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SUCESSÕES E LIMITES DE SUCESSÕES
1. SUCESSÃO NUMÉRICA
1.1. Noção de sucessão
Definição:
Sucessão de números reais é toda a aplicação de em , isto é, toda função (aplicação)
definida sobre o conjunto (números naturais) e tomando os seus valores no conjunto
(números reais).
Escreve-se f :
n un f ( n ) , onde un chama-se termo geral da sucessão.
1.2. Termo geral
É uma expressão designatória ou analítica que nos permite determinar qualquer termo da
sucessão, bastando para isso substituir a variável “n” por números naturais: 1, 2, 3, 4,... O termo
geral também se designa por termo gerador ou termo de ordem n.
Exemplo 1: Calcular os 3 primeiros termos da sucessão n
n un
u 2
u 3
u
Exemplo 2: Dada sucessão a n n ^2 , calcular o 5º e o 10º termo da sucessão.
5 a 210 20 10 a
Exemplo 3: Considere a sucessão un definida pelo respectivo termo geral 3
n
n un. Verifique
se 18
é ou não termo da sucessão un e calcule a sua ordem.
n n n n n
n
Como 15 , então
18
é termo de un e corresponde a ordem 15.
Exemplo 4: Determinar a ordem a partir da qual os termos das sucessões an 4 n 3 e
2
n
bn sejam, respectivamente, maiores e menores que 100 e 100
1º 4 n 3 100 4 n 97 n 24 , 25
É a partir de ordem n 25
2
n n n n n
É a partir da ordem n 10
1.3. Representação gráfica
Nesta representação traçam-se dois eixos perpendiculares, ficando un nos eixos das ordenadas e
n nos eixos das abcissas.
Exemplo:
n
n un
. Os respectivos termos são: , 7
n un
Diz-se que uma sucessão an é uma progressão aritmética (P.A.) se a diferença entre cada termo,
a partir do segundo, e o anterior for uma constante, isto é, an é uma P.A. a a d (^) n 1 n
. A
constante d chama-se razão da progressão.
Exemplo:
a) 1, 4, 7, 10, 13, 16,... é uma P.A. de d 3
b) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,... é uma P.A. de d 0
c) 3, 2, 1, 0, -1, -2,... é uma P.A. de d 1
Toda a P.A. de razão d é uma sucessão monótona:
Crescente se d 0
Decrescente se d 0
Constante se d 0
Exemplo: Prove que a sucessão a 3 n 4 n é uma P.A. e estude a sua monotonia.
3 ^1 ^433437
an 1 n n n
d an 1 an 3 n 7 3 n 4 3 n 7 3 n 4 3
Como d 0 , então an é crescente.
2.1. Termo geral de uma progressão aritmética
Pela definição de uma progressão aritmética de razão d, d an 1 an an 1 an d. Assim,
dado a 1 , temos:
a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d
Substituindo a 2 por a 1 + d teremos:
a 3 = (a 1 +d) + d = a 1 + d + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d
a 5 = a 4 + d = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d
(1) Termo geral de uma P.A. (conhecido o 1º termo e a razão)
Exemplos:
- Achar os termos a 6 , a 21 e a 102 da progressão aritmética cujo primeiro termo é a 1 = 2 e a
razão d = 3.
Resolução:
Pela expressão (1) temos:
a 6 = a 1 + 5d = 2 + 53 = 2 + 15 = 17
a 21 = a 1 + 20d = 2 + 203 = 2 + 60 = 62
a 102 = a 1 + 101d = 2 + 1013 = 2 + 303 = 305
- Determine o termo geral da seguinte P.A. , 2
d
Como 2
a 1 2 d , então:
n a (^) n a n d an n n n an
- Achar o termo a 21 duma P.A. se a 5 55 e a 15 5. (Sugestão: formar um sistema de
equações lineares)
1
1
1
1
15 1
5 1
d
d
a d
a d
a d
a d
a a d
a a d
1
1
1
1
1
a
a
a
a d
a d
(3º) a 21 a 1 20 d 75 20 ( 5 ) 75 100 25
an a 1 n 1 d
Consideremos a P.A finita: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 onde podemos destacar: 6 e 34 são
extremos.
e
e
e
são termos equidistantes dos extremos
verifica-se facilmente que
6 + 34 = 40 (soma dos extremos)
(soma de dois termos equidistantes dos extremos)
Generalizando temos:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , an-2, an-1, an a 2 + an-1 = a 1 + an
a 3 + an-2 = a 1 + an
extremos
Seja a P.A finita: a 1 , a 2 , a 3 , ..., an-2, an-1, an e Sn a soma dos termos dessa P.A.
