Apontamentos de Análise Matemática: Funções Trigonométricas Inversas para Engenharia, Notas de aula de Cálculo Diferencial e Integral

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Instituto PolitÈcnico de Leiria

Escola Superior de Tecnologia e Gest„o

Apontamentos TeÛricos

de

An·lise Matem·tica

FunÁıes trigonomÈtricas inversas

Engenharia EletrotÈcnica

Ano letivo 2011/

Pedro Matos Alexandra Seco LuÌs Cotrim

Departamento de Matem·tica

Outubro/

1 FunÁıes trigonomÈtricas inversas

1.1 FunÁıes Seno e Arco seno

Consideremos a funÁ„o

f : R! [ 1 ; 1] x 7 ! f (x) = sin x: A sua representaÁ„o gr·Öca È:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

1

x

y

VeriÖca-se que:

 … uma funÁ„o contÌnua em R.

 … uma funÁ„o limitada.

 … uma funÁ„o Ìmpar.

 … periÛdica de perÌodo 2 :

 N„o existe (^) x!1lim sin x:

 N„o È injectiva.

N„o sendo injectiva n„o admite inversa. Considere-se uma restriÁ„o g de f que seja injectiva (restriÁ„o

principal ):

g :

h

i ! [ 1 ; 1] x 7 ! g(x) = sin x: A funÁ„o inversa de g È:

g^1 : [ 1 ; 1]!

h  2

i

x 7 ! g^1 (x) = arcsin x: Nestas condiÁıes veriÖca-se:

y = arcsin x , sin y = x; se x 2 [ 1 ; 1] e y 2

h  2

i :

A representaÁ„o gr·Öca da funÁ„o y = arcsin x È:

y = arcsin x

-1 1

-1.

-1.

-0.

x

y

Exemplo 1.1 Dada a funÁ„o h(x) = 2 + arcsin (3x + 1): Determine:

1. O domÌnio de h. 2) h(0) e h( 1 6

3. O contradomÌnio da funÁ„o. 4) As soluÁıes da equaÁ„o h(x) = 2 +

5. Caracterize a funÁ„o inversa de h. ResoluÁ„o:

6. Atendendo a que o domÌnio da funÁ„o arco seno È [ 1 ; 1], tem-se:

1  3 x + 1  1 , 2  3 x  0 ,

3 ^ x^ ^0 :

Dh =

2. h(0) = 2 + arcsin 1 = 2 +  2

= 4 +^ 

h

= 2 + arcsin

3. Atendendo a que

2 ^ arcsin(3x^ + 1)^ ^

vem, 2

 2 + arcsin(3x + 1)  2 +

Logo, D^0 h =

h 2

i :

4. h(x) = 2 +

, 2 + arcsin(3x + 1) = 2 +

, arcsin(3x + 1) =

, 3 x + 1 = sin

, x =

p 3 2 6

g : [0; ]! [ 1 ; 1] x 7 ! g(x) = cos x: A funÁ„o inversa de g È:

g^1 : [ 1 ; 1]! [0; ] x 7 ! g^1 (x) = arccos x: Nestas condiÁıes veriÖca-se:

y = arccos x , cos y = x; se x 2 [ 1 ; 1] e y 2 [0; ]:

A representaÁ„o gr·Öca da funÁ„o y = arccos x È:

y = arccos x

-1 1

1

2

3

x

y

ExercÌcio 1.1 Considere a funÁ„o

f (x) = arccos

p 2 2 ^2 x

a) Determine o domÌnio e o contradomÌnio e indique a express„o de f ^1 (x): b) Resolva a equaÁ„o f (x) =

SoluÁıes:

a) Df =

p 2 2 4

p 2 + 2 4

; D f^0 = [0 ; ] ; f ^1 (x) =

p 2 4

cos x; b) S =

( (^) p 2 2

1.3 FunÁıes Tangente e Arco tangente

Consideremos a funÁ„o:

f : Rn

n (^)  2

• k; k 2 Z

o ! R x 7 ! f (x) = tg x:

A sua representaÁ„o gr·Öca È:

y = tg x

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

x

y

A funÁ„o n„o È injectiva, logo n„o admite inversa. Considere-se uma restriÁ„o g de f que seja injectiva

(restriÁ„o principal ).

g :

i

h ! R x 7 ! g(x) = tg x: A funÁ„o inversa de g È:

g^1 : R !

i

h

x 7 ! g^1 (x) = arctg x: Tem-se assim, y = arctg x , tg y = x; se y 2

i

h :

A representaÁ„o gr·Öca de g^1 È:

y = arctg x

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

x

y

ExercÌcio 1.2 Calcule o n˙mero real designado por tg(arccos 1):

ExercÌcio 1.3 Calcule o valor de

A = tg

arcsin

• arccos

SoluÁ„o: A =

p 2 + 4

p 3 4

p 6

A representaÁ„o gr·Öca de g^1 È:

y = arccotg x

-6 -4 -2 0 2 4 6

1

2

3

x

y

ExercÌcios 1.6 Determine o domÌnio e o contradomÌnio das f:r:v:r: f , g , m e q deÖnidas por:

1. f (x) = cos

2 x +

• 3 2) g(x) = 2 sin

3 x

3. m(x) = 1

arccos (2x + 1) 4) q(x) =

2 arctg ( x 2

ExercÌcio 1.7 VeriÖque que arcsin x 1 x + 1 = arccotg^

p x x 1 :

ExercÌcio 1.8 Calcule

sin

arcsin 1 2 arcsin 3 5

: SoluÁ„o: 43 ^24

p 3 100

1.5 FunÁ„o Secante

A funÁ„o secante È deÖnida da seguinte forma:

sec : Rn

n (^)  2

• k; k 2 Z

o ! ] 1; 1] [ [1; + 1 [ x 7 ! sec x = 1 cos x

O seu gr·Öco È:

y = sec x

-2 2 4 6

2

4

x

y

Uma vez que 1 + tg^2 x = 1 cos^2 x

escreve-se agora, 1 + tg^2 x = sec^2 x:

1.6 FunÁ„o Co-secante

A funÁ„o co-secante È deÖnida da seguinte forma:

cosec : Rn fk; k 2 Zg! ] 1; 1] [ [1; + 1 [ x 7 ! cosec x =

sin x O seu gr·Öco È:

y = cosec x

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

2

4

x

y

Uma vez que 1 + cotg^2 x =

sin^2 x

escreve-se agora, 1 + cotg^2 x = cosec^2 x: