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Teorema das Raízes Unitárias Complexas
Epifânio A. Ferreira∗
10 de Julho de 2014
Suponha que por algum motivo importante precisemos calcular as seguintes potências com o número imaginário i: a) i^3 = e) i^786 = b) i^4 = f) i^2841 = c) i^5 = g) i^5096 = d) i^16 = h) i^90815 = e) i^303 = i) i^412710 = As respostas das questões anteriores podem ser encontradas usando a regra, já conhecida, da divisão por 4. No entanto, existe um método bem mais prático, simples e rápido para encontrá-las, sejam os expoentes de qualquer tamanho, que é garantido pelo teorema que segue.
Teorema − Parte I
Sejam in^ um número complexo e n um natural da forma 2 k com k ∈ N, então
in^ = − 1 ou in^ = 1.
Demonstração. (Indução)
Corolário 1. Se k ∈ { 0 , 2 , 4 , ...}, então
in^ = i^2 k^ = 1
Demonstração. (Indução) ∗[email protected]
Corolário 2. Se k ∈ { 1 , 3 , 5 , ...}, então
in^ = i^2 k^ = − 1.
Demonstração. (Indução)
Teorema − Parte II
Sejam in^ um número complexo e n um natural da forma 2 k + 1 com k ∈ N, então
in^ = −i ou in^ = i
Demonstração. (Indução)
Corolário 3. Se k ∈ { 0 , 2 , 4 , ...}, então
in^ = i^2 k+1^ = i
Demonstração. (Indução)
Corolário 4. Se k ∈ { 1 , 3 , 5 , ...}, então
in^ = i^2 k+1^ = −i
Demonstração. (Indução)
Apresentado o resultado vamos solucionar as questões dadas inicialmente com a garantia dada pelo teorema. Para resolver tais questões precisamos apenas compreender o seguinte:
- Conhecer quando um número é par e quando é ímpar;
- Saber efetuar uma divisão por 2, que pode ser feita até mesmo com a calculadora. Aplicando 1), logo de cara, já temos respostas parciais para as questões. O teorema garante que se o expoente for par, então o resultado é igual a 1(-1), caso seja ímpar será i(-i):