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + an-2 + an-1 + an (1)
ou escrevendo os termos por ordem inversa, temos:
Sn = an + an-1 + an-2 + … + a 3 + a 2 + a 1 (2)
Somando as igualdades (1) e (2) membro a membro temos:
2Sn = (a 1 + an) + (a 2 + an-1) + (a 3 + an-2) + … + (an- 2 + a 3 ) + (an- 1 + a 2 ) + (an + a 1 )
como a 2 e an-1; a 3 e an-2 são equidistantes dos extremos, suas somas são iguais à (a 1 + an), logo:
S a a n
S a a a a a a a a a a a a
n n
n parcelas
n n n n n n n
1
1 1 1 1 1 1
(3) onde: Sn é a soma dos n termos consecutivos de uma P.A.
a 1 a n S
n n
Se , na fórmula (3), substituirmos an por a 1 n^ 1 d obtemos a seguinte fórmula:
(4) que é equivalente a fórmula (3)
Exemplo:
- Achar a soma dos 30 primeiros termos da seguinte P.A: 2, 5, 8, ...
Dados:
a 1 = 2; d = 3 e n = 30
30
1
n S
a n d Sn
- Achar a soma dos 12 primeiros termos da progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ...
d = 4; a 1 = 4 e n = 12
a) Usando a fórmula
a 1 a n S
n n
a 12 = a 1 + 11d = 4 + 114 = 48
1 12 12
a a n S
b) Usando a fórmula
n
a n d Sn
12
1 12
S
a S
3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Consideremos as sucessões seguintes:
a) 4, 8, 16, 32, 64, ...
Nesta sucessão, observamos que:
n
a n d Sn
6 6 6 3 6
2
1 1
n n n n n
n
n
n
a
a q an é uma P.G.
12 1 1 ^
a
Como (^) q 1 e a 1 0 então an é crescente.
3.1. Termo geral de uma progressão geométrica
Seja a progressão geométrica a 1 , a 2 , a 3 , ..., an-1, an, ... ( de razão q)
a 1 = a 1 q
0
a 2 = a 1 q
1
a 3 = a 2 q = a 1 qq = a 1 q
2
a 4 = a 3 q = a 1 q
2 q = a 1 q
3
- Termo geral duma P.G. conhecidos a 1 e q.
Exemplo: Dada a P.G – 2, -6, -18, …
a) Determine o termo geral.
b) Encontre o termo de ordem 5.
Resolução:
a)
1 1 3 2 3 2
n a e q an
b) 2 3 2 81 162
4 4 a 5 a 1 q
2.2. Relação entre dois termos quaisquer de uma progressão geométrica
Sejam an e am dois termos quaisquer, respectivamente, de ordem n e de ordem m de uma P.G de
razão q.
1 1
n an a q
Da fórmula
1 1
n an a q temos:
1 1
n an a q e
1 1
m am a q
Dividindo as duas igualdades membro a membro fica 1
1
1 1
1 1
m
n
m
n
m
n
q
q
a q
a q
a
a donde
1
1
m
n
n m q
q a a
Exemplo: Numa P.G crescente tem-se: a 3 = 6 e a 5 = 24. Determine:
a) A razão da progressão.
b) O termo geral.
Resolução:
a)
nm an am q
53 2 2 5 ^3
a a q q q q
Mas como a P.G. é crescente então q 1 q 2
b)
3 3 31 2 2 6 2 3. 2. 2 3 2 3 2 3 2
n n
n n n n an a
Exemplo: Numa P.G, o quarto termo é igual 375 e a razão q = 5. Calcular o primeiro termo dessa
progressão.
Resolução:
a 4 = 375 e q = 5
3 4 1
1 1
a a q a a a a
n n
3.3 Soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica
Consideremos n termos consecutivos de uma P.G: a 1 , a 2 , a 3 , ..., an-2, an-1, an e sejam a 1 e a (^) n o
primeiro e o último termos, respectivamente.
Designando por Sn a soma desses termos, temos:
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + an-2 + an-1 + an (1)
Multiplicando por q os membros da igualdade, vem:
nm an am q
8
1
n
q
a q S
n
n n n n
n n
n
Resposta: devemos considerar 8 termos na progressão (n = 8)
3.4. Progressão geométrica infinita
Consideremos a progressão geométrica: ,
2
n onde 2
a 1 e q . Já
sabemos que a soma Sn dos n termos é
q
a q S
n
n
; com q 1 e q<
Estudando a convergência da sucessão vem
q
a
q
a q S
n
n
lim lim 1 1 porque 0
n (^) q ou
seja 0
2
lim (^)
n
(é um infinitésimo), daí que
é a formula da soma de n termos de uma P.G infinitamente
decrescente.
Aplicações
As dízimas infinitas periódicas são números racionais, ou seja podem ser escritas em forma de
fracção de termos inteiros
q p q q
p ; 0 : ,.
Então, como se pode determinar a fracção geratriz de uma dízima infinita periódica? Vejamos
seguintes exemplos:
Exemplo 1: Dada a dízima infinita periódica 2,55... de período 5, também representada
abreviadamente por 2,(5).
