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Sucessão numérica
Definição 1 : Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação de IN
em R.
Por exemplo, a n = 3n -2, a sucessão assim definida é 1, 4, 7, 10, 13, …, 3n - 2. Porque a 1 = 3·1 –
2 = 1; a 2 = 3·2 – 2 = 4 Como está a ver n funciona como objecto e a n como imagem.
Definição 2 : Uma sucessão de números reais { a n } diz-se crescente se a n+1 - a n > 0, isto é, cada
termo posterior é maior que o seu antecessor.
É decrescente se a n+1 - a n < 0.
Definição 3 : Uma sucessão diz-se monótona se é crescente ou decrescente.
Exemplo 1: Estude a monotonia da sucessão
n
a n.
Resolução:
Para estudar a monotonia temos que analisar o sinal de a n+1 - a n :
( )
n n
a n an , a sucessão é crescente porque a n+1 - a n > 0.
Definição 4 : Uma sucessão real { a n } diz-se limitada se existe um número real positivo M tal que,
para todo n ∈IN o ⎪ a n ⎪≤ M.
Exemplo 2: Considere sucessão n
n u (^) n
= +. Mostre que é verdadeira a proposição
2 < u (^) n ≤ 3 , ∀ n ∈ N. O que se pode concluir com a veracidade da proposição anterior.
Resolução :
⇔
∈
n Verdadeiro
Verdadeiro
n n n
n n n
n
n
n
n
n N
Portanto a proposição é verdadeira.
Podemos concluir que a sucessão u (^) n é limitada.
Definição 5 : Chama-se subsucessão de uma sucessão { a n } a qualquer sucessão que dela se possa
obter por supressão de termos.
Exemplo: Considere sucessão (^ )
n n u = − (^2).
Os primeiros termos são -2, 4, -8, 16, -32, 64…
É evidente que em qualquer sucessão se pode extrair uma infinidade de subsucessões, como por
exemplo:
A subsucessão de termos de ordem impar: a 1 = -2 , a 3 = -8, a 5 = -32 …
Então: -2, -8 -32 …
A subsucessão de termos de ordem par: a 2 = 4 , a 4 = 16, a 6 = 64 …
Portanto a subsucessão de termos de ordem par será : 4, 16, 64…
Definição 6 : Duas sucessões { a n }e{ b n } dizem-se iguais quando an = b n para todo n ∈N.
Definição 7 : Chama-se soma das sucessões { a n } e { b n } à sucessão { cn } tal que cn = a n +
b n para todo n ∈IN. Chama-se produto das sucessões { a n } e { b n } à sucessão { cn } tal que
cn = a n ⋅ b n para todo n ∈IN. Analogamente, chama-se quociente das sucessões { a n } e { b n }
com b n ≠ 0 para todo n ∈IN, à sucessão { cn } tal que
n
n n b
a c = para todo n ∈N.
1.1.2. Progressão Aritmética
Definição 8: Progressão aritmética é uma sucessão de números reais em que é constante a
diferença entre cada termo e o precedente, isto é,∀ n ∈IN, a n+ 1 - a n = d ; onde d é uma
constante.
Ao número d dá-se o nome de razão da progressão.
- a (^) n = a 1 +( n − 1 ) d é a expressão do termo geral;
- (^) n ( a an )
n s = 1 + 2
é a expressão da soma de n primeiros termos
Exemplo:
Considere a seguinte progressão aritmética {2, 5, 8, 11, …}:
a) Determine o termo de ordem 10. b) Determine a soma dos primeiros dez termos.
Resolução:
a)Sabemos que a 1 = 2 e d = a (^) n+ 1 - a (^) n , portanto d = a 2 - a 1 = 5-2 = 3. Assim substituindo na
relação teremos: a (^) n = a 1 + ( n - 1) d ⇒ a 10 = 2 + ( 10 - 1)3 = 29
b) Considerando os dados e o resultado da alínea a) a 1 = 2 a 10 = 29 temos:
10
1 ⋅ =
= n S
a a S
n n
Exemplo: Prove que 1
lim =
→ ∞ n +
n
n
Resposta: Como o enunciado indica, precisa-se que se faça o uso da definição de limite para
provar a igualdade.
Assim, temos que mostrar que escolhido qualquer ε>0 existe uma ordem a partir da qual os
termos da sucessão se situam todos a uma distância de 1 inferior a ε, isto é, se verifica a relação
n 2
n
Ora, com efeito, resolvendo a desigualdade tem-se < ε
n 2 n n
n
Ou seja, < ε
n
De onde resulta
n >
Que é a ordem a partir da qual se verifica a condição.
De facto se escolhermos um ε = 0,1 tem-se 18
0 , 1
n > ; o que significa que a partir da
ordem 19 todos o termos da sucessão estão próximos de 1 a menos de 0,1.
Propriedades gerais dos limites :
- O limite de uma sucessão, quando existe, é único;
- Toda sucessão convergente é limitada (o recíproco é falso);
- Toda sucessão monótona e limitada é convergente;
- Toda a subsucessão extraída de uma sucessão convergente é também convergente para o
mesmo limite;
- Toda a sucessão limitada de números reais tem pelo menos uma subsucessão convergente.
Propriedades algébricas dos limites:
A seguir estão apresentadas algumas propriedades básicas de limite de sucessão que irão ajudar o
estudante na resolução de exercicios sobre limites:
- Se {an } e {b (^) n} são sucessões reais tais que a (^) n a n
→ ∞
lim e bn b n
→ ∞
lim , então
( a (^) n bn ) a b n
→∞
lim.
