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ALLA ALLA DARE R RR R A R AAA Parte III STÁTICA 1. Estática dos sólidos no Estática dos fluidos | N Mg [Arquimedes IQB7 212 aC) 1. Introdução A Estática dos sólidos é um dos ramos da Mecâni- ca que mais desenvolveram alcance prático. Aqui, estudaremos o equilíbrio estático dos só- lidos, isto é, situações em que eles não apresentam nenhum tipo de movimento macroscópico em relação a um dado referencial, que, bastante frequentemente, éosolo. Muitas são as estruturas em que o equilíbrio está- tico tem de ser garantido a fim de que sejam evitados acidentes. Essa preocupação é constante, por exem- plo. durante a construção de edifícios, pontes, navios eaviões. Conhecimentos de Estática foram necessários para garantir as condições de equilibrio dessa ponte A Estática também propiciou o desenvolvimento de mui como alavancas, parafusos e cunhas. todas quase s máquinas elementares extremamente úteis sempre destinadas à multiplicação das forças Além de ser empregada em todas essas utilidades práticas, a Estática também permite entender al mas situações de equilíbrio muito curiosas A Estática está presente até mesmo na simples tarefa de abrir uma garrafa: o abridor é “um tipo de alavanca O João-teimoso é um boneco que se levanta sempre que é tombado. O segredo desse comportamento está posição do seu centro de aravidade. A Estática também justifica a vantagem do uso de uma. chave de fenda para apertar ou desapertar parafusos. O sistema encontra-se em equilibrio, apoiado na borda da boca da garrafa, Também nesse caso o segredo do equilibrio está na posição do centro de gravidade do sistema. 370 PARTE = ESTÁTICA Equilíbrio do ponto material | Pessoa suspensa em cabo-de-aço Como foi visto em Dinâmica, um ponto material está em equilíbrio em relação a um referencial quando se encontra em repouso ou em movimento retilineo e uniforme em relação a esse referencial. O repouso corresponde ao equilibrio estático, enquanto o movi- mento retilíneo e uniforme corresponde ao equilibrio dinâmico. Recorde que: A condição para um ponto material estar em equili- brio em relação a um referencial é que a resultante das forças que nele atuam seja nula, A figura a seguir representa uma partícula em equilíbrio, fal F Uma pessoa está suspensa no cabo-de-aço. As forças que nela atuam são o seu peso e as trações do cabo-de-aço, Se a pessoa estiver em equilíbrio, a resultante dessas forças será nula. Em (a), a partícula está sob a ação exclusiva de três forças no plano do papel Em (b), as três forças são somadas pela regra do poligono, obtendo-se uma linha poligonal fechada, razão pela qual a força resultante é nula e a partícula encontra-se em equilibrio. : Em (e), analisamos a força resultante por meio da ae decomposição das forças segundo duas retas perpen- Note que a soma das trações T, e T,, obtida aqui pela E, equilibra É, e É, equilibra E, regra do paralelogramo, equilibra o peso P diculares x e y Os belos arcos nas construções da Roma Antiga: sem cimento! Na Roma Antiga, os arcos eram construídos com blocos de pedra simplesmente justapostos, sem nenhum material que ligasse um bloco ao outro. Isso era possível porque cada bloco é equilibrado pelas forças que recebe dos blocos adjacentes. Ao se considerar a não-solicitação de atrito, as forças que cada bloco recebe são normais de compressão: Tópico 1 - Estática dos sólidos 371 EXERCÍCIOS E 1588 uma partícula encontra-se em equilibrio, submetida a apenas duas forças. O que se pode concluir a respeito delas? FERA um ponto material está em equilibrio, submetido a ape nas três forças. Qual é a condição que as intensidades dessas forças devem satisfazer? | | Resolução: 1º possibilidade: A forças