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Modelação Matemática de Sistemas Físicos
1. Para o sistema representado na figura, assumindo deslocamento apenas na vertical e um comportamento linear dos elementos do modelo, obtenha:
a) A função de transferência G s X s F s
= e o circuito eléctrico equivalente.
b) A representação em modelo de estado(Eq. de Estado + Eq. de saída).Escolha como variáveis de estado x , x ^.
K 1
K 2
M
B
X - deslocamento F - força aplicada
F (^) x
2. (^) Para o sistema massa-mola-atrito representado na figura, obtenha: a) As seguintes funções de transferência:
i)
X S
F S
1 (^ )
ii)
X S
F S
2 (^ )
iii)
X S
X S
2 1
b) A sua representação através de variáveis de estado. Considere como saída x 2 e como entrada F ( t ). Escolha como variáveis de estados x 2 , x ^2.
K 1 M
B
Xi - deslocamentos F - força aplicada
F
x 2 x^1
3. Para o sistema representado na figura seguinte obtenha:
a) A função de transferência G s
X s ( ) (^) F s
(^2).
b) O respectivo diagrama de blocos.
c) A sua representação através de variáveis de estado. Considere como saída x 2 , x 1 e como entrada F ( t ). Escolha como variáveis de estados x 2 , x ^2 , x 1 , x ^1.
K 1
M 1
B
Xi - deslocamentos F - força aplicada F
x 1 x 2
M 2
K 2
4. Para os sistemas mecânicos representados nas figuras A e B obtenha: a) (^) Os modelos matemáticos associados. b) A modelação do sistema, representado na figura B, por variáveis de estado. Escolha como variáveis de estado x , x ^ e como saída x. Despreze o atrito e considere condições iniciais nulas.
M F
x K
Figura (A)
M F
x K 1
K 2
y
Figura (B)
5. (^) Para o sistema mecânico representado na figura, modelo simplificado da suspensão de uma roda
de um automóvel, obtenha a função de transferência G s X s X s
o i
K 1
M
B
xo
x 1
9. Considere os seguintes circuitos eléctricos:
i) ii)
R 1 R 2 C Vi Vo
R 1
C (^1) C 2
R 2 Vi Vo
a) Obtenha as respectivas funções de transferência, G S
V S
( ) (^) Vi S
(^0).
b) Obtenha a representação em modelo de estado do sistema correspondente à figura i). Considere Vc como variavel de estado. c) (^) Com base na função de transferência do sistema representado na figura ii), determine o modelo de estado.
10. Para o circuito eléctrico representado na figura:
a) Determine a função de transferência G s^ I s V s
b) Partindo da função de transferência, determine o modelo de estado.
V
I
11. (^) Considerando o circuito representado:
a) Determine a função de transferência G s V s I s
o i
b) Obtenha o diagrama de blocos que relaciona Vo ( s ) e Ii ( s ). c) Determine a sua representação através de variáveis de estado. Escolha como variáveis de estado i (^) L e Vc.
I (^) i
Vo
12. Obtenha a função de transferência, G s V^ s V s
o i
= , para os seguintes circuitos:
a) b)
Ri
Ro
R o
R i
c) d)
R
C C
R
e) f)
C R
R
R
C
R
g)
R R R
R
h) Qual a designação de cada um dos circuitos representados nas alíneas anteriores?
13. Partindo da função de transferência, do circuito representado na alínea e) do problema anterior, determine o respectivo modelo de estado. Que variável escolhe para variável de estado?
17. Para o circuito representado obtenha a função de transferência G s V^ s V s
o i
=. Simplifique a expressão obtida para a situação em que R (^) 1 = R (^) 2 = R e C (^) 1 = C (^) 2 = C. Assuma que o AMPOP é ideal.
Vi (^) Vo
Soluções:
1. a) G s Ms Bs K K
(^21 ) b)
[ ]
x x
k k M
B
M
x x (^) M F t
y t
x x
1 2
1 2 1 2 1 2
.
. ( )
= −^ −^ −
2. a) i)
X S
F S
MS BS k k MS BS
1 2 2
= +^ +
ii)
X S
F S MS BS
2 2
iii)
X S
X S
k MS BS k
2 1 2
b)
[ ]
z z
B
M
z z (^) M F t
y t
z z
1 2
1 2 1 2
.
. ( )
3. a)
X S
F S
BS
M S BS k M S BS k S B
2 1 2 1 2 2 2 2 2
( ) =^ ( + + )( + + )−
c) z z z z
k M B M B M
B M k M B M
z z z z (^) M
F t
y t
z z z z
1 2 3 4
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 3 (^4 )
1 2 3 4
. . . .
4 a)
G s X s F s (^) Ms K
G s X s F s (^) Ms K K K K
A
B
2
2 1 2 1 2 b)
[ ]
x x
k k M k k
x x (^) M F t
y t
x x
1 2
1 2 2 1
1 2 1 2
. . ( )
5. G s K^ Bs Ms Bs K
6. a) G s
K Bs ( ) = (^) Bs K K
1 1 2
b) (^ )(^ )
1 2 2 (^122212 )^12
1 1 2 2 BB s Bk Bk kB s k k
Bs k Bs k
6. a) θ( ) ( ) ( )
S
T S^ =^ S JS + B
c)
[ ]
x x
R
L L
C
x x C U t
y t R
x x
1 2
1 2
1 2
.
. (^) / ( )
12. a) Vo S Vi S
Ro Ri
− (^) b) Vo S Vi S
Ro Ri Ri
( ) =^
( ) = −^
d) Vo S Vi S RCS
( ) = −^ e)^
Vo S Vi S
R CS
R CS
( ) = −^ +
2 (^1 ) f) Vo S Vi S
R
R CS R
( ) = −^ ( + )
0 (^10 ) g) V s
R
R V^
R
R V^
R
0 R V
4 1 1
4 2 2
4 3 3
h) a - Inversor b - Não- inversor c - Integrador d - Diferenciador e - Diferenciador “Real” f - Integrador “Real” g - Somador
13. x R C x U t R C y t x
R
R
U t
R
11111 R
2 1
2 1
14. G s RCs
15. G s s as
16. a) G s
s R C s R C
2
2
b) C (^) = 1 μ F
17.
G s RC s RC s RC R R R
B A b
α (^2 23 1 1 ) α α
