Sucessoes series 0607, Notas de estudo de Engenharia Civil

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1 Exercícios propostos

Sucessões Reais

Exercício 1 Calcule o limite das seguintes sucessões:

1. n

(^3) + 2 n^2 − 3 ;

2. (^) n (^3) +2n−n^22 − 2 ;
3. √nn (^2) +n ;
4. 1+2+3+n 2 ···+n;
5. ( nn!(5+2)!n 2 −+2)n! ;

∑n k=

2 k 3 3+2k^ ;

n+ 2 n+4n^ sen^ (

n + π) ;

n^2 + 4 − n

cos^6 (2n + 1) ;

9. n n+ nn+2 ;
10. (2n^2 − 1)

1 n^2 +1 (^) ;

( 4 n− 3 4 n+

)n ;

12. n n− 2 (n+π)n^ (n

13. n

n^3 − 1 4 n^3 +2 ;

14. (^) n^1 n

(2n)! (n!)^2 ;

15. n

ln (n + 1);

16. (^21) n + (^41) n + (^61) n + · · · + (^2) n^12.

Exercício 2 Prove, por definição, que:

1. lim n+nsenn+5 = 1;
2. lim (n^2 + 2) = +∞.

Exercício 7 Considere as seguintes proposições simples:

a = a sucessão (un) é monótona crescente. b = a sucessão (un) é limitada. c = a sucessão (un) é convergente.

Transcreva em linguagem corrente e indique o valor lógico das seguintes proposições:

1. c ⇒ a;
2. a ∧ b ⇒ c;
3. ∼ b ⇒∼ c;
4. ∼ c ⇒ (∼ a∧ ∼ b).

Exercício 8 Considere a sucessão:

an =

∑^ n

k=

(k + 1)(k + 2)

, ∀n ∈ IN.

1. Prove, por indução matemática, que an = n n+1+2 , ∀n ∈ IN;
2. Prove, por definição de limite, que lim an = 1.

Exercício 9 Sendo a ∈ IR, com 0 < a < 1 , considere a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: { u 1 = a un = (^) uun−n− 1 +1^1 , ∀n
2.

1. Prove, por indução matemática, que 0 ≤ un ≤ 1 , ∀n ∈ IN;
2. Prove que (un) é convergente e calcule o seu limite.

Exercício 10 Seja (an) uma sucessão definida por recorrência do seguinte modo: { a 1 = 1 5 an+1 = an + 8, ∀n
1

Seja (bn) a sucessão de termo geral bn = an − 2.

1. Prove, usando o método de indução matemática, que:

bn = −

)n− 1 , ∀n ∈ IN;

2. Mostre, sem utilizar o método anterior, que 95 ≤ an ≤ 2 , ∀n ≥ 2.

Séries Numéricas

Exercício 11 Utilizando a definição de convergência de uma série, verifique quais das seguintes séries são convergentes ou divergentes e sempre que pos- sível calcule a sua soma:

1. 2 + 4 + 6 + 8 +... ;

n=

6 5 n−^2 ;

n=

3

)(β−3)n , β ∈ IR;

n=

2 n+ n^2 (n+1)^2 ;

n=

ln(n+2 n ) ln(n) ln(n+2) ;

n=

[

cos

( (^) α n+

− cos

( (^) α n+

)]

, α ∈ IR;

n=

5. 3 n− 2 n.n.(n−1) 3 n.n.(n−1).

Exercício 12 Diga qual a natureza e determine o termo geral de uma série cuja sucessão das somas parciais é Sn = (^) nn+.

Exercício 13 Mostre que o número racional associado à dízima 0 , 125000... também pode ser representado por 0 , 124999....

Exercício 14.

1. Calcule o resto de ordem 100 da série

n≥ 2

1 n^2 +n ;

2. Determine uma ordem a partir da qual o erro que se comete ao tomar para valor da soma da série

n≥ 1

1 (n+1)^2 a sua soma parcial, não exceda 0 , 1.

Exercício 15 Considere a sucessão de termo geral vn = a n 2 2+3n^ ,^ com^ a^ ∈^ IR.