têm direções diferentes. Nesse caso, posi- cionando-as segunda a regra do polígono, obtemos um triângulo: Para o triângulo existir, é necessário que a medida de cada um dos seus lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois Então, a intensidade de cada uma das três forças tem de ser me- | nor que a soma das intensidades das outras duas. Por exemplo [R=3NE,=ANeF,=6N. | 2º possibilidade: As forças têm direções iguais. Agora, temos uma situação do seguinte tipo: | E Ê Isso significa que a intensidade de uma das três forças tem de ser | igual à soma das intensidades das outras duas. BEBE Uma partícula submetida a apenas três forças, de intensidades 3N,4Ne20N, pode estar em equilíbrio? BEI Em cada uma das extremidades de um fio considerado ideal, que passa por duas pequenas polis também supostas ideais, está sus- penso um corpo de massa igual a m. Um terceiro corpo de massa 'm é suspenso do ponto médio M do fio e baixado até a posição de equilibrio. Determine, em função de € (ver figura), quanto desceu o terceiro corpo. 2 EE NIVEL 1 no FEMEA Na figura, um corpo de peso 120 N encontra-se em equik- brio, suspenso por um conjunto de rês fios ideais A, B e C. Calcule as intensidades das rações T, Tg e To fespectivamente nos fis A, Be C sen8=060 cosê=080 Resolução: A tração no fio A tem a mesma intensidade do peso do corpo: Ta=120N Representemos as forças de tração que osfos exercem no nó e façamos a decomposição dessas forças segundo a vertical e a horizontal Do equilibrio, vem: 4 = TessenB=T, = Tc-0460=120 | Te=200N Nota: + Também podemos determinar T, e T. lembrando que o polígono as forças de tração exercidas pelos fios no nó é fechado. Assim, temos: MR o o E Tópico 1 - Estática dos sólidos 373 Lerruna a ] Gigante, porém frágil Considere dois pilares, 5, e S, feitos de um mesmo material, como representa afiguraao lado, em que a, b ec, são as medidas dasarestas de S, eayb; ec, as medidas das arestas de S, Pilars, rs, Área da base: A, Área da base: A, Volume: V, Volume: V, q Massa:m, Massam, Peso:P, Peso:P, Supondo que todas as dimensões lineares (comprimentos) de S, sejam iguais ascorrespondentes dimensões lineares de 5, multiplicadas por um mesmo núme- ron temos:a,=na,b,=nb ec =nc,. Consequentemente, qualquer área (de uma face ou de outra seção) conside- fada ems, é igual à área correspondente em 5, multiplicada por nê. Para as áreas das bases, por exemplo, temos: A=ab, A=a,b,= A=mA, Além disso, o volume de'S, é igual ao volume de 5, multiplicado por n3. De fato: W=a,b,6 : W=abo=na-nbng=n-a dy, Want, Como a massa é proporcional ao volume, para corpos maciços de um mesmo material e sujeitos às mesmas con- lições físicas, temos: m=nim, 2 , Supondo ainda os pilares num mesmo ambiente (mesmo campo gravitacional), podemos dizer que as intensida- des de seus pesos são proporcionais às suas massas: ?, | Asconciusões a que chegamos até aqui continuam válidas para corpos de outros formatos, desde que as condições estabelecidas continuem satisfeitas. Não é difícil concluir, então, que a resistência à ruptura (carga máxima suportável) de um pilar, dos ossos de uma perna ou de uma corda é proporcional à área de sua seção transversal, De fato, se um pilar suporta uma carga máxima determinada, dois pilares iguais ao primeiro suportam o dobro dessa mesma carga. Note que a área da seção transver- sal dos dois pilares também é o dobro da área da seção transversal de um só pilar. Para finalizar, considere um homem de altura normal Ne um homem gigante G, no qual todas as dimensões linea res estão multiplicadas por 10 (n= 10) em relação ao homem normal. Se, por exemplo, a altura de N é iguala 1,8m, à altura de G é iguala 18m 374 PARTE II = ESTÁTICA Observe que, sendo P o peso de N, o peso de G é 1000 P, pois, se as dimensões lineares foram multiplicadas por 10 (n= 10), o volu- me, a massa e o peso foram multiplicados por 1000 (nº = 1000). A área das seções transversais dos ossos de sustentação de G, entretanto, não foram multiplicadas por 1000, mas apenas por 100 (n2= 100),o que fragiliza o gigante, conforme figura ao lado. Para concluir, procure imaginar que a situação desse gigante, se conseguisse ficar em pé, seria a seguinte: ele teria a sensação de Um homem de altura normal que suportasse sobre si uma pilha de Carga = 1000 P Carga =P Área=A Área = 100 A Fa Osso de G Osso de N nove homens de alturas normais iguais a ele) EXERCICIOS Dois homens seguram as extremidades de uma corda Jeve, flexivel e inextensivel No ponto médio da corda, um corpo Ade peso igual a 800 Nestá suspenso em equilíbrio Analise as afirmações: O]. Seo ângulo O for igual 3 30º, a tração nos ramos da corda valerá BON, 2. Seo ângulo 8 for duplicado, a intensidade da tração nos ramos a corda se reduzirá à metade 04, Se os homens forem suficientemente fortes, conseguirão dispor acorda em equilíbrio exatamente na horizontal O8. Atração nos ramos da corda terá intensidade mínima quando eles estiverem na vertical Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações corretas, Resolução: Representemos as forças que atuam no nó e façamos sua decompo- sição na horizontal e na vertical: “* RM, Temos, então: => T,cos8=T,-cos0 = T,=T,=T 800 = T-sen8+T-sen8=800 = 27-seng=800 E) 01. Correta. Como sen 30º = 1, temos T 40 (59, ou sej T=800N. -- 7 Incorreta. Quando À é duplicado, sen 8 aumenta mas não dupl; | ca (8 e sen 8 não são proporcionais) Assim, Tse reduz, mas não âmetade 04. Incorreta, Quando se tenta levara corda à horizontal O tende a zero, sen O tende a zero e T tende inínito. Note ainda que não haveria as componentes T, para equilibrar atração de 800 Nse acórda estivesse na horizontal 08. Correta. O valor mínimo de T acontece quando sen & é máximo, ou seja sen B=1, o que implica 8 = 90 [ramos da corda dispos tos verticalmente) L Resposta: 09 FER considere um fio suposto ideal esticado horizontalmente entre cluas estacas, Um pássaro de peso iguala 30 N pousa no ponto médio do fio, aí permanecendo em equilibrio. Calcule atração em cada uma das metades do fi, sabendo que elas formam um ângulo de 178, Ado- tesen1º=0,017. BEER Uma pedia de 664 Ne peso encontra-se em repouso, suspen sa por rés cordas leves A, B e C, como representa a figura. Caleule as intensidades das rações nessas cordas (7, e 50; cos 30º = 0,87: sen 53º=0,80;cos 53º= 0,60, Use: sen 30º= Tr 376 PARTE - ESTÁTICA BEER qa figura a seguir, (1) e (2) são duas rampas planas perfeita mente lisas que se interceptam em uma reta horizontal, que passa por Aeé perpendicular aa plano do papel. Nas tampas, apóiase um pris- ma reto, hexagonal, regular e homogêneo, cujo peso P tem intensidade de 100N, [e (U) Ps A A Plano horizontal À, determine as intensidades das Sabendo que sen = forças aplicadas pelo prisma sobre as rampas. FER qa situação de equilíbrio esquematizada a seguir, os fios são ideais: sen6=0,6 Sendo 0,4 o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano horizontal em que ele se apóia, determine a maior massa que o blo- co B pode ter de modo que o equilíbrio se mantenha, supondo essa montagem feita a) nasuperfície da Terra; b) nasuperficie da Lua. FER as montagens esquematizadas a seguir, considere ideais os fios, as polias e a barra rígida. Em tados os casos, a caixa suspensa tem. peso de módulo P. a) Determine as intensidades das forças É, É, É. e E, que equilibra ossistemas À, B, Ce D, respectivamente b) Para que à cab, 30 ser erguida em equilibrio, sofra um desloca- mento de módulo d, quais