Lista 5
SMA0330 – Complementos de Geometria e Vetores
Assunto: Transforma¸c˜oes lineares
1. Verifique quais das seguintes aplica¸c˜oes s˜ao transforma¸c˜oes lineares:
(a) T:R2→R2,T(x, y) = (x+y, x),
(b) T:R3→R,T(x, y, z) = 2x−3y+ 4z,
(c) T:R2→R3,T(x, y) = (x+ 1,2y, x +y),
(d) T:M(n×n)→Rn,T¡(aij)¢= (a11 , a22, . . . , ann),
(e) T:C∞(R)→C∞(R), T(f) = 3f00 −2f0+ 1,
(f) T:M(2 ×2) →R,Tµ· a b
c d ¸¶=ad −bc.
2. A express˜ao geral de um funcional linear f:R3→R´e f(x, y, z ) =
ax +by +cz. Dados os vetores u= (1,2,3), v= (−1,2,3) e w= (1,−2,3),
determine a,becde modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0.
3. Seja f:R2→Rum funcional linear. Sabendo que f(1,1) = 3 e
f(2,3) = 1, calcule f(e1) e f(e2).
4. Encontre a matriz de cada transforma¸c˜ao linear T:R3→R3em rela¸c˜ao
`a base canˆonica de R3:
(a) T(x, y, z) = (2x−3y+ 4z , 5x−y+ 2z, 4x+ 7y),
(b) T(x, y, z) = (2y+z , x −4y, 3x).
5. Seja T:R3→R3a transforma¸c˜ao linear definida por
T(x, y, z) = (2y+z , x −4y, 3x).
Encontre a matriz de Tna base
{f1= (1,1,1), f2= (1,1,0), f3= (1,0,0)}.
6. Seja A=·1 2
3 4 ¸e seja T:R2→R2a transforma¸c˜ao linear definida
por T(v) = A·v(onde v´e escrito como vetor coluna). Encontre a matriz
de Tem cada uma das seguintes bases:
(a) base canˆonica de R2,
(b) {f1= (1,3), f2= (2,5)}.
7. Seja D:C∞(R)→C∞(R) a transforma¸c˜ao linear diferencial, i.e.,
D(f) = df
dt ,
1
