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Aula 6
Transformada e transformada Inversa de Laplace
Você já deve ter percebido que as equações diferenciais são úteis na representação
de problemas ou fenômenos que envolvem taxas de variação onde a variável
independente é o tempo. Em geral esses problemas e fenômenos são denominados
sistemas dinâmicos. Nas situações de Engenharia é essencial a análise desses
sistemas e a determinação de seu comportamento em resposta a certas excitações
iniciais (condições iniciais). Dessa forma é possível visualizar e descrever o
comportamento dinâmico de sistemas em termos de sinais e suas interrelações com
as operações executadas no sistema.
A análise de sistemas, em Engenharia, é realizada com base nas formulações
matemáticas (no nosso caso, equações diferenciais) por meio da aplicação de
algumas leis fundamentais da Física aliados a análise dimensional e a
experimentação:
- leis de Newton, para rotação, translação e movimento de corpos e para
resfriamento e aquecimento de corpos;
- o princípio de D'Alembert ou as equações de Lagrange;
- as leis de Ohm, de Kirchhoff e de Maxwell para modelar sistemas elétricos e
magnéticos;
- leis básicas da transmissão de calor e de termodinâmica como o Princípio da
Conservação da Energia e da condução do calor, para sistemas térmicos;
- as equações da Conservação da quantidade de movimento e de continuidade
para modelar sistemas fluídos;
Em alguns casos, o modelo matemático, constituído de equações diferenciais, de
um sistema dinâmico, pode ser transformado num modelo de equações algébricas,
por meio de transformadas funcionais Essas transformadas funcionais são definidas
por funções convenientemente definidas.
Quando o modelo matemático de um fenômeno é constituído de equações
diferenciais onde o tempo é uma variável independente, existe uma transformada
funcional que transforma o modelo em equações diferenciais num modelo em
equações algébricas.
Essa transformada funcional é chamada de Transformada de Laplace, em
homenagem ao Matemático e físico francês P. S. de Laplace que a definiu e a
estudou em 1782.
Transformada de Laplace
A Transformação de Laplace é uma transformação linear que auxilia na resolução
de equações diferenciais que representam situações problemas ou fenômenos que
surgem no ambiente profissional.
O método de resolver equações por meio da transformada de Laplace consiste em
três etapas principais:
- inicialmente a equação diferencial é transformada numa equação algébrica,
mediante o cálculo da transformada de Laplace de cada um dos membros da
equação diferencial,
- em seguida a equação algébrica é resolvida por meio de