma escolha em valores que diferem de factores de , com ℤ. Chama-se valor principal da potência complexa à função que se obtém pela expressão acima tomando
e i^2 k^ π^ w k ∈ z α z^ w ln z igual ao valor principal do logaritmo de z. Quando z não é um número real positivo z w tem um único valor possível se e só se é um número inteiro. Neste caso,
w z w pode ser interpretado como uma potência inteira de z e coincide com o correspondente valor da potência inteira como definida no capítulo 1. Se é um número racional que pode ser reduzido à forma , com
w p / q p ∈ℤ e ℕ sem factores primos comuns, então
q ∈ z w pode ser definido através de uma escolha entre q valores que coincidem com as q raízes de ordem q de z p e, portanto, z w = z p^ / q = q^ zp , que também está definida para z = 0 quando w = p / q > 0.
As potências complexas satisfazem as propriedades z −^ w^ = 1 / zw , z w^1^^ zw^2 = zw^1 + w^2 ,
mas ( z w^1 ) w^2 = zw^1^ w^2 ei^2 k^ π w^2 e ln z w^ = w ln z + i 2 k π, com k ∈ℤ.
|f| Arg(f)
Figura 2.18: Relevo e argumento do valor principal da potência complexa^4 z α zi
(^4) zi = ei ln^ z = ei (ln| z |+ iArg^ z )= e − Argzei ln| z^ |, pelo que | z i^ |= e − Argz e Argz i =ln | z |.
2.8. Funções trigonométricas inversas 21
|arccos z| (^) Arg(arccos z)
Figura 2.20: Relevo e argumento de um ramo do arccos z complexo A inversão da função complexa seno pode-se obter facilmente observando que
sin w =cos( π / 2 − w ), pelo que arcsin z = w = π / 2 −arccos z e
ln ( 1 )
arcsin z = μ i z + z^2 −
que também pode ser definido através de uma escolha em infinitos valores que diferem
de múltiplos inteiros de 2 π.
2.9. Limites e continuidade de funções complexas
Observou-se no capítulo anterior que as estruturas topológicas de ℂ e ℝ
coincidem. Assim, dada uma função ℂ, com ℂ, e um ponto
ℂ, diz-se que o limite de em existe e é Z ,
escrevendo-se 0
, se 0 0
no sentido dos limites de
funções em ℝ 2. Também se consideram limites infinitos e no infinito: se
, se ,
se.
2
f : S → f =( u , v , v )( x , y )
||( x^ lim, y )||→∞
z ∈ S
S ⊂
=( X ,
= f ( z
z 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈
( x , y )lim →( x 0 , y 0 )||( u^ ,^ v ||( x lim, y )||→ ∞||(^ u^ ,
z 0 )
x , y
( z )
=( X , Y
f ( z )=∞ lim→∞ f ( z ) =
f
z lim→ z f ( z^ )^ =^ Z
)( x , y )||= ∞ v )( x , y )||= ∞
( x , y )lim→( x^ , y )( u ( X^ ,^ Y
∞ f^ (^ z^ )=^ Z u ,^ v )(
lim f
z^ lim → z 0 | z^ lim |→^ )^ Y^ )^ | z |
Diz-se que f é contínua num ponto se ) z → z 0
. Diz-se que é contínua num conjunto se é contínua em cada ponto de , e diz-se que é contínua se é contínua em todo o domínio. É claro que, é contínua em se e só se é contínua em , como função em ℝ 2.
0
S ( x 0 , y 0
0 C f =( u , v
C ⊂ S
, v )
f ) z (^) 0 = ( x 0 , y 0 ) ( u ) Resulta imediatamente que o limite da soma, produto e quociente de funções complexas num ponto é, respectivamente, igual à soma, produto e quociente dos correspondentes limites das parcelas (no caso do quociente, desde que o limite do denominador seja diferente de zero).
Analogamente, as somas, produtos, quocientes, composições de funções contínuas são funções contínuas (no caso do quociente, nos pontos onde o valor do denominador é diferente de zero). Em particular, as funções polinomiais complexas são contínuas em ℂ. As funções racionais são contínuas em todos os pontos do seu domínio, isto é, em todos os pontos onde o denominador não se anula.
22 Funções complexas
A função que a cada complexo faz corresponder o seu conjugado, z α z é obviamente contínua em ℂ, assim como as funções Re z , Im z , | z |. A função Argz é contínua em ℂ. As funções complexas exponencial, coseno, seno, coseno hiperbólico e seno hiperbólico são contínuas em ℂ. A tangente complexa é contínua no seu domínio, isto é, no conjunto de pontos onde o denominador na expressão que a define não se anula, ou seja, em ℂ\ { ℂ:
\ {( x , 0 ): x ≤ 0 }
z ∈ z = π / 2 + π k , k ∈ℤ}. O mesmo acontece com a
tangente hiperbólica, agora com domínio ℂ\ { z ∈ℂ: z = i π / 2 + i π k , k ∈ℤ}.
Exercícios 2.1. Determine os valores de 2 i ii , na forma , com a ℝ. i ,
(− 1 )^2^ i cos i , tan(
a + i b , b ∈ 2.2. Determine os valores de sin 1 + i ). 2.3. Determine todos os valores de z ∈ℂ para os quais e z^ é igual a 2 , − 1 , i ,− i / 2 ,− 1 − i , 1 + 2 i. 2.4. Obtenha expressões para arctan w em termos de logaritmos. 2.5. Prove que | zi^ |< e^ π, para todo z ∈ℂ { 0 }. 2.6. Prove que | cos z |é ilimitada. 2.7. Prove que para a ∈ℝ e − π < θ≤ π se verifica e mostre que a restrição aos valores de
(cos θ + i sinθ) a^ =cos a θ+ i sin a θ θ é necessária. Mostre que se a ∈ℤ a fórmula verifica-se para todo θ ∈ℝ. Neste caso é conhecida por fórmula de De Moivre^6. 2.8. Determine equações cartesianas para os conjuntos do plano complexo que são transformados em rectas paralelas aos eixos coordenados pela função complexa definida por z^ e represente-os graficamente.
z + e
2.9. Mostre que lim (^) n →∞ ( 1 + z / n ) n existe para todo z ∈ℂ e é igual a ez. 2.10. Determine o contradomínio da restrição de z à faixa vertical do plano complexo | Re e indique as imagens das rectas verticais e dos segmentos de rectas horizontais desta faixa.
tan z |≤ π/ 4
(^6) Abraham De Moivre (1667-1754). A fórmula de De Moivre apareceu publicada pela primeira vez em 1748 no livro de L. Euler Introductio.
