Proposta de Teste de Avaliação - Matemática A - 11º Ano, Exercícios de Matemática

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Matemática A

O ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos |^ Data:

Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de

respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as

justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida aproximação, apresente

sempre o valor exato.

1. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio 1.

Sabe-se que:

 (^)  AB (^) é um diâmetro da circunferência;

 os pontos C e D pertencem à circunferência;

^ ^ é a amplitude, em radianos, do ângulo BDC com

1.1. Mostre que o comprimento da corda (^)  BC (^) é igual a 2sin .

1.2. Sabendo que 6



 , determine a área do triângulo (^)  ABC (^) .

2. Qual das seguintes afirmações é verdadeira, relativamente a uma função f de domínio ℝ?

(A) Se f é uma função periódica então tem uma infinidade de zeros.

(B) Se f é uma função periódica então f pode ter um único zero.

(C) Se f (^)  0   f (^)  2 então f é periódica de período 2 .

(D) Se f^ é uma função periódica de período 2 então f (3)  f  7 .

3. Sabe-se que (^) 0 ,

2

e cos   a.

Então,

2

tan  é igual a:

(A)

a

(B)

1  a

a

(C)

1  a

a

(D)

a  a

a

O

A B

C

D

6. Na figura, está representada a circunferência trigonométrica

e o segmento de reta (^)  PQ (^) .

Sabe-se que:

 o ponto P pertence à circunferência trigonométrica e

tem ordenada

 o ponto Q abcissa  1 ;

 o ponto O , origem do referencial pertence ao

segmento de reta (^)  PQ (^) .

Qual é a ordenada do ponto Q?

(A)

 (B)

 (C)

 (D)

7. Num terreno triangular efetuaram-se as medições que se apresentam no seguinte esquema:

7.1. Determine a área do terreno. Apresente o resultado em metros quadrados arredondado às

unidades.

7.2. Determine o perímetro do terreno. Apresente o resultado em metros arredondado às décimas.

Se nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve pelo menos três casas

decimais

FIM

COTAÇÕES

Item

Cotação (em pontos)

1.1. 1.2. 2. 3. 4.1. 2.2. 4.3. 5.1. 5.2. 5.3. 6. 7.1 7.2.

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 20 200

60 m

50º

Q

P

O

x

y

Proposta de resolução

1.1. Como os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a

mesma amplitude, temos que (^) B AC ^  BDC   .

Por outro lado, dado que um ângulo inscrito numa

semicircunferência é um ângulo reto, o triângulo  ABC é

retângulo em C.

Logo, sin sin 2sin 2

BC BC

BC

AB

  2

ABC 

AC BC

A

2sin 2sin 2 1 6 2



BC      e AB  2

Determinemos AC utilizando o Teorema de Pitágoras:

2 2 2

AB  AC  BC

2 2 2 2  AC  1

AC  4  1  3

 

ABC

A

2. (A) é falsa. Por exemplo, se f  x   2 cos x , f é uma função periódica e não tem zeros.

(B) é falsa. Se f é uma função periódica de período p e se a é um zero de f então a  p também

é um zero.

(C) é falsa. Por exemplo, se f  x   x sin x vem f  0   f  2   0 e f^ não é uma função periódica.

(D) é verdadeira. Se f é uma função periódica de período 2 então:

f (3)  f  3  2   f  5   f  5  2   f  7 

Resposta: (D)

e cos   a

2 2 cos   a  a

2 2

sin  1  cos  1  a

2 2 2

sin 1 1 tan 1 cos

a

a a

Resposta: (A)

O

A B

C

D

5. f (^)  x (^)   x 2cos 2 x 

5.1. f (^)  x  (^)  x  x  2cos 2 x (^)   x  2cos 2 (^)  x  0 

cos 2   0 2 2 4 2

k x x k k x k

 0,100  4 2

k x k x

k k

 0    2 k   400  k  ℤ

 0  2 k  400  k  ℤ

   1 2 k  399  k  ℤ

   k   k  ℤ

399 199, 2



 0  k  199  k ℤ

Logo, há 200 pontos com abcissa no intervalo (^)  0, 100 (^) .

Resposta: (C)

5.2. (^)    

2 4cos 2 , 2 2

 ^ 

f x x x x

   

2 2cos 2 4 cos 2 , 2 2

x x x x x

   

2 2cos 2 4cos 2 , 2 2

 ^ 

x x x

   

2 4cos 2 2cos 2 0 , 2 2

x x x

2cos 2   2cos 2  1 0 , 2 2

 ^ 

x x x

2cos 2   0 2 cos 2  1 0 , 2 2

 ^ 

x x x

     

cos 2 0 cos 2 2 , 2

x x x

 x    x    x   x  

 x    x    x   x 

S

5.3. Tomando o lado (^)  OA  para base, a altura, h , do triângulo (^)  OAP  é a ordenada do ponto P.

Como OA  , a área do triângulo (^)  OAP (^) é   2

OAP

h A.

 

OAP

h A h h

Assim, pretendemos determinar, no intervalo (^)  0,  , a abcissa do ponto do gráfico de f cuja

ordenada é

, ou seja, pretendemos resolver, naquele intervalo, a equação (^)  

f x.

Recorrendo à calculadora gráfica, definiram-se y 1 (^)  f (^)  x (^)   x 2cos 2 x (^) e (^2)

y.

De seguida, determinou-se a abcissa do ponto de interseção dos gráficos de y 1 e y 2.

Obteve-se o seguinte resultado:

Portanto, a abcissa de P é, aproximadamente, igual 0,76.

6. Se a ordenada de P é

, então

sin 2

  (^) pelo que 6



Assim, a ordenada de Q  é

tan 6 3

Como Q é a imagem de Q na reflexão central de centro O , a

ordenada de Q é

Resposta: (B)

O x

P

A

Q

O x

y

P

y