SÉRIES - TRANSFORMADAS
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Transformada de Laplace, Trabalhos de Métodos Matemáticos
Método de resolução de equações diferenciais
Tipologia: Trabalhos
2019
1 / 312
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SÉRIES - TRANSFORMADAS
NOTAS DE AULA
Esta obra é um compêndio de notas de aula, organizadas durante dez (10) semes-
tres letivos – 2007/2012, para a disciplina Cálculo 4 da grade das engenharias da UTFPR
- Câmpus Curitiba. Nela, aborda-se Séries de Fourier, Transformada de Fourier, Transfor-
mada de Laplace e Transformada Z. Além da definição, análise de convergência, proprie-
dades e inversão, as transformadas contínuas, como Fourier e Laplace, são aplicadas na
solução de equações diferenciais ordinárias e parciais, empregadas na modelagem de fe-
nômenos mecânicos e elétricos. Já a Transformada Z, discreta, é aplicada na solução de
equações a diferenças lineares, presentes em um princípio de controle.
Rudimar Luiz Nós [email protected] paginapessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos 2014
Sumário
1. SÉRIES
Neste capítulo, são apresentados definições e teoremas relacionados a séries nu-
méricas e a séries de funções. As demonstrações dos teoremas citados são encontradas
em livros de cálculo [15] e de cálculo avançado e análise [7,8].
1.1 – Sequências numéricas infinitas
Uma sequência numérica infinita é uma função discreta cujo domínio é N\ 0.
Notação:.
Exemplos
1 o)
2 o) A sequência é convergente ou divergente?
Se existe, então é convergente. Caso contrário, é divergente.
Como 2
n
lim^1
2 n 1
lim n
n n^
, é convergente.
1.2 – Séries numéricas infinitas
Uma série numérica infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma se-
quência numérica infinita.
Notação:
Somas parciais:
Se , então a série numérica infinita é convergente. Se o limite S não existe,
então a série numérica infinita é divergente.
a n , nN\ 0 , anf n
,^25
,^16
,^9
,^4
a^1 3 n 1
a 1 n n
n 1 2 n
^
^
2 n 1
a n n
2 n 3
, n^1 2 n 1
, , n 11
,^5
,^4
,^3
,^2
a 1 n
nlim ^ an a^ n a^ n
a n
^
1 2 3 n n 1
an a a a a
n 1 2 3 n
3 1 2 3
2 1 2
1 1
S a a a a
S a a a
S a a
S a
limn Sn S
Exemplo
Logo, a série numérica infinita é convergente.
1.3 – Convergência de séries numéricas infinitas
Diferenciar: condições necessárias à convergência; condições suficientes à convergência; condições necessárias e suficientes à convergência.
1.3.1 – A série geométrica
Teorema : A série geométrica
2 3 n 1
arn^ -^1 a ar ar ar , com a≠0,
( i ) converge , e tem por soma , se ;
( ii ) diverge , se.
Exemplos
1 o)
2 o)
nn^1
nn 1
n 1
n 1
limS lim n
n 1
n n 1
S 1 1
n 1
n
S a a a a 1 1
n 1
n
nn 1
a^1
n n n
n
n 1 2 3 n
n
^
^
^
1 r
a
r 1 1 r 1
r 1 r-1ou r 1
n 1 n^1234 n^1
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional
A série
n 1
an é dita absolutamente convergente se
1 2 3 n 1
an a a a
convergir. Se
n 1
an convergir mas
n 1
an divergir, então
n 1
an é dita condicional-
mente convergente.
Teorema : Se
n 1
an converge, então
n 1
an também converge.
Exemplo
A série é absolutamente convergente, uma
vez que (prova-se posteriormente
usando a Série de Fourier).
1.4 – Convergência de séries de funções
1.4.1 – Convergência uniforme
Série de números reais
1 2 3 n 1
an a a a
Série de funções
^ ^ ^ ^
u x u 1 x u 2 x u 3 x n 1
n
x 4!
x 3!
x 2!
1 x x n!
x 2 3 4 5
n 0
n (série de potências)
n 6
n 1
2 2 2 2 2 2 2 2
^
n!
n 1
n
A série de Fourier é uma série de funções tri-
gonométricas.
Sejam a série , onde , n 1 , 2 , 3 ,é uma sequência de funções de-
finidas em [a,b], a soma parcial da série e
. A série converge para S x em a ,bse para cada e cada
existe um (^) N 0 tal que para todo (^) n N. O número (^) Ndepende geralmente
de e x. Se (^) N depende somente de , então a série converge uniformemente ou é uni-
formemente convergente em a,b.
Teorema : Se cada termo da série é uma função contínua em [a,b] e a
série é uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada
termo a termo, isto é,.
Teorema : Se cada termo da série é uma função contínua com derivada
contínua em [a,b] e se converge para S(x) enquanto converge unifor-
memente em [a,b], então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é,
1.4.2 – Teste M de Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão.
Se existe uma sequência de constantes tal que para todo x em um
intervalo
(a) ;
n 1
(^0) n n L b sen n x L
a cos n x 2
a
n 1
un x u n x
S n x u 1 x u 2 x u 3 x un x
limn Sn x S x 0 x a ,b
Sn x S x
n 1
un x
(^) ^
n 1
b
a
n
b
a (^) n 1
un x dx u xdx
n 1
un x
n 1
un x
n 1
u'n x
^
n 1
n n 1
n (^) dxu x u x d dx
d
Mn ,n1,2,3,,
u n x Mn
1.5 – Exercícios complementares
- Mostre que a série
n 1
2
2 5 n 4
n diverge.
Resposta: use o teste da divergência.
- Mostre que a série
n 1
2 n 1 2 n 1
1 converge e determine sua soma.
Resposta: 2
- Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes.
a)
n 1
n^2
n Resposta: a série é divergente:
1 x^2 1 dx
x.
b)
n 1
n^3
lnn Resposta: a série é convergente:
dx^1 x
lnx 1
.
c) Resposta: a série é convergente:.
d)
n 2 nln^ n
Resposta: a série é divergente:
2 xlnx
dx.
- Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo
x.
a) ^
n 1
2 n
cosnx Resposta: a série é uniformemente convergente para todo
x.
b)
n 1
n^2 x^2
Resposta: a série é uniformemente convergente para todo
x.
n 1
ne n e
xe dx^2 1
x (^)
c)
n 1
n
2
sen nx
Resposta: a série é uniformemente convergente para todo
x.
- Seja. Prove que.
Resposta: use , o Teste M de Weierstrass (prove que converge
usando o teste da integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser
integrada termo a termo.
Observação: mostra-se futuramente que 2 n 1 96
n 1
4
^
. Assim,
dx
n
sen nx^4
(^0) n 1
3
^
06. Prove que ^ ^ ^ ^ ^ ^ dx 0
cos 6 x
- 5
cos 4 x
- 3
cos 2 x 0
^
.
(^) ^
n 1 n^3
fx sennx
n 1
4 0 2 n^1
f xdx 2 1
(^3) n 3
n
sen nx
n 1 n^3