- Se {an }e {b (^) n }são sucessões numéricas reais convergentes, respectivamente, para a e b ,
então : ( a^^ n bn )^ ab n
→∞
lim..
- Se lim^ = ≠^0 →∞
a (^) n a n
existe um número N>0 tal que, para qualquer n >M é a (^) n a 2
- Se lim = ≠ 0 → ∞
a (^) n a n
então n a (^) n a
lim = →∞
- Se a (^) n a n
→∞
lim e bn b n
→∞
lim ( b (^) n e b ≠ 0 ) então b
a
b
a
n
n n
→∞
lim.
- Se a (^) n a n
→∞
lim , bn b n
→∞
lim e p inteiro então:
a) ( )
p
p
n n
p n n
a a ⎟ = a ⎠
→∞ →∞
lim lim ;
b)
p p n n
p n n
a = a = a →∞ →∞
lim lim
c) ( )
b
b
n
b n n
a a a
n n n ⎟ = ⎠
→∞
→∞ →∞
lim
lim lim
- Se {an} tende para o limite finito e positivo a , então tem-se
( a ) an ba n b n b n
lim log log lim ⎟= log ⎠
→∞ →∞
.
- Teorema do limite da média Aritmética : Se a (^) n a n
→ ∞
lim , então
→∞ (^) n
a a an
n
1 2 L
lim a (^) n a n
→ ∞
lim ( a finito ou infinito).
- Teorema do limite da média Geométrica : Se a (^) n > 0 e a (^) n a n
→ ∞
lim (finito ou
infinito)então n^ n n
a ⋅ a ⋅ ⋅ a →∞
lim 1 2 L = a (^) n a n
→ ∞
lim.
- Em cada um dos casos seguintes, sempre que o segundo limite existe o primeiro também existe e tem o mesmo valor (o recíproco e falso).
a) n
n
n
n n n (^) a
a a
1 lim lim
→∞ →∞
b) lim lim( n 1 n ) n
n n
a a n
a = (^) + − →∞ →∞
c) n n
n n n n
n n (^) b b
a a
b
a
→ ∞ →∞ 1
1 lim lim
Exercicios resolvidos:
- Calcule 2 3 1
lim 2
2
→ ∞ n n
n
n
Resolução :
( )
⎥ ⎦
→ ∞ n
n
n (^) ln
ln 1 lim para levantar a indeterminação vamos aplicar a alínea c) da propriedade
( )
n
n
n (^) ln
ln 1 lim
→ ∞
=
( ) ( )
( n ) n
n n
n (^) ln 1 ln
ln 2 ln 1 lim
→ ∞
=
n
n
n
n
n (^) 1 ln
1
2 ln
lim
→∞
=
n
n
n
n
n
n
1 lnlim
1
2 lnlim
→∞
→ ∞ = 1 ln 1
ln 1
- Calcule
n n
lim n! → ∞
Resolução:
n n
lim n! → ∞
= [ ]
0 ∞ , a partir da propriedade 9 temos
n n
lim n! → ∞
= n n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n → ∞
lim 123 L = =∞ → ∞
n n
lim
1.3. Sucessões divergentes
Definição 11: Uma sucessão diz-se divergente se não é convergente.
Definição 12: Diz-se que uma sucessão real { a (^) n } diverge para mais infinito e escreve-se a (^) n → +∞ ou
=+ ∞ → ∞ n n
lim a , quando a todo o número real positivo L corresponde uma ordem n 0 a partir da qual é
sempre a (^) n > L.
Definição 13: Diz-se que uma sucessão real { a (^) n } diverge para menos infinito e escreve-se a (^) n → - ∞
ou =−∞ → ∞ n n
lim a , quando - a (^) n → + ∞.
Classificação das sucessões quanto à existência e natureza do limite
Pr ( )
Oscilantes setendempara ounãotendempara qualquer valor
opriamente divergentes se tendem para ou
Divergentes
Convergetes setendemparaumnúmero real
1.4. O número e ≈^ 2,71828182^84 …
Teorema : A sucessão do termo geral de (^) ⎟
⎠
n
a (^) n
1 é monótona crescente e limitada
superiormente.
A demonstração deste teorema pode ser consultada em qualquer livro ou manual de Análise
Matemática. Recomendamos Por exemplo o Manual: Matemática Aplicada para Gestão,
Contabilidade e Auditoria de Ismael Cassamo et al.
Definição 14 : chama-se números e ao limite: e n
n
n
⎟^ = ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = + →∞
1 lim 1
Teorema :
a
n
n
e
n
a
→ ∞
lim 1
Com efeito, fazendo a mudança de variável
a
n
λ n = , quando n → ∞ também λ n →∞e portanto
a
a
n
n
n
e n
a
n
n
→∞ →∞
λ
λ λ
lim 1 lim 1
Exemplo:
Calcule
n
n (^) n
n
⎟
→ ∞^2
2 1 lim
Resolução:
.lim 1
lim 1
lim 1
lim
1 0
2 2
2
−
→∞ →∞ →∞ →∞
e e e
n n n n n n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
Chamamos de VP o valor presente , que significa o valor que eu tenho na data 0 (zero); VF é o
valor futuro , que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
Na fórmula (^ )
n M = P 1 + i ,
O montante P é também conhecido como Valor Presente ( PV = present value) e o montante M é
também conhecido como Valor Futuro ( FV = future value). i - representa juros e finalmente n
tempo.
Então, essa fórmula pode ser escrita como ( )
n FV = PV 1 + i
1.5. Valor Presente e Valor Futuro
