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IS i H e 2 IFERENCIAL E NTEGRAL Volum m merson Arnaut de Toledo t od k DEC ILSS LL III SL DLLLILLLGL DESLEAL LISLCLICCLLLCCLLCLLLSLOLCLCIGLCIPLLSLIISLIS CAIA AASP DOLLS CICS SLDLCDL SO APOIA CASS ICO GCL CCO CCC SCICILLOLCCCISACOSCHHHHDIHOA DLLLLSISISSILALSLL SL SSIS SCILIIICI II AISO ILS ICSI CASOS O III SIC ASILO PILLS ILIS ISAIAS III LISAS ACI III IICA ICI III SAAP COCO AAA AACAH HAHA CAPÍTULO 1 - SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO SÉRIES l, Li- 1,2- 13- 1,4- 1.,5- 2.1. 2.2- SUMÁRIO INTRODUÇÃO AO USO SÉRIES..... MorivaçÃo PARA SOLUÇÕE: EM SÉRI O Uso DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO... ta REU 2 ALGUMAS QUEST DE RIGOR O MÉTODO DA SÉRIE DE TAYLOR.............. O MéroDo DE ITERAÇÃO DE PICARD.......... IN ENE Desiav aos in O MÉTODO DE FROBENIUS MOTIVAÇÃO PARA O MÉTODO DE FROBENIUS.......... ExEMPLOS USANDO O MÉTODO DE FROBENIUS. SOLUÇÕES EM SÉRIE DE ALGUMAS E maias a DIFERENCIAIS IMPORTANTES.. A EQUAÇÃO DE DIFERENCIAL DE BESSEL... À EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE LEGENDRE....... OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS....... CAPÍTULO 2— SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 15.1- 1,5:2- 1.53- 1.5.4- USANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE... MorTivAÇÃO PARA TRANSFORMADAS DE LAPLACE. ensaia rca DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DA TRANSFORMADA DE. LAPLACE.......... PROPRIEDADES DAS TRANSEORMADAS DE LAPLACE A FUNÇÃO GAMA. OBSERVAÇÕES SOBRE A EXISTÊNCIA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACI FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL.......... FUNÇÕ JONTÍNUAS POR PARTES PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES Conti TUAS POR PARTES... TEOREMA DE 56 56 68 72 4 O PROBLEMA DA TAUTÓCRONA - UMA EQUAÇÃO INTEGRAL... 193 APÊNDICE — NOTAS HISTÓRICAS 1 BESSEL, Friedrich Wilhelm. 200 2. CHEBYSHEV, Pafnuti Liwowich........ 200 3. DIRAC, Paul Adiren....... 202 4 FOURNIER, Jean Baptiste Joseph. 202 5. FROBENIUS, Ferdinand Georg... 203 6 GAUSS, Karl Friedrich.............. 203 7 HEAVISIDE, Oliver... 20 8 HERMITE, Charles 21 E LAGUERRE, Edmond.. 212 10. LAPLACE, Pierre Simon... 212 ER LEGENDRE, Adrien Marie... 213 12 PICARD, Charles Émile 213 3. RODRIGUES, Olinde........ 214 14, TAYLOR, Brook... 214 CAPÍTULO 1 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO SÉRIES 1. INTRODUÇÃO AO USO DE SÉRIES 1.1- MOTIVAÇÃO PARA SOLUÇÕES EM SÉRIE 1.2- O Uso DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO 1.3- ALGUMAS QUESTÕES DE RIGOR 1.4- O MÉTODO DA SÉRIE DE TAYLOR 1.5- O MéToDO DE ITERAÇÃO DE PICARD 2. O MÉTODO DE FROBENIUS 2.1- MOTIVAÇÃO PARA O MÉTODO DE FROBENIUS 2.2- ExEmpLOS USANDO O MÉTODO DE FROBENIUS 3. SOLUÇÕES EM SÉRIE DE ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS IMPORTANTES 3.1- A EQUAÇÃO DE DIFERENCIAL DE BESSEL 3.2- A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE LEGENDRE 3.3- OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS a +axtan ta, A taxtaxi tax +... Agora, assumindo que a diferenciação termo a termo da série infinita é válida, temos a +2a,x+3a,x) 4a, "=p +a, Como isso precisa ser uma identidade, precisamos ter coeficientes de potências correspondentes de x iguais (isto é uma consequência do fato que se tivermos 9 onde a série à esquerda é convergente em algum intervalo, então devemos ter c,=0.c,=0c,=0, ce) assim, NO, jra donde obtemos do A ag 2 Hi e a lei de formação dos coeficientes é aparente. Substituindo isso na solução assumida, temos Pa y=ag) txt — + + . 