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Teorema de Ptolomeu
Teorema: Num quadril´atero qualquer inscrito numa circunferˆencia, a soma dos produtos dos lados
opostos ´e igual ao produto das diagonais.
De outro modo:
Se A,B,CeDs˜ao quatro pontos sobre uma circunferˆencia (v´ertices de um quadrilatero inscrito numa
circunferˆencia) , ent˜ao
AB.C D +BC .AD =AC.B D (1)
Demonstra¸c˜ao:
Tomemos um ponto Esobre [BC], tal que ∠(Aˆ
BE ) = ∠(Dˆ
BC ).
A
B
C
D
E
F
e, como ´e f´acil ver, ∠(Aˆ
BD) = ∠(Cˆ
BE )Da rela¸c˜ao entre essa igualdade de ˆangulos inscritos e
os arcos correspondentes, podemos escrever imediatamente que
d
AD =
d
CF ou
\
ADF =
\
DF C,
por exemplo. Mais: por ser ∠(Aˆ
BE ) = ∠(Dˆ
BC )e∠(Aˆ
BE ) =
d
AD+
d
DF
2, ao mesmo tempo que
∠(Dˆ
BC ) =
d
CF +
d
F D
2, resulta que
d
AD =
d
CF .
Como ∠Bˆ
EA =∠Eˆ
BC +∠Bˆ
CE =
d
CF +
d
AB
2=
d
AD+
d
AB
2=∠Dˆ
CB , sendo por constru¸c˜ao ∠Aˆ
BE =
∠Dˆ
BC , conclui-se que s˜ao semelhantes os triˆangulos ∆[AB E]e∆[DB C ],
Sendo os lados hom´ologos os opostos aos ˆangulos iguais, [AB ]oposto ao ∠Edo primeiro triˆangulo
´e hom´ologo de [D B], poposto ao ∠Cno segundo triˆangulo e [AE ]´e hom´ologo de [CD ]por serem
opostos dos ˆangulos iguais por constru¸c˜ao. E podemos ent˜ao escrever a rela¸c˜ao:
AE
CD =AB
BD
⇐⇒ AE.B D =AB.C D (2)
Usando os mesmos dados, e de forma em tudo an´aloga, conclu´ımos que s˜ao semelhantes os triˆangulos
∆[ABD]e∆[B CE ], por serem iguais os ˆangulos ∠Aˆ
BD =∠Cˆ
BE ( a que se opˆoem os lados [AD]
e[CE ]) e os ˆangulos ∠Dˆ
AB =∠Bˆ
EC (a que se opˆoem os lados [BD ]e[BC ]). E podemos escrever
a rela¸c˜ao:
CE
AD =BC
BD
⇐⇒ C E.BD =AD .BC (3)
E somando ordenadamente as igualdades (2) e (3), obtemos
AE.B D +CE .BD =AB .CD +AD .BC
(AE +CE ).BD =AB .CD +AD .BC
AC.B D =AB.C D +AD.B C (4)
que era o que se pretendia provar (1).
c
A.M