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PUCRS –FAMAT – DEPTº DE ESTATÍSTICA
TESTE DE HIPÓTESE – SÉRGIO KATO
Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística. Ou seja, a partir de um teste de hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se inferir sobre a população. No caso das inferências através do Intervalo de Confiança, busca-se “cercar” o parâmetro populacional desconhecido. Aqui formula-se uma hipótese quanto ao valor do parâmetro, e pelos elementos amostrais faz-se um teste que indicará a aceitação ou rejeição da hipótese formulada.
Hipótese Estatística:
Hipótese, em estatística, é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais populações.
Esta hipótese será testada com base em resultados amostrais, sendo aceita ou rejeitada. Ela somente será rejeitada se o resultado da amostra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótese for verdadeira.
Consideremos Ho a hipótese nula, e H 1 a hipótese alternativa a ser testada (complementar de Ho). O teste pode levar a aceitação ou rejeição de Ho que corresponde, respectivamente à negação ou afirmação de H 1.
Exemplo: Suponhamos que uma indústria compre de certo fabricante parafusos cuja a carga média de ruptura por tração é especificada em 50 Kg, o desvio-padrão das cargas de ruptura é suposto ser igual a 4 Kg. O comprador deseja verificar se um grande lote de parafusos recebidos deve ser considerado satisfatório, no entanto existe alguma razão para se temer que a carga média de ruptura seja eventualmente inferior à 50 Kg. Se for superior não preocupa o comprador pois neste caso os parafusos seriam de melhor qualidade que a especificada. Neste exemplo, a hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é inferior a 50 Kg.
O comprador pode ter o seguinte critério para decidir se compra ou não o lote: Resolve tomar uma amostra aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao ensaio de ruptura. Se a carga média de ruptura observada nesta amostra for maior que 48 Kg ele comprará o lote, caso contrário se recusará a comprar.
PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESE
1. HIPÓTESES:
Hipótese Nula (H 0 ): É um valor suposto para um parâmetro. No exemplo acima, H 0 :μ=50.
Hipótese Alternativa(H 1 ) : É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de H 0 , no exemplo, H 1 : μ <50.
ou seja, no exemplo, Ho: μ = 50 H 1 : μ < 50
Supondo H 0 verdadeira, X da amostra aleatória de 25 valores será uma v.a com média
também de 50 Kg e desvio padrão
σ n
No exemplo, x
σ = =
4 25
0 8,
Sabemos que X é aproximadamente normal, então podemos calcular a probabilidade de
obtermos um valor inferior a 48.
P( X <48) = P(
x − <
μ − σ n
48 50 0 8,
) = (P(Z<-2,5) = 0,
Existe pois uma probabilidade de 0,0062 de que, mesmo sendo a hipótese H 0 verdadeira, X
assuma um valor na região que leva à rejeição de H 0 , conforme critério adotado anteriormente.
2. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE UM TESTE:
É a probabilidade máxima de rejeitar Ho. Se, por exemplo, utilizarmos o nível de significância de 5%, a hipótese nula (Ho) será rejeitada somente se o resultado da amostra for tão diferente do valor suposto que uma diferença igual ou maior ocorreria com uma probabilidade máxima de 0,05.
Na prática, o valor de α é fixo. (Geralmente α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.)
No exemplo, fixado α = 0,05, levaria à rejeição de Ho, pois 0,0062 < 0,05.
Uma outra maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste.
3. ESTATÍSTICA DO TESTE:
É o valor calculado a partir da amostra que será usado na tomada de decisão.
No exemplo, Zcalc = -2,5.
Zcalc = valor da estimativa - valor alegado para o parâmetro desvio-padrão do estimador
A probalidade de erro tipo I é determinada pelo pesquisador, mas para determinar a probabilidade de erro tipo II, devemos considerar a hipótese nula como falsa e, então determinar qual a verdadeira distribuição da característica em estudo.
Exemplo: O peso médio de litros de leite de embalagens enchidas em uma linha de produção está sendo estudado. O padrão prevê um conteúdo médio de 1000 ml por embalagem. Sabe-se que o desvio padrão é de 10 ml e que a variável tem distribuição normal. Para encontrar a probabilidade de erro tipo II, quando testamos a média ser diferente de 1000 ml ao nível de 5% de significância com 4 unidades amostrais, e sendo o real conteúdo médio da embalagem de 1012 ml, temos:
H 0 : μ = 1000 H 1 : μ ≠ 1000
P (erro tipo II) = P (aceitar H 0 / H 0 é falsa) =?
Zα/2 = Z0,025 = 1,
1,96 =
X −−−− 1000
⇔ X = 1009,
1000 1009,8 1012
0,
P (aceitar H 0 / H 0 é falsa) = P ( X < 1009,8 / μ = 1012)
= P (
x n
− <
μ − σ
1009 8 1012 10 4
, )
= P ( Z < -0,44) = 0,
Ou seja, a probabilidade de não rejeitarmos Ho, quando a média real da embalagem é de 1012 ml é de 0,33. A partir dessa informação podemos obter o poder do teste é de 1-β=1-0,33=0,67.
1. Teste de Hipótese para uma Média com variância pop.conhecida
HIPÓTESES: H 0 : μ = μ 0
H 1 : μ ≠ (^) μ 0 ou H 1 : μ > (^) μ 0 ou H 1 : μ < μ 0
ESTATÍSTICA DO TESTE:
x
cal
Z 0
n
σ
−μ
Região crítica unilateral à esquerda: Rejeita-se H 0 se Zcalc < Z∝
Região crítica unilateral à direita: Rejeita-se H 0 se Zcalc > Z1-∝
Região crítica bilateral: Rejeita-se H 0 se Zcalc < Z∝/2 ou Zcalc > Z(1-∝/2)
Exemplo 1: A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa certa usina permanecia estável, com uma resistência média de (^72) Kg mm/ 2 e um desvio padrão de 2,0 (^) Kg mm/ 2.
Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. As resistências médias são apresentadas a seguir: 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75, 70,2 73,3 74,2. Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço? (Adote 5% de significância).
2. Teste de Hipótese para uma Média com variância pop. desconhecida
HIPÓTESES: H 0 : μ = μ 0
H 1 : μ ≠ (^) μ 0 ou H 1 : μ > (^) μ 0 ou H 1 : μ < μ 0
ESTATÍSTICA DO TESTE:
n
s
x cal
t
− μ 0
Região crítica unilateral à esquerda: Rejeita-se H 0 se tcalc < −^ t α, n− 1
Região crítica unilateral à direita: Rejeita-se H 0 se Zcalc > t α, n− 1
Região crítica bilateral: Rejeita-se H 0 se Zcalc < (^) , 1 2 −
− n t α ou Zcalc > (^) , 1 2 n−
t α
Exemplo 2: A percentagem média da receita municipal dos quase 600 municípios de um estado têm sido 7%. O governo pretende melhorar este índice e, para isso, está estudando alguns incentivos. Para verificar os efeitos destes incentivos, sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as percentagens investidas neles. Os resultados foram: 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 10. Admitindo que estes números venham a ocorrer, os dados trazem evidência de melhoria? (Adote 5% de significância).