2 31 4! Usando a condição y = 1 quando x = O obtemos a =1,istoé, 2) Como obtemos (2) assumindo poucas hipóteses, é natural que perguntemos se esta é realmente a solução desejada. Alguém mais familiarizado com séries sabe que (2) é a expansão em e para e*, ou seja, realmente obtivemos a solução descjada. Nos casos em que não temos nada para checar poderemos ficar em dúvida. A solução na forma (2) é mais vantajosa que e” e, de fato, para muitos objetivos é melhor. Por exemplo, se quisermos saber o valor de y quando x = (1,6, é claro que a resposta para e” pode ser obtida em tabelas, mas como um problema de fato o valor da tabela foi provavelmente calculado usando (2) sul ndo-se x por (,6 Embora tenhamos sido talvez indevidamente simplistas no tratamento acima as conclusões gerais sã aplicáveis a muitos casos importantes. Devemos ressaltar que não estamos sendo rigoroso porque omitimos as demonstrações das várias etapas. Consideraremos a questão do rigor mais adiante. Enquanto isso aplicaremos o método a outro exemplo. IPLO ILUSTRATIVO Nº Resolva y"+y=( usando séries Solução. Seja +a,xl tas 3) isto é, só=a,+2a,;x+30,x) 4a! +5açã! +. (4) 3" =20,+64,x+ 120,3) 420a,x) +... (5) Substituindo (3) e (5) na equação dada e agrupando temos (ag +2a,)+(a, +64, )x+(a, + Da, pe +(a,+ 204, pe +. como o segundo membro é zero, isso é uma identidade se, e somente se, cada um dos coeficientes do primeiro membro é zero. Assim, açt+2a =0 , aj+6a,=0 . a,4+124,=0 , a,4204, o que nos dá, a,=-D o, q=-L=- 2 5) Ê 1.2- O Uso DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO Ao obter soluções das equa s diferenciais y” ER escrever uma porção de termos e teríamos escrito muito mais se tivéssemos usado mais termos. Um caminho mais curto que não somente reduz o trabalho mas que é poe yº+y=0, tivemos que frequentemente útil ao reconhecer o termo geral da série solução é fornecido pela notação de somatório com o qual todos nós provavelmente estamos familiarizados quando estudamos séries ou então quando estudamos a definição de integral definida como uma soma de Riemann De acordo com a notação de somatório, uma série tal como ua EM, AU, AU +, (8) com um número finito de termos é representada por >", (9) io a qual lemos da seguinte forma: soma de todos os termos da forma u;, com j variando de zero até n. O símbolo D éa letra grega maiúscula chamada sigma, j é chamado de índice do somatório ou simplesmente índice, e podemos ter (9) de forma mais rápida como sigma, ou soma, de 11, com j=0 até mn. Como para integrais definidas O é dito limite inferior, enquanto n é dito limite superior No caso em que temos uma série infinita u pt Us Ads dos (10) a representamos por >, (11) o onde o limite superior 1 é substituido por 5. Os seguintes são exemplos do uso de índice do somatório ExEmpLO 1. Sjy+D= 12423434 +. 4 0(041). ia ExEmPLO 2, 2 As “= taxta tax +. ExEMPLOS3, tomando 0/= 7, Podemos é claro usar outros limites entre O e n ou o. Por exemplo, Du,=n, +, 40, 40, +u, FE isto é, a soma de 1, onde j varia de 2 a 6, Podemos usar outros indices, Assim a soma dada pode ser representada por qualquer uma das formas mi Dre Dim 12 no s-0 A notação de somatório goza das seguintes propriedades cujas demonstrações facilmente verificáveis escrevendo os termos de cada membro L 7 Er =bloa v,) so 2 aSn,=5aw, paratodo « que independa de io jo Agora gostariamos de combinar os termos correspondente nas duas séries do primeiro membro de (16) de