deverão ser os módulos d,, dy d e dos deslocamentos do ponto Q nos sistemas A, B, € e D, respect mente? EEE (urrNjO lendário Macunaíma, personagem criado por Mário de Andrade, costuma desfrutar do aconchego de sua “redinha”. Ávido por um descanso, Macunaíma, nosso anti-herói está sempre improvisando um gancho para armar sua rede. Ele soube que sua segurança ao deita- se na rede está relacionada com o ângulo 6, de inclinação dos punhos da fede com a parede e que essa inclinação pode ser mudada alerando-se otamanho dos punhos, por exemplo, com audio de cordas. A figura abaixo ilustra um desses momentos de descanso da perso- nagem. Nessa figura, a força T, exercida pela corda da rede sobre o gancho do armador, preso na parede, aparece decomposta em com- ponentes, T, (paralela à parede) e T. (perpendicular à parede), Representação esquemática de Macunalma dormindo em sua rede Considere-se que: | o peso, P, de Macunaíma está bem distribuído e o centro de gravi- dade do conjunto está no meio da rede; Il. asmassas da rede e da corda são desprezíveis; IL armador pode ser arrancado somente em decorrência de um maior valor da componente T , da força dao Podemos afirmar que, para uma maior segurança, Macunaíma deve escolher uma inclinação O relativamente: q q à) pequena, poisT, = eng; c) grande poisT. =Ecost; A [A bj pequena, poisT = 198; d) grande, poisT, =Ecotg6 Piso BEER afigura a seguir representa uma corrente de peso igual a 40 (A) (E) N, cujas extremidades estão em um mesmo nível horizontal, presas o em dois suportes p 4 [o Q q f Ê E fic. 0] Barra Considerando iguais a 45º os ângulos O indicados na figura, determine io a intensidade da força: Fo à) que a corrente exerce em cada suporte; (o) (D) b) detração no ponto mais baixo da corrente. Tópico 1 - Estática dos sólidos 377 3. Equilíbrio do corpo extenso Tratar um corpo como um ponto material equi- vale a admitir que, na situação em que está sendo estudado, só interessa considerar a possibilidade de ele adquirir algum movimento de translação, já que não se pode caracterizar o movimento de rotação de um corpo puntiforme. Por isso, dizemos que 0 equilíbrio de um ponto material é de translação O corpo extenso, por sua vez, pode apresentar tan- to o movimento de translação como o de rotação. Por esse motivo, o estudo do equilibrio do corpo extenso requer duas análises: uma referente à translação e ou- tra referente à rotação. Equilíbrio de translação Um corpo extenso está em equilíbrio de transla- ção quando seu centro de massa está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação a um determinado referencial. A condição para que o equilíbrio de translação de um corpo extenso ocorra é que a resultante das forças externas que nele atuam seja nula, pois, desse modo, também será nula a aceleração de seu centro de massa: Fucmigem:0=0 Equilíbrio de rotação Um corpo extenso está em equilíbrio de rotação quando está em repouso (não rota) ou em movimen. to de rotação uniforme (rota com velocidade angular constante) em relação a um referencial determinado. A condição para que o equilibrio de rotação de um corpo extenso ocorra será vista no item 5 — Condições de equilíbrio do corpo extenso (p. 380) Na Estática, extensos em equilibrio estático, isto é, corpos em ão considerados apenas corpos repouso tanto em relação à translação como em relação à rotação (corpos que não transladam nem rotam) “ E 4a 4. Momento escalar de uma força em relação a um eixo Procuraremos aqui uma grandeza capaz de medir a eficiência de uma força em produzir rotação em um corpo. Para isso, vamos considerar algumas situações práticas, Situação 1: Uma pessoa deseja fechar uma porta, como suge- rea figura Para tanto, ela precisa aplicar uma força que, va- supor, seja perpendicular à porta. fácil constatar que a eficiência da força em fazer a porta rotar é tanto maior quanto maiores forem sua intensidade e a distância entre o local onde ela é apli- cada e o eixo de rotação (eixo das dobradiças). Situação 2: O motorista do caminhão representado na figura está tentando desapertar um parafuso de uma das ro- das com uma chave. Tópico 1 - Estática dos sólidos 379 Cuidado com o braço. Para apertar um parafuso, uma pessoa pode aplicar na extremidade de uma chave, de comprimento €, uma força de intensidade F em diversas direções. IMj= Pb = FC [Mj=Fb=Ft-seng Figura 1 Figura 2 Figura 3 O momento (torque) mais intenso é conseguido quando a força é perpendicular à chave (veja na figura 1). Nesse caso, o braço da força em relação ao eixo O de rotação do parafuso é igual ao comprimento da cha- ve, e o módulo do torque (F b) é igual à F é. Com isso, podemos dizer que a força F está sendo integralmente aproveitada para produzir momento em relação a O. Entretanto, se a força não for perpendicular à barra, a intensidade do momento será menor, como se pode observar na figura 2: sen O sen 6 je 4 E q O módulo do momento (F b) é igual à F ( - sen 8, que é menor que E €. Podemos dizer, então, que a força F não está sendo integralmente aproveitada pará produzir 0 torque desejado. De fato, se ela for substituída pelas componentes representadas na figura 3, só a componente F, produzirá momento em relação a O. Observe que o ponto O pertence à linha de ação da componente F,. Por isso, o braço de F, em relação a O é igual a zero, ocorrendo o mesmo com o seu momento Note também que o braço de F, em relação à O é igual a €. Assim, o módulo do momento de E, é dado por: seng= > F:seng 7 [Mg|=E,b=F, (=(E+sen6) (=F (sen O, que, por sua vez, é igual ao módulo do momento de É Assim, nesse caso: 380 PARTE N- ESTÁTICA 5. Condições de equilíbrio do corpo extenso Para um corpo extenso estar em equilíbrio, é necessário satisfazer duas condições: uma referente ao equilíbrio de translação e outra ao equilíbrio de rotação. Condição de equilíbrio de translação Já determinamos essa condição no início deste Tópico, mas vamos recordá-la: A condição de equilibrio de translação de um cor- po extenso (centro de massa em repouso ou em mo- vimento retilíneo e uniforme) é que a resultante das forças externas atuantes no corpo seja nula: Fa =0 Condição de equilíbrio de rotação A condição de equilíbrio de rotação de um corpo extenso sob a ação de um sistema de forças coplana- res é que a soma algébrica dos momentos escalares de todas as forças em relação a qualquer eixo perpen- dicular ao plano das forças seja nula: EM=0 Nota: * A condição de equilíbrio de rotação pode ser expres- sa de outra maneira. Considerando todos os momentos em módulo, podemos escrever que a soma de todos os momentos horários (E M,) é igual à soma de todos os mo- mentos anti-horários (E Mg) EM,= EM Contrapeso Sistema egípcio usado para retirar água do Rio Nil. Quando o camponês pura a corda, a força exercida na vara produz um momento horário Mem relação ao apoio: o vaso é baixado e se enche de água. Em seguida, o vaso é erguido com o auxlo do contrapeso, que produz um momento anti-horário em relação ao apoio. Se o sistema estiver em equilibrio, a soma algébrica de M, com Ma ignorando o peso da vara será nula Atualmente, a grua é muito usada na construção civil para erguer cargas até os diversos andares de um prédio em construção, Nesse equipamento, um = contrapeso fixo (bloco de concreto) PAO] tema função de produzir um momento que contrabalance o momento correspondente à carga que está sendo erguida, garantindo a estabilidade do sistema. 2ATTACCTTCRARAT TT ATT 382 PARTE IN - ESTÁTICA sa do centro de gravidade do sis- Assim, a abs tema é dada por: Suponha, agora, que o sistema de partícul gura anterior gire 90º, como mostra a figura a seguir: Em relação a O, temos novamente que: Mg= Mg, +Mg,+..+Mg, RySPIr EPA Si ta PY Dessa forma, a ordenada do centro de gravidade do sistema é dada por: Pty tu +Pçy, Yea Pp Rest Ro De modo análogo, definiriamos uma terceira co- ordenada zcq do centro de gravidade, caso os pontos materiais estivessem distribuídos no espaço (distri- buição tridimensional). Em todas as situações de nosso interesse, as distân- cias entre os pontos materiais são pequenas o suficiente para que o campo gravitacional ao qual estão submeti- dos possa ser considerado uniforme. Então, temos: mgx tm, g%+.. tm gx, Xog= FE a mgtm,g+..+m E MAM EM, x E mM +M,+a+m, aa ts iam m gtmg+.. +mg LEE fa jin Sa Yes mt+m,+.+m, Disso, concluímos que: Em campo gravitacional uniforme, o centro de gra- vidade coincide com o centro de massa. Centro de gravidade de alguns corpos homogêneos (em campo gravitacional uniforme) O centro de gravidade de uma barra cilindrica ou prismática, de um disco ou de uma placa retangular de espessura uniforme, de uma esfera, de um cilindro ou de um cubo encontra-se no centro geométrico desses corpos, desde que sejam homogêneos. c Barra Placa Disco : (3) cs Estera E c . Cilindro Cubo Nota: + O centro de gravidade de uma placa triangular homogê- nea de espessura uniforme está no ponto de encontro de suas medianas (baricentro). O baricentro divide as me- dianas na razão 2: | Tópico 1 - Estática dos sólidos 383 | EXCACÍCIOS | G FEB considere as forças FF, e F,eos pontos A, 8, €, De O, todos no plano desta página. emqueas forças estão aplicadas Julgue corretas ou incorretas as afirmações a seguir Em cada uma de- las imagine a existência de um eixo de rotação perpendicular ao plano dl figura passando pelo ponto citado, 01. Os braços de F, F, e É , em relação a O, medem DA, OB e OC respectivamente, 02. Os braços de É, É, e É , em relação a O, medem DA -sen8,zer0e DC respectivamente. 04. Os braços de É, F, e F,, em relação a A, medem zero, AO e AC respectivamente, A , o, 08, Em relação a O, o momento de F, é horário, o de é nulo eo de, é anti-horário ih E 16. Em relação a C,o momento de , é horário, o de É, é anti-horário e ode énulo, 32, Emrelação Dj os momentos de, e de É, são horários e o de, é anti-horário. Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações corretas, EEZHERM A força É de módulo 201, os pontos A, Be Cestêoto- dos no plano do papel. Os pontos representam as interseções entre o plano do papel e três eixos perpendiculares a el, Convencionando positivos os momentos hotáris, calcule o momen- toescalarde É em relaçãoa À Be C. Resolução: Em relação a À, aforça. É dátendência de rotação no sentido horário. Sendo F=20N e b=3m, temos: | M=4Fb=20:3 =, | Em relação à B, a força F dá tendência de rotação, no sentido anti- horário. Sendo F = 20 N e b= 2 m, temos: M=-Fb= 20:25) Em relação aC, a força F não dá tendência de rotação, pois b =Fb=20:0 > | 4». €ED FER considerando positivos os momentos horários, calcule os mo- mentos das forças paralelas É, F, e F, em relação ao ponto O. Dados:F,=200N;F, =250N;F, = 50N, BEER (ruvest:S) Três homens tentam fazer gia, em tomo do pino fixo O, uma placa retangular de lrgura a e comprimento 2a, que está inicialmente em repouso sobre um plano horizontal, de atrito despre vel coincidente com o plano do papel. Eles aplicam as forças É, = eF.=2F, nos pontos À, Be €, como representadas na figura A [A A B o Fe Designando, respectivamente, por MM, & M, às intensidades dos momentos dessas forças em relação ao ponto O, é correto afirmar que a) M=M, > M ea placa gia no sentido horário; b) My 
