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Sistemas de equações lineares Básico
Publicado em 14/05/ Ficha de Aprendizagem
Definições
Qualquer recta no plano xy pode descrever-se algebricamente através de uma equação da forma a1x + a 2 y = b, onde a1, a (^) 2, b são constantes reais e a1, a 2 não são simultaneamente nulos. Uma equação desta forma diz-se uma equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, uma equação linear nas n variáveis x (^) 1,…, xn é uma equação da forma
(1) a1x1 +…+ a (^) nxn = b,
onde a 1 ,…, a (^) n, b são constantes reais e a1,…, an não são simultaneamente nulos. As variáveis x1,…, xn também se designam por incógnitas. Quando n = 2 e n= 3 é costume usar as variáveis x,y em vez de x1, x2 e x, y, z em vez dex1, x2, x3.
Exemplo 1
As equações
são lineares, enquanto que as equações
não são lineares.
Uma solução particular de (1) é uma sequência de n números reais (s (^) 1,…, s (^) n) tal que a1s 1 + … + ans (^) n = b. O conjunto de todas as soluções particulares diz-se o conjunto solução ou a solução geral de (1). Exemplo 2 Consideremos a equação linear x + 2y = 1. Para determinar a sua solução geral podemos atribuir um valor arbitrário a x e resolver a equação em ordem a y, ou atribuir um valor arbitrário a y e resolver a equação em ordem ax. Se efectuarmos o primeiro
procedimento e atribuirmos a x o valor arbitrário t , obtemos. As fórmulas
determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro t. Se atribuirmos valores a t, obtemos soluções particulares. Por exemplo, se t = 3 temos a solução (x,y)
= (3,-1) e se temos a solução Se efectuarmos o segundo procedimento e atribuirmos a y o valor arbitrário s obtemos x = 1 - 2s. As fórmulas
determinam todas as soluções da equação em função do parâmetro s. Apesar das fórmulas obtidas nos dois procedimentos serem diferentes, ambos os conjuntos solução são iguais quando t e s variam em. Por exemplo, a solução (x,y) = (3,-1), obtida no primeiro procedimento com t = 3, obtém-se no segundo procedimento fazendo s = -1. Exemplo 3 Consideremos a equação x - y + z = 5. Para determinar a sua solução geral podemos atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e resolver a equação em ordem à terceira variável. Em particular, se fizermos y = t e z = s, com s, t , obtemos x = 5 + t - s. As fórmulas
determinam todas as soluções da equação em função dos parâmetros t e s. Se atribuirmos valores a t,s, obtemos soluções particulares. Por exemplo, se t = 3 e s = 1 temos a solução (x,y,z) = (7,3,1).
Um sistema de equações lineares (SEL) é um conjunto finito de equações lineares nas n variáveis x1,…,xn. Qualquer SEL com m equações e n incógnitas (SEL m×n) pode escrever-se na forma (2)
onde os a’s e b’s denotam constantes reais e os a’s não são simultaneamente nulos. Se b (^1) = b 2 = … = b (^) m = 0, o SEL diz-se homogéneo. Uma solução particular de (2) é uma sequência de n números reais (s1,…,s (^) n) que é solução particular das m equações do SEL. O conjunto de todas as soluções particulares de (2) diz-se o conjunto solução ou a solução geral do SEL.
diz-se a matriz aumentada do SEL e contém toda a informação necessária para determinar a solução geral do SEL através do Método de Eliminação de Gauss.
Teorema 1
Qualquer SEL m × n satisfaz uma das seguintes hipóteses:
i. não tem soluções (SEL impossível); ii. tem solução única (SEL possível e determinado); iii. tem infinitas soluções (SEL possível e indeterminado). Demonstração
i. ii. iii.
No caso em que temos um SEL m × n homogéneo (3)
o teorema anterior só contempla os casos (ii) e (iii). Na verdade, a sequência (x1,x2, …,xn) = (0,0,…,0) é sempre solução do SEL (3). A esta solução chamamos solução trivial. Caso o SEL (3) admita mais soluções, estas designam-se por soluções não triviais. No caso em que o SEL (2) é possível (determinado ou indeterminado), existe uma relação profunda entre as soluções do SEL (2) e as soluções do correspondente SEL homogéneo (3). Teorema 2 Se Ax = b é um SEL possível (determinado ou indeterminado), então a solução geral de Ax = b é igual à soma de uma solução particular de Ax = b com a solução geral do correspondente SEL homogéneo Ax = 0.
Método de eliminação de Gauss
O Método de Eliminação de Gauss (MEG) é um algoritmo sistemático e eficaz que permite determinar a solução geral de qualquer SEL m × n. A implementação deste método tem por base a aplicação sucessiva de um conjunto de operações (denominadas operações elementares ) que transformam o SEL inicial num SEL mais simples mas
com a mesma solução geral que o SEL de partida. Por definição, as operações elementares que se podem aplicar a um SEL são as seguintes:
- Multiplicação de uma equação do SEL por qualquer número real não nulo;
- Troca da ordem de duas equações do SEL;
- Soma de uma equação do SEL com um múltiplo de outra das equações do SEL.