tal modo que a série resultante revele o coeficiente de x! Como o coeficiente de x? no primeiro somatório de (16) é j (/— 1)a,, segue-se que se substituirmos / por /+2 o coeficiente de x! será (71 2)(j4Na,.,. Além disso, não precisamos nos preocupar com os limites no somatório pois o índice varia de -0 q +00 camudançade j por j42 não tem nenhum efeito sobre os limites. Segue-se que (16) pode ser escrita como EQ ) Das! + Da! =0 (17) 9u supondo que as séries são convergentes e usando a propriedade 1 de séries que já vimos =0 (18) ElgeX0+ Dos tah Agora (18) é uma identidade para todos os valores de x para os quais a série converge se, e somente se, cada coeficiente é zero, isto é, G+2Xj+Da,s+a,=0 (19) Se fizermos j=-2 em (19) obtemos 0a, +0=0, o que nos mostra que a, é arbitrário. Analogamente se fizermos j=-/ em (19), obtemos 00,40=0 oque nos mostra que a, também é arbitrário. Observe que se fizermos j=-3 em (19) obtemos 0a.,+0=0, mas já sabemos que a, =0 de acordo com a nossa definição, assim este valor de j não nos fornece nenhuma informação. Para j>0 obtemos de (19) a, Go X+d) Ea) Tomando sucessivamente obtemos que pt é (21) (22) As equações (19) e (20) são frequentemente chamadas fórmulas de recorrência pois através delas podemos obter qualquer termo da série que quisermos. exemplo, se queremos obter «a. , usamos (20) fazendo j= Assim, por “76 7654 a a 5 ma E (23) Para maior brevidade ao escrever podemos omitir os limites do somatório em (13) € demais somas, esses limites sendo é claro compreendidos completamente. Para ganharmos mais prática em encontrar soluções usando a técnica do somatório, consideremos outro exemplo MPLO ILUSTRATIVO Nº 2 Resolva y” + 2x =0 sujeita às condições y(0)=0 , y(0)=1 Solução. Seja Da, (24) omitindo os limites do somatório, > e +50. Então por diferenciação -D ja! (25) DJU da, fr 06) Usando (24), (25), e (26) na equação diferencial dada e usando a propriedade 2, obtemos DG Da an ja! Sa! =0 (27) ou, E ii-Das! 4 TD 2ja,x! Sax 10 A série em (34) não parece estar relacionada com qualquer função elementar conhecida. Assim não temos como checar se o nosso trabalho está correto. Podemos, entretanto, mostrar que (34) é a solução correta. E após isso podemos se quisermos estudar suas propriedades, obter seus gráficos, etc. Como estamos vendo, existem muitos casos de equações diferenciais c funções associadas a elas as quais são conhecidas após as descobertas das equações. 1.3- ALGUMAS QUEST DE RIGOR Dos resultados vistos nas páginas anteriores surgem várias questões. 1º QUESTÃO: Como saber que as séries obtidas formalmente são de fato soluções das equações diferenciais correspondentes? É razoável que perguntemos isso pois ao obter tais séries realizamos certas operações questionáveis, tais como, a diferenciação de uma série termo a termo. Uma maneira de justificar o que fizemos é estar atento na justificativa de cada etapa. Infelizmente, isso pode ser impossivel. Por exemplo, como saber se podemos diferenciar as séries aptaxta,x + se não conhecemos os seus coeficientes? Claramente temos um circulo vicioso. Não podemos provar que temos uma solução antes de conhecermos a,a,a e não podemos honestamente dizer que obtivemos os coeficientes antes de justificar as ctapas. 