1. Diga para que valores de a a sucessão (vn) é:

(a) Convergente; (b) Divergente mas limitada.

n=

cos((n−1)π) lnn(n+1) ;

n=

[

sen

a + (^) n^1

)]n , 0 < a < π 2.

Exercício 21 Diga, justificando, qual o valor lógico das seguintes proposições:

1. A soma de duas séries divergentes é uma série divergente;
2. A soma de uma série convergente com uma série divergente é uma série divergente;
3. Se an → 0 então a série

an é convergente;

4. As séries

n≥ 1

√^1 n+1 e^

n≥ 100

√^1 n+1 são da mesma natureza;

5. Se a série

a^2 n é convergente, então a série

|an| também é conver- gente;

6. Se a série

5 nan é absolutamente convergente, então a série

(−2)n^ an é convergente.

Exercícios Complementares

Sucessões Reais

Exercício 22 Determine, caso exista, o limite das sucessões que têm por termo geral:

1. n

(^2) + 3 n^2 − 2 n+1 ;

2. n √^3 +n+ 2 n^5 +3n^4 ;
3. cos( n+1nπ )+ (−1)

n+ n + 3;

4. (2n^3 + n^2 )

(^13) − n;

∑n k=

3

)k ;

∑^2 n k=

√n √n (^3) +k ;

n+3n 2 n− 3 n^ ;

8. n −

n^2 − n;

9. n+sen (^2) n 2 n+3 ;
10. cos( nnπ 2 );
11. [(n + 3)! − (n + 2)!]

1 n (^) ;

( (^) n n− 1

)− 2 n ;

2 n^2 +n+ n^2 +

) 3 n (^2) + ;

n n!.

Exercício 23 Prove, por definição, que:

1. lim n 2 n+10− 1 = 12 ;
2. lim (7 − 2 n) = −∞;
3. lim (−1)n^

n = ∞.

Exercício 30 Considere a sucessão: { u 1 = − 1 un+1 = (^1) −u 2 nun , ∀n ≥ 1.

1. Prove, pelo método de indução matemática, que un = (^1) −^12 n , ∀n ∈ IN;
2. Calcule lim un.

Exercício 31 Considere a sucessão: { u 1 = (^34) un+1 = 2un + 1, ∀n
1

1. Mostre que un
   n, ∀n > 1;
2. Mostre que lim un = +∞.

Exercício 32 Sejam (un) e (vn) duas sucessões de termos positivos tais que: { u 1 = 4 un+1 = un+ 2 vn, ∀n ∈ IN e

v 1 = 2 vn+1 =

unvn, ∀n ∈ IN

1. Prove, por indução que un > vn, ∀n ∈ IN;
2. Justifique que (un) é monótona decrescente.

Exercício 33 Seja bn a sucessão definida por recorrência: { b 1 = 1 bn+1 = b nn , ∀n ∈ IN

1. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que:

bn =

(n − 1)!

, ∀n ∈ IN;

2. Calcule lim n

bn 2 n.

Exercício 34 Sendo a ∈ IR, com 0 < a < 1 , considere a sucessão definida por recorrência do seguinte modo: { u 1 = 3 un+1 = un + 3an, ∀n
1

1. Prove, por indução matemática, que un = 3

∑n k=

ak−^1 , ∀n ∈ IN;

2. Prove, por indução matemática, que a sucessão (un) é monótona;
3. Calcule o lim un.

Séries Numéricas

Exercício 35 Mostre que:

n≥ 2

1 (n−1)n(n+1) =^

1 4 ;

n≥ 1

2 n+n^2 +n 2 n+1n(n+1) = 1.

