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Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Matemática
Professores: Alcides Buss e Maicon Marques Alves
Tutora-UFSC: Maíra Fernandes Gauer
MTM9204 – Elementos de Análise – 2010.
Resolução da Segunda Prova
(1) Verifique se os espaços métricos abaixo são completos, justificando sua res- posta. No caso em que o espaço M não for completo, exiba uma sequência de Cauchy em M que não converge.
(a) M = [0, 1) ∪ (1, 2] (com a métrica induzida de R);
Não é completo. De fato, notemos que a sequência (xn) definida por xn = 1 − (^1) n é sequência em M e converge para 1 (em R). Da con- vergência segue que (xn) é de Cauchy (Proposição 2.11). Mas como lim xn = 1 ∈/ M , a sequência (xn) não converge em M. Portanto M não é completo.
(b) M =
(x, y) ∈ R^2 | x^2 ≤ y
(com a métrica induzida de R^2 ).
É completo, pois é fechado de R^2 e R^2 é espaço métrico completo. (Proposição 2.14)
(2) Mostre usando a definição de função contínua em R que f (x) = ax + b, onde a, b ∈ R, é contínua em todo x ∈ R. f é uniformemente contínua? f é de Lipschitz? Justifique sua resposta.
Consideremos a = 0. Seja x ∈ R. Vamos mostrar que f é contínua em x. Seja ε > 0. Assim, se y ∈ R segue que
|f (y) − f (x)| = |b − b| = 0 < ε.
Ou seja, para todo δ > 0 , temos que d(x, y) < δ implica em d(f (x), f (y)) < ε e com isso f é contínua em x para qualquer x ∈ R. Além disso, o δ da continuidade é qualquer e portanto não depende de x. Isso implica que a continuidade é uniforme. Notemos ainda que |f (y) − f (x)| = 0 ≤ |y − x|, ∀x, y ∈ R e definindo L = 1 > 0 , temos que d(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ R, ou seja, f é de Lipschitz.
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Consideremos agora a 6 = 0. Seja x ∈ R. Vamos mostrar que f é contínua em x. Seja ε > 0 e conside- remos δ = (^) |aε| > 0. Assim, se y ∈ R é tal que y ∈ B(x, δ) segue que
|f (y) − f (x)| = |ay + b − ax − b| = |a||y − x| < |a|δ = ε. Ou seja, d(x, y) < δ implica em d(f (x), f (y)) < ε e com isso f é contínua em x para qualquer x ∈ R. Além disso, o δ da continuidade, δ = (^) |εa| , não depende de x. Isso implica que a continuidade é uniforme. Notemos ainda que |f (y) − f (x)| = |a||y − x|, ∀x, y ∈ R e definindo L = |a| > 0 , temos que d(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ R, ou seja, f é de Lipschitz.
(3) Mostre usando a definição de conjunto compacto (por cobertura) que o conjunto K =
é compacto.
Primeiramente notemos que os elementos de K, com exceção de 1 , são ele- mentos da sequência
n n+
Agora, consideremos C = {Ca}a∈L uma cobertura aberta qualquer de K. Temos de mostrar que existe uma subcobertura finita de K contida em C. Como 1 ∈ K, existe a 0 ∈ L tal que 1 ∈ Ca 0. De Ca 0 ser aberto segue que existe r > 0 satisfazendo B(1, r) ⊂ Ca 0. Mas lim (^) nn+1 = 1. Assim, para ε = r, existe N ∈ N tal que (^) nn+1 ∈ B(1, r) se n ≥ N. Com isso, (^) nn+1 ∈ Ca 0 se n ≥ N. Por outro lado, para cada k ∈ { 1 ,... , N − 1 }, temos que (^) kk+1 ∈ K. Logo, para cada k ∈ { 1 ,... , N − 1 }, existe ak ∈ L tal que (^) kk+1 ∈ Cak. Portanto {Ca 0 , Ca 1 ,... , CaN − 1 } ⊂ C é subcobertura finita de K e assim K é compacto.
(4) Enuncie o Teorema de Heine-Borel. Usando este teorema, decida se os con- juntos abaixo são compactos.
Teorema de Heine-Borel: K ⊂ Rn^ é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado.
(a) Q em R ; Temos que Q não é limitado, portanto não é compacto.
(b) B = { 1 } ∪ [2, 3] ; Notemos que B é limitado, pois 1 ≤ x ≤ 3 , ∀x ∈ B. Também que B é fechado, já que { 1 } e [2, 3] são fechados e a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Portanto, B é compacto.
(c) C = { 1 , 12 , 13 , 14 , · · · } Temos que C não é fechado, já que a sequência (xn) definida por