Quando aplicamos operações elementares às equações de um SEL, só os coeficientes que multiplicam as variáveis e os coeficientes que definem o termo independente são alterados. Por essa razão, as alterações produzidas no SEL reflectem-se apenas na respectiva matriz aumentada. O MEG termina quando obtemos uma matriz em escada de linhas , i.e., uma matriz que satisfaz as seguintes propriedades:
- Todas as linhas nulas estão agrupadas na base da matriz;
- Para quaisquer duas linhas consecutivas não nulas, a primeira entrada não nula da linha inferior está mais à direita que a primeira entrada não nula da linha superior.
Exemplo 6
As matrizes
são em escada de linhas.
As matrizes
não são em escada de linhas.
Convém referir que, para além da aplicação na resolução de SELs, o MEG é também utilizado noutros contextos da disciplina de Álgebra Linear, nomeadamente no cálculo da inversa de matrizes e no cálculo do núcleo e imagem de uma transformação linear.
Nos três exemplos que se seguem ilustramos a aplicação do MEG na resolução de SELs.
Exemplo 7
Consideremos o SEL 3 × 3
cuja matriz aumentada é
cuja matriz aumentada é
Neste caso o coeficiente que multiplica a incógnita x na linha l 1 é nulo e portanto
nenhum múltiplo de l 1 pode ser usado para anular a incógnita x das restantes linhas. Para contornar este problema começamos por trocar a ordem das linhasl 1 e l (^) 2:
Num segundo passo substituimos l 3 por l 3 - 3l1, l 4 por l 4 + 2l 1 e l 5 por l 5 - l 1 com o objectivo de eliminar a incógnita x nas linhas l3, l 4 e l (^) 5:
Num terceiro passo substituimos l 3 por l 3 + l 2 e l 5 por l 5 + l 2 com o objectivo de eliminar a incógnita y nas linhas l 3 e l5:
Esta matriz aumentada é uma matriz em escada de linhas e portanto o MEG chegou ao fim. Qualquer uma das três últimas equações diz que 0 = 0. Esta condição é universal e portanto não impõe quaisquer constrangimentos nas incógnitas. A solução geral do SEL obtêm-se escrevendo duas das incógnitas em função das restantes. Para optimizar este processo é conveniente introduzir os conceitos de pivot, variável livre e variável não livre (desenvolvidos na página seguinte).
O conteúdo que se segue permite optimizar o SEL apresentado e desenvolvido no exemplo 9, da página anterior.
Pivots
Primeiros elementos não nulos de cada linha de uma matriz em escada de linhas.
SEL apresentado no exemplo 9.
Matriz aumentada resultante da aplicação do MEG ao SEL apresentado no exemplo 9. No caso do exemplo 9, os pivots são os números 1 e 10 pois são os primeiros elementos não nulos das linhas l 1 e l (^) 2, respectivamente.
Variáveis livres Incógnitas que correspondem às colunas da matriz em escada de linhas que não contenham os pivots. No caso do exemplo 9, z e w são variáveis livres.
Variáveis livres
Incógnitas que correspondem às colunas da matriz em escada de linhas que contenham os pivots.
No caso do exemplo 9, x e y são variáveis não livres.
Podemos agora escrever as variáveis não livres em função das variáveis livres. Se atribuirmos a z,w os valores arbitrários s,t , respectivamente, e usarmos a segunda equação obtemos y em função de s e t:
Substituindo na primeira equação escrevemos x em função de s e t:
Concluímos então que a solução geral do SEL é dada por
onde s, t. O SEL é possível e indeterminado pois admite infinitas soluções.
A partir dos exemplos anteriores podemos generalizar o MEG para o caso de SELs m × n. Os passos do algoritmo são os seguintes:
a. Escrever a matriz aumentada do SEL; b. Localizar a coluna mais à esquerda que não tenha todas as entradas nulas; c. Se necessário, trocar linhas de forma a que a entrada da primeira linha correspondente à coluna mencionada na alínea anterior seja diferente de zero. d. Somar a primeira linha a múltiplos apropriados das restantes linhas de forma a que todas as entradas debaixo da entrada não nula se anulem. e. Fixar a primeira linha e repetir o procedimento para a submatriz que resta. O MEG termina quando obtemos uma matriz em escada de linhas.
logo z é uma variável livre e o SEL é possível e indeterminado.
- se a = - 4 temos a matriz em escada de linhas
logo o SEL é impossível.
- se a {-4,4}, o coeficiente a 2 - 16 é sempre não nulo e portanto não existem variáveis livres, o que torna o SEL possível e determinado.