2 QuEsTÃO: Como saber se a série da forma (13) pode gerar uma solução de uma equação diferencial dada? É claro, podemos tentar e ver, mas isso não é científico. Uma maneira de superar as dificuldades apresentadas nas duas questões acima é tentar obter uma espécie de Teorema de Existência e Unicidade que nos dirá quando uma equação diferencial possui uma solução em série de potência, tal como (13), ou mais geralmente (7). À primeira vista parece que o teorema poderá ser usado. Infelizmente, entretanto, o fato de que uma solução existe não necessariamente significa que podemos encontra-la na forma (7). Para simplificar nosso problema nos restringiremos a equações diferenciais lineares de segunda ordem da forma ld ral) e ro)y=0 [e5)) 12 onde p(x) a(s). e r(x) são polinômios. Tais equações diferenciais aparecem em grande quantidade na prática e também podemos generalizar com facilidade a equações mais complicadas [o caso em que (x) , (x). e r(x) são funções analíticas, isto é, funções que admitem expansões em séries de potências em algum intervalo de convergência, envolve tal generalização]. Resolvendo para y” em (35) temos , 36, 7) eo Agora se existe uma solução do tipo (7) certamente queremos que y” exista em xa, e poderá ser catastrófico se o denominador p(x) em (36) for zero para Isso nos leva a introduzir a seguinte E ade, da equação diferencial (35). Qualquer outro valor de x é então dito ário ou ponto não singular. DEFINIÇÃO. Um valor de x parao qual p(x)=0 é chamado um ponto singul ou singula ponto ordi ExEMPLO 1, Dada a equação diferencial x(/=x)" (2x4) +37=0, x=0 € são ambos pontos s x=1 ngulares, enquanto que quaisquer outros valores de x, tais como 2 3 por exemplo, são pontos ordinários EXEMPLO 2. A equação diferencial xy” ty xr =0 tem somente um ponto singular x = 0, Quaisquer outros valores são pontos ordinários. ExEMPLO3. Asequações yHy=0 ec pt+2xy- y=0 não tem pontos singulares, ou em outras palavras, cada valor de x representa um ponto ordinário. 13 onde 20. Então a série converge se /<1 e diverge se É > 1, Entretanto, o teste falha se ( em tais casos. » isto 6, a séric pode ou 9 convergir se É =. c outros teste devem ser usados Antes de mostrar como usamos o Teorema 1, consideremos a seguinte OBSERVAÇÃO 2, Quando estudamos sé s obtivemos a seguinte expansão em série mea = im)? = O que mostra que a série converge para hi <1 ou -I Eixo Real 15 Complexo p+qi é Ip + gil vp" +q” . A convergência da série de potências à direita está então garantida somente para os valores de R em valor absoluto de que estão a uma distância menor que 9 (que é um ponto ordinário para a função à esquerda) a Y=+i (que é um ponto singular da função à esquerda). Neste caso a distância R=] e a siluação está descrita na fig, 1.1, seuraio R é o onde o circulo denota o círculo de convergência e aio de convergência. A série converge em todos os pontos dentro do circulo mas não necessariamente sobre 1 circunferê: - Entretanto, ela de fato diverge em todos os pontos fora do círculo. Essa é à interpretação que damos à parte 2 do Teorema 1. Observe que a figura |.1 simplesmente representa um sistema de coordenadas retangulares. Qualquer número complexo p + qi pode ser representado como o ponto (p.4) no plano p correspondendo à coordenada na horizontal ou eixo real e q correspondendo à coordenada vertical ou maginário. Por exemplo ; = 0) + 1j corresponde ao ponto (0,1). Veremos agora alguns exemplos ilustrando os teoremas vistos. EXEMPLO ILUSTRATIVO Nº 3 (a) Use o Teorema 1 para estudar a convergência da série de potências solução do exemplo ilustrativo nº 2 da página 10, e (b) Verifique usando o teste da razão. (a) Como "+ 2x" y=0 não tem singularidades, a distância de singularidade mais próxima é infinita, is to é, a série converge para |x)
