Funções trigonométricas, Notas de estudo de zootecnia

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

Centro de Ciências Agrárias - CCA Curso: Zootecnia Disciplina: Fundamentos de Matemática

Tema: Funções Trigonométricas (seno, cosseno, tangente).

São Luís - MA 2011

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

Discentes: Deise Anchieta Elaine Dias Élison Macedo Erica Brandão Luciana Costa

Trabalho dedicado à disciplina de Fundamentos da Matemática, para o professor Elinaldo Morais, referente à terceira nota.

✓ Introdução sobre Funções trigonométricas

Tentando resolver o problema da navegação, os gregos se interessaram em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou no surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Erastóstenes ( a.C.), o bibliotecário de Alexandria. Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul.

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões.

As relações trigonométricas num triângulo retângulo constituíram um avanço no estudo das relações métricas nos triângulos porque estas estabelecem fórmulas que

relacionam entre si, medidas de segmentos, enquanto que as razões trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).

O triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a : hipotenusa b e c : catetos h : altura relativa a hipotenusa m e n : projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a. As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

O comprimento do arco AP será o módulo de α.

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem. Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/ = 2 π + 2π/.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.

Propriedades:

i) Dados P(x) = (cos x, sen x) e P(-x) = (cos(-x), sen(-x)), pode-se provar que

cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E a tg(x)?

Dessa maneira, temos que é o ponto simétrico de P(x) em relação à reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

A partir das propriedades acima, é possível mostrar que:

iii) sen =cos x e cos ;

iv) e ;

v) e ;

vi) e ;

vii) e. Através desses propriedades, dado um número real x qual quer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante , pois nos permite encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real que determina um arco no primeiro quadrante.

Finalmente, utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que, para todos a e b reais, valem as relações:

cos(a+b) = cos a.cos b-sen a.sen b bem como sen(a+b) = sen a.cos b+sen b.cos a que permitem calcular o seno e o cosseno da soma de dois arcos em termos do seno e cosseno desses arcos separadamente considerados.

✓ ÂNGULOS NOTÁVEIS

O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior freqüência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º. As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos. Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como: Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos

E, ainda, para cada ângulo existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento faz um ângulo com o eixo x. Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento sobre o eixo y. O cosseno é definido como a projeção do segmento com o eixo x. Isto é:

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

Observa-se diretamente de (1) e (2) a relação fundamental entre o cosseno e o seno de um ângulo :

• Função seno

Chamamos de função seno a função f(x) = sen x , onde f: R→R O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1].

Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: 1

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

-1 ≤ 2m – 3 ≤ 1 -1 + 3 ≤ 2m ≤ 1 + 3 2 ≤ 2m ≤ 4 1 ≤ m ≤ 2 Logo, os valores de m são dados pelo conjunto {m E R | 1 ≤ m ≤ 2}. Determine os valores máximo e mínimo da função y = 2 + 3. sen x. Resolução: Para -1, que é o valor mínimo de sen x, temos: Y = 2 + 3(-1) = - Para que o valor máximo de sen x, temos: Y = 2 + 3. 1 = 5 Logo, e

• Cosseno Dado um número real x que pertença ao intervalo de 0 a 2, sendo P sua imagem no ciclo. Cosseno de x é a projeção deste ponto no eixo dos cossenos. ▲ Como o 1° e o 4° quadrante estão acima do valor 0 para o eixo, então seus valores para cosseno de x são positivos, o contrário acontece no 2° e 3° quadrantes. ▲ Como os valores de cosseno iniciam em 1 e decrescem para 0, decrescem para -1, depois crescem para 0 e por fim crescem para 1.

Temos a seguinte tabela, o gráfico e o ciclo:

x 0 3

Cosseno x 1 decresce 0 Decresce -1 cresce 0 cresce 1 Cosseno x + - - +

• Tangente

Dado um número real x que pertença ao intervalo de 0 a 2, x ≠ e x ≠ , sendo P sua imagem no ciclo. Seja T o ponto de intersecção da reta com o eixo das tangentes, Tangente de x é a medida de.

Exemplo:

Para quais valores a Tangente de x não está definida? Justifique.

A tangente não esta definida para e porque a reta fica paralela ao eixo das tangentes. A tangente de x será crescente em todos os quadrantes, Positiva no 1° e 3° quadrantes, e será negativa no 2° e 4° quadrantes.

Temos a seguinte tabela e o gráfico: