Proposta de Teste de Avaliação - Matemática A - 11.º Ano, Provas de Matemática

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Matemática A

11.O^ ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data: JANEIRO 2023

Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Seja
a função de domínio ℝ, definida por
  2 sin  .

1.1. Mostre que
é uma função ímpar.

1.2. Indique o valor lógico da afirmação “O período positivo mínimo de
é 8.”

1.3. Considerando a restrição de
a  1, 5], determine:

a) a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de ordenada 1.

b) o(s) minimizante(s) de
.

c) a área do polígono definido pelos pontos do gráfico da função f , cujas abcissas foram encontradas na questão anterior.

2. Observe a figura onde estão representadas, num referencial

ortonormado xOy, as retas  e  que têm ordenadas na origem simétricas.

Mostre que o triângulo [ ABC ] tem 2√3 unidades de área.

3. Sejam ⃗   3, 2√2   e ⃗ ^ , 2√2   com  ∈ ℝ.

O ângulo formado por ⃗ e ⃗ é agudo se  tiver o valor:

(A) 4 (B) 3

(C) 2 (D) 4

B

r

s

A

C

(^2) √ 3

2 √ 3

O

60° 30° (^) x

y

7. Considere a sucessão  5  de termo geral  5  65 7 85 7 6.

7.1. Averigue se 9: é termo da sucessão.

7.2. Mostre que ∀< ∈ ℕ, 57 <  5.

7.3. Mostre que  5  é limitada.

8. Seja  5  a sucessão definida por:

 5 ?

8.1. Mostre que se trata de uma progressão aritmética.

8.2. Escreva o termo geral de  5 .

8.3. Quantos termos, a partir do terceiro, temos de considerar para que a sua soma seja 414?

FIM

COTAÇÕES Item Cotação (em pontos) 1.1. 1.2. 1.3.a) 1.3.b) 1.3.c) 2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. 5.1. 5.2. 5.3. 6. 7.1 7.2. 7.3. 8.1. 8.2. 8.3. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 200

Proposta de resolução

1.

1.1.
  2 sin    2 sin   Uma função é ímpar se ∀ ∈ @A,  ∈ @A ∧
^  
. Como @A  ℝ , se  ∈ @A então  ∈ @A.
   2 sin     2 sin    2 sin   
. Assim, podemos concluir que a função
é ímpar.

1.2. Seja P o período positivo mínimo da função f. Se  ∈ @A então   1 ∈ @A, porque que @A  ℝ.

  1  2 sin C π  1 4 E  2 sin F π 4

π 4

G

⇔ ∀ ∈ ℝ, 2 sin    I   2 sin  

⇔ ∀ ∈ ℝ, sin    I   sin   Como 2π é o período positivo mínimo da função seno, terá de ser π 4  2π ⟺ 1  8 O valor lógico da afirmação é verdadeiro. 1.3.
|M,NO

a)
  1 ⟺ 2 sin P   1 ⟺ sin     6 ⟺

⟺ π 4

7π 6  2-π ∨ π 4

π 6  2-π, - ∈ ℤ ⟺

⟺  

3  8- ∨  ^

Em ^ 1, 5O, as abcissas são 6 e ^. b) Como @A  ℝ,   toma qualquer valor real pelo que

1 ≤ sin

π 4  ≤ 1 ⇔^ 2 ≤^ 2sin^

π 4  ≤ 2 ⇔^ 2 ≤
 ≤ 2 Logo, o contradomínio de
é: ^ 2, 2O Minimizantes:
  2 ⟺ 2 sin

π 4  ^ 2 ⟺ sin^

π 4   1 ⟺ ⟺

π 4  

π 2  2-π, - ∈ ℤ ⟺   2  8-, - ∈ ℤ Em  1, 5O, o minimizante é 2.

3. Se o ângulo é agudo então ⃗. ⃗a 0

Sendo ⃗   3, 2√2   e ⃗ ^ , 2√2  ,

⃗. ⃗a 0 ⟺ 3 [

3  )2√2^  )^ 2√2^   a 0 ⟺ ⟺ 1  ^6 8 a 0 ⟺ ^6 9 a 0 ⟺  ∈ O 3, 3 Resposta: (C)

4.

4.1. Se a aresta do cubo mede √2, então, sendo  a sua diagonal, temos ^6  )√2* 6  )√2* 6 ⟺

⟺ ^6  4 ⟺   2 (porque  a 0 dado ser um comprimento).

Como D é um ponto do eixo das cotas, tem abcissa e ordenada nula pelo que @0,0,2.

Resposta: (A)

4.2. U0, 1, 1^ e c) √2, 0, 2*

Vetor diretor: Uc⃗^  ) (^) √2, 1,1*

Reta CG : , ', (  0, 1,1  -) (^) √2, 1, 1*, - ∈ ℝ

4.3. Plano CEG

Uc⃗^  ) √2, 1, 1* Ud⃗^  0, 1, 1^ 0, 1,1  0, 2, 0 Seja <⃗  , e, f um vetor normal ao plano CEG <⃗. Uc⃗^  0 ∧ <⃗. Ud⃗^  0 ⇔

g, e, f. )^ √2, 1, 1*  0 , e, f. 0, 2, 0  0

⇔? √2  e  f  0 2e  0

⇔? √2  f  0 e  0

⇔ ?f  √2 e  0

Logo, <⃗  , 0, √2. Para   1, <⃗  1, 0, √2 O ponto U0, 1, 1 pertence ao plano CEG :  0  √2( 1  0 ⟺   √2(  √

B

z

A

C

O

x

y

D

E

G

F

5.1. Se A não pertencer a  podemos definir um plano.

 (^) 4, 2, 1   (^) 5, 2, 1  -2, 1, 3 ⟺ ⟺  4, 2, 1   5  2-, 2 -, 1  3- ⟺ ⟺ 4  5  2- ∧ 2  2 - ∧ 1  1  3- ⇔ ⇔ -   6 ∧ -  0 ∧ -  6 Como o sistema é impossível, o ponto A não pertence à reta r e, como tal, podem definir um plano.

5.2. Vetor diretor da reta: ⃗ 2, 1, 3

Sendo 0 5, 2, 1 um ponto da reta , vamos definir +0⃗^   5, 2, 1  4, 2, 1   1, 0, 2 Seja <⃗ (^) h  , e, f <⃗ (^) h. ⃗ 0 ∧ < ⃗h. +0⃗^  0 ⟺

? , e, f. 2, 1, 3  0 , e, f.  1, 0, 2  0 ⟺ ⟺ i2^ e  3f  02f  0 ⟺ i 2 ^ e  3f  02f ⟺

⟺ i e ^ f2f Logo, <⃗ (^) h   2f, f, f. Para f  1 vem <⃗ (^) h   2, 1, 1. + 4, 2, 1 .: 2  4^ 1' 2  1( 1  0 ⟺ ⟺ 2 '  (  7 ⟺ 2  ' (  7

5.3. Ponto genérico da reta : S )3  2-, 2 -, √5  3-*

Plano .: 2  ' (  7 23  2-  ^2 -^ )√5  3-*  7 ⟺ 6  4- 2 - √5 3-  7 ⟺ ⟺ 4 √5  7 A equação é impossível pelo que a reta é estritamente paralela ou está contida no plano. Ponto da reta s : 3, 2, √5 Se o ponto pertencer ao plano, a reta está contida no plano, caso contrário, a reta é estritamente paralela a .. 2 [ 3 (^2) √5  7 é falso. Então a reta é estritamente paralela ao plano .. Resposta: (D)