Considerando a sucessão: 2,5; 2,55; 2,555; ... (1)
q
a Sn
1
A sucessão é monótona crescente e limitada, e o limite da sucessão (que é único) é por definição
o valor representado pela dízima.
A determinação do limite será:
Considerar a sucessão (1) como soma de duas sucessões:
2; 2; ... ... 2; ... ... (a)
0,5; 0,55; ... 0,555 ... ... (b)
O limite da primeira (a) é 2 (sucessão constante)
A segunda é uma sucessão cujo termo geral é a soma dos n termos da P.G. 0,5; 0,55; 0,555; ...
O limite da sucessão (b) é:
1 0 ,^5
q
a
lim
1
q
a Sn
Logo o limite da sucessão (1) é: 9
Exemplo 2: Achar a fracção geratriz da dízima 0,3131...
Resposta:
P. G
1
1
q
a S
q
a
n
Resposta: A fracção é
99
Exemplo 3: Calcule a soma da P.G
Sendo a = 1
Se 2
1 1 , a partir de n > 2, todos termos estão dentro do intervalo I 1.
Se 3
2 1 , para n > 3 (depois do 3º termo) todos termos pertencem ao
intervalo I 2.
Conclusão : Qualquer que seja o grau de aproximação fixado, existe uma ordem depois da qual
todos termos da sucessão se encontram no intervalo 1 , 1 e dizemos que a sucessão an
converge para 1.
Definição 2:
A sucessão real xn converge para a sse para cada intervalo aberto de centro “a” existe
um número natural n a partir do qual todos os termos da sucessão xn pertencem a I.
Simbolicamente: a sucessão xn converge para a sse
(^) N n N a xn a () 0 ()^ :^ que é equivalente à
(^) N n N xn a ()
0 ()^ :
que se lê: “para todo e qualquer
existe um N que depende de pertencente a
N ( ) , tal que para todo e qualquer n N ( )
n N ( )
implica () que xn a ”. (a é
um número real)
Traduzimos este facto, dizendo que a sucessão tem por limite “a” e escrevendo: xn a ou
xn a n
lim ou lim xn a.
Nota: Uma sucessão diz-se convergente quando tem um limite finito “a”. Caso contrário é
divergente. lim xn ou lim xn
Teoremas
- Teorema (da unicidade de limites): uma sucessão convergente tem um único limite.
- Toda a sucessão constante é convergente, sendo o limite da sucessão o valor comum dos
seus termos.
Exemplo: 2 ; lim lim 2 2 n n n
an u
Exemplo 1: A partir da definição verificar que a sucessão n
xn
tem como limite o número
0 (zero).
Partindo da definição
(^) N n N xn a ()
0 ()^ :
n N n n
xn a temos que
N ( ).
Se 2 0 , 5
0 , 5 N ()
Então n N ( ) n 2. A partir de n=3 todos termos pertencem ao intervalo I.
Teorema 2: Se an é infinitésimo e um número real qualquer, então a sucessão (an) é um
infinitésimo.
Teorema 3: Se an e bn são sucessões infinitamente pequenas então o produto delas também é
infinitamente pequena.
4.1.2. Sucessões infinitamente grandes
Definição:
A sucessão xn diz-se infinitamente grande se L 0 N ( L ) : n N ( L ) xn L ,
isto é, n n
lim x.
Nota : Todas sucessões infinitamente grandes são divergentes.
Há três situações a considerar:
- Sucessão infinitamente grande positivo
n n
lim x
Ex: ^
2 2 x n e lim n n n
- Sucessão infinitamente grande negativo
n n
lim x
Ex:
x n e n n n lim
- Sucessão infinitamente grande
n n
lim x
Ex:
(^12) x 1. n
n n
Para n ímpar temos:
1 2 lim 1. n
n
n
Para n par temos:
(^12) lim 1. n
n
n
4.1.3. Relação entre sucessões infinitamente pequenas e infinitamente grandes
- Se (xn) é uma sucessão infinitamente grande o seu inverso
x n
é infinitamente pequena.
Ex: 0 2 1
n
xn n e
- Se (xn) é uma sucessão infinitamente pequena diferente de zero então, o seu inverso
x n
é infinitamente grande.
4.2. Cálculo de limites imediatos
1º Caso:
n
u (^) n u
lim 0
- o inverso de um infinitésimo.
Se 0 un significa que é um infinitésimo e o seu inverso é infinitamente grande, logo
ou un un
lim 0
Ex:
n n n n
lim 2 2
lim
2º Caso:
n
u (^) n u
lim
- o inverso de infinitamente grande.
Se un , significa que é infinitamente grande ou divergente e o seu inverso un
é um
infinitésimo, logo^0
lim n
u (^) n u
Ex: 0 2 1
lim (^) n n
3º Caso:
n n
P
lim - potência de expoente natural ( P 1 e P ).
