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CONCEITO DE LIMITES E DERIVADAS
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No séc. XVII Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A Teoria dos Limites, tópico introdutório é fundamental da Matemática Superior. Portanto, o que veremos, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes. Matemático francês - Augustin Louis Cauchy – 1789/1857 foi, entre outros, um grande estudioso da Teoria dos Limites. Antes dele, Isaac Newton, inglês, 1642/1727 e Gottfried Wilhelm Leibniz, alemão, 1646/1716, já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.
DEFINIÇÃO
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x 0 , se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x 0 | <δ , se
tenha |f(x) - L | <ε , para todo x ≠ x 0.
Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x 0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx→ x 0 Exemplo: Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x→ 3. Temos no caso: f(x) = x + 5 x 0 = 3L = 8. Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < δ. Ora, |(x + 5) - 8| < δ é equivalente a x - 3 | < ε. Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = δ. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x δ 3). O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares: a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando, x → x 0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x 0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x 0 , porém não coincidente com x 0 , ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x 0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3. Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x^2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3. b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x 0 , pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x 0 , ou seja , existindo f(x 0 ).
não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite. Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞ , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Dado b ∈ R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+∞ ) = + ∞ b + ( - ∞ ) = - ∞ (+ ∞) + (+ ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) + (- ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞ , é dito um símbolo de indeterminação. (+ ∞ ). (+ ∞ ) = + ∞ (+ ∞ ). 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação. ∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação. No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação são: Cálculos de alguns limites imediatos. a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
∞ - ∞ ∞. 0 ∞ / ∞ ∞ 0 0 / 0^1 ∞^1
x→ 5 b) lim (x^2 + x) = (+ ∞ )^2 + (+∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ x→ + ∞ c) lim (4 + x^3 ) = 4 + 2^3 = 4 + 8 = 12 x→ 2 d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 x→ 4 e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7 x→ 4 LIMITES FUNDAMENTAIS A técnica de cálculo de limites consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentarei cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas. PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL: O LIMITE TRIGONOMÊTRICO Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 ≈ 1. Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. Exemplo:
QUARTO LIMITE FUNDAMENTAL: OUTRO LIMITE EXPONENCIAL
Para a > 0. QUINTO LIMITE FUNDAMENTAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Y = F(X) NUM PONTO X=X0. Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função: y = f(x), quando x varia de x 0 para x 0 + ∆ x 0 : Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x 0 , como sendo o limite da razão incremental acima, quando ∆ x 0 tende a zero, e é representada por f ' (x 0 ) , ou seja: Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos y ‘, f '^ (x) ou dy/dx, A seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções. FUNÇÃO DERIVADA
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x 0. NOTA: Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6m. Se uma pessoa de 1,80m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma velocidade de 5m/s, com qual velocidade se desloca à extremidade de sua sombra projetada na rua? Considere a figura a seguir: Supondo que a pessoa partiu do ponto O a uma velocidade de 5m/s, depois de t segundos, ela terá percorrido a distância d = 5.t e estará no ponto B. Como a luz se propaga em linha reta, a ponta da sombra da pessoa, estará no ponto S. Seja y esta distância. Pela semelhança dos triângulos BAS e OLS, poderão escrever: Substituindo os valores, vem: Daí, fica: 6(y – 5t) = 1,80.y 6y – 30t = 1,80y
6y – 1,80y = 30t 4,20y = 30t y = (30/4,20)t Portanto, y = 7,14t Ora, a velocidade v do ponto S será a derivada dy/dt, ou seja: Como y = 7,14t, vem imediatamente que:. Portanto, a velocidade do ponto extremo da sombra é igual a 7,14 m/s. NOTA : Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r = 5m e altura h = 10m. No tempo t = 0, o tanque começa a ser cheio com água, que entra no tanque com uma vazão de 25 m^3 /h. Com qual velocidade o nível da água sobe? Depois de quanto tempo o tanque estará cheio? Considere a figura a seguir: Já sabemos que o volume de um cilindro reto de raio da base R e altura h é dado pela fórmula V = π.R^2 .h Sendo x o nível da água no tanque, é óbvio que poderemos escrever:
dL/dX = Py. PFMa - Px (6.0) Como na equação (6.0) Py. PFMa (receita marginal) e Px = CMa (custo marginal), tem- se: dL/dX = RMa - CMa Igualando a primeira derivada a zero, tem-se: dL/dX = RMa – CMa = (6.1) A equação (6.1) pode ser escrita da seguinte forma: RMa = CMa = 0 ou RMa = CMa ou (6.3) VPFMa = Px (6.4) Em que VPFMa = valor do produto físico marginal. Admitindo-se que a segunda derivada da função de lucro seja menor que zero, as equações (6.3) e (6.4) determinam que o lucro será máximo quando o retorno obtido ao produzir uma unidade a mais do produto for igual ao custo para produzir essa unidade a mais. O quadro abaixo ilustra a maximização de lucro da empresa florestal onde o custo marginal do fator, ou preço do fator (Px1), é igual a US$ 2,00 e o preço do produto (Py) igual a US$ 2,00. X 1 Y PFMe PFMa CMa (Px1) VPFMa CT RT Lucro 1 1 1,0 1 2 2 2 2 0 2 3 1,5 2 2 4 4 6 2 3 6 2,0 3 2 6 6 12 6 4 10 2,5 4 2 8 8 20 12 5 15 3,0 5 2 10 10 30 20 6 19 3,2 4 2 8 12 38 26 7 22 3,1 3 2 6 14 44 30 8 24 3,0 2 2 4 16 48 32 9 25 2,8 1 2 2 18 50 32 * 10 25 2,5 0 2 0 20 50 30 *Ponto em que o lucro é máximo
DEFINIÇÃO DE DERIVADA E REGRA DE DERIVAÇÃO
Tomemos os coeficientes angulares, m (x) = (f (x) – f (a))/(x – a), também chamados declividades, das retas secantes a G (f) por (x, f (x)) e (a, f (a)). Se a reta limite de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m (x) tendem a um valor fixo, m (a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de: e também ponto de acumulação de A. Isto é, lembrando que A denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos. Definição 3.1. Consideremos uma função e A função f é derivável em a, se existir o limite (3.2) Neste caso, o valor f' (a) é chamado derivada de f em a. Há várias notações para a derivada. Sendo y = f (x), as seguintes são algumas das mais comuns:
, atribuída a Newton. Após as considerações feitas até aqui é natural colocar: Definição 3.1. Sendo y = f (x) derivável em a, a reta tangente ao gráfico, G (f), em (a, b), b = f (a), é a reta dada por: y - b = f (a)(x - a). Se a equação horária de um movimento retilíneo é x = s (t), onde s é uma função diferenciável da variável tempo t, a velocidade v(t 0 ) num instante t 0 é a derivada de s em t 0 , isto é, v (t 0 ): = s (t 0 ). Exemplo 3.1. (1) Se, então f (x) = 0. De fato, neste caso, o limite (1.1) fica em qualquer ponto a. (2) Se f (x) = x^2 , então f' (a) = 2a. De fato, (3) A reta tangente à parábola y = x^2 , no ponto (2,4) é: y – 4 = 4(x – 2). (3.3) De fato, a derivada de x^2 no ponto x = 2 é igual a 4. Usando agora o fato de que a equação da reta de coeficiente angular m, passando pelo ponto (a,b), é dada por y – b = m (x-a) Chega-se à equação (3.3).
(4) Generalizando o item (2), tem-se: Antes de provarmos esse fato, convém observar que, se f é uma função diferenciável em um ponto a, na definição de derivada, o limite (1.1) pode ser escrito na forma: O que será feito com muita freqüência daqui a diante. Retomando o nosso exemplo, aplicando o desenvolvimento do binômio obtemos: Para n = 1, temos um caso particular importante dessa fórmula: (x) = 1, Isto é, a derivada da função identidade é 1. A fórmula neste caso faz sentido apenas para: uma vez que a expressão 0^0 não é definida. Entretanto, pode verificar diretamente, a partir da definição de derivada, que (x) = 1, inclusive no ponto x = 0. (5). De fato, usando o Primeiro Limite Fundamental para justificar a penúltima e a última linha da seguinte cadeia de igualdades, tem:
são exemplos de funções diferenciáveis. A seguinte proposição e os próximos dois exemplos ajudam a entender como deve ser uma função não diferenciável. Proposição 3.1. Se uma função f é derivável em um ponto a, então f é contínua em a. Prova. Note que f é contínua em a se, e somente se, Este, de fato, é o caso quando f é diferenciável em a, pois: Como estou interessado em entender como é uma função não diferenciável num ponto, posso reformular a Proposição 3.1.1 dizendo que toda função descontínua num ponto a é não diferenciável em a. A pergunta agora é: vale a recíproca da Proposição 3.1.1? Ou seja, será que toda função contínua em a é diferenciável nesse ponto? A resposta é negativa (como era de se esperar, pois em caso afirmativo, os conceitos de diferenciabilidade e continuidade seriam equivalentes e poderíamos ficar com apenas um deles). Os exemplos seguintes mostram funções contínuas e não diferenciáveis em um ponto. As funções diferenciavam formam, portanto, uma classe mais seleta, ser diferenciável é ser contínua e mais alguma coisa. Exemplo 3.1. A função f (x) = |x| é contínua, mas não diferenciável, no ponto a = 0. De fato, neste caso, o limite (3.2) em a = 0, calculado à esquerda e à direita, assume valores distintos:
logo, não existe f' (0). As expressões (3.4) e (3.5) são chamadas, respectivamente, derivada à esquerda e derivada à direita de f em 0. São denotadas por f (0 -) e f' (0 +). Considerando limites laterais em (3.2) e lembrando as propriedades desses limites temos: Seja a um ponto do domínio de uma função f e também ponto de acumulação lateral desse domínio, deixando-o à esquerda e à direita. f é diferenciável em a se, e somente se, suas derivadas laterais existem e coincidem. Neste caso, f' (a) = f (a-) = f (a +). Exemplo 3.1.3. A função: é contínua, mas não diferenciável, nos pontos Deixamos ao leitor, como exercício, a verificação da continuidade de f. A não diferenciabilidade em a =1 é conseqüência da propriedade que enunciamos acima a respeito das derivadas laterais. De fato, como x^4 < x^2 , para – 1 < x < 1, e x^2 < x^4 , para x > 1, usando o mesmo raciocínio do Exemplo 3.1.2, obtemos: . O dispondo de mais de um recurso para verificar a não diferenciabilidade em a = - 1, inclusive o de explorar o fato de ser f uma função par. Por isso deixamos essa tarefa a seu encargo como exercício.