Exercício 36 Estude, quanto à convergência, as seguintes séries:

1. 2 − 2 + 2 − 2 + 2 −... ;
2. 7 + 107 + 1072 + 1073 +... ;
3. 1 − 12 + 14 − 18 + · · · +

−^12

)n

• · · · ;

n=

4 n^2 − 1 −^

3 2 n

n=

ln

1 + (^1) n

n=

√n √n+1+1 ;

n=

√n+2−√n √ n(n+2) ;

n=

ln n n^2 √n+1 ;

n=

√ n^3 +2n+ n^5 +3 ;

n=

1+√2+···+√n n^2 +1 ;

n=

1 [3+(−1)n]^2 n^ ;

n=

n e−(2n+1);

n=

n sen (^1) n − (n + 2) sen (^) n+2^1

n=

3 3+sen(nπ 2 )

)n ;

n=

(−1)n^ n+^1 √n ;

n=

(−1)n+1n− 1 3 n+

)n ;

n=

n

)n ;

n=

(1 + sen x)n^.

Exercício 43 Determine, justificando, aproximações à soma das séries seguintes com um erro inferior a 0 , 001 :

n=

(−1)n+ 2 n^3 − 1 ;

n=

(−1)n n! ;

n=

(−1)n 2 nn!.

Exercício 44 Determine os valores de p ∈ IR, para os quais as seguintes séries são convergentes:

n=

np^

n + 1 −

n − 1

n=

sen (^1) n

)p .

Exercício 45 Seja (un) uma sucessão convergente para a ∈ IR. Sendo p ∈ IN, mostre que a série

n≥ 1

(un − un+p) é convergente e calcule a sua

soma.

Exercício 46∑ Determine os valores do número real α, para os quais a série

n≥ 0

(−1)n^ (n + 1)−α^ é:

1. Simplesmente convergente;
2. Absolutamente convergente.

Exercício 47 Prove que se

|an| converge, então

a^2 n é convergente. Mostre que a proposição recíproca é falsa.

Exercício 48 Mostre que se

a^2 n e

∑ b^2 n^ são convergentes, então a série anbn é absolutamente convergente.

22.8: 12 ; 22.9: 12 ; 22.10: 0 ; 22.11: +∞; 22.12: e−^2 ; 22.13: +∞; 22.14: 0. 23: -. 24: Estritamente crescente. 25.1: Convergente, limitada, 0 , 0; 25.2: Se |a| < 16 , convergente, limitada, 0 , 0 ; se a > 16 , propriamente divergente, ilimitada, +∞, +∞; se a < − 16 , os- cilante, ilimitada, −∞, +∞; se a = 16 , convergente, limitada, 1 , 1 ; se a = − 16 , oscilante, limitada, − 1 , 1; 25.3: Oscilante, limitada, 0 , 4; 25.4: Oscilante, limitada, − 1 , 3; 25.5: Oscilante, limitada, −

√ 3 2 −^

1 2 ,^

√ 3 2 +^

1

26.1: - ; 26.2: − 1 < r < 1. 27: -. 28.1: 1; 28.2: - ; 28.3: -. 29.1: - ; 29.2: 0. 30.1: - ; 30.2: 0. 31: -. 32: -. 33.1: - ; 33.2: 0. 34.1: - ; 34.2: - ;34.3: (^1) −^3 a. 35: -. 36.1: Divergente; 36.2: Convergente; 36.3: Convergente; 36.4: Conver- gente; 36.5: Divergente; 36.6: Divergente; 36.7: Convergente; 36.8: Convergente; 36.9: Convergente; 36.10: Divergente; 36.11: Con- vergente; 36.12: Convergente; 36.13: Convergente. 37: S, 0. 38.1: 103 ; 38.2: 1124999 ; 38.3: 20392199900. 39: 751

5

)p . 40.1: 1 ; 40.2: 12. 41.1: - ; 41.2: Convergente. 42.1: Divergente; 42.2: Absolutamente convergente; 42.3: Divergente; 42.4: Divergente; 42.5: Simplesmente convergente; 42.6: Absolutamente convergente; 42.7: Absolutamente convergente; 42.8: Absolutamente con- vergente se x ∈ ](2k − 1) π, 2 kπ[ , com k ∈ ZZ, divergente caso contrário. 43.1: S 7 0. 947478 ; 43.2: S 6 0. 368055 ; 43.3: S 4 0. 60677. 44.1: p < −^12 ; 44.2: p > 1. 45: S = a 1 + a 2 + · · · + ap − a × p. 46.1: 0 < α ≤ 1 ; 46.2: α > 1. 47: -. 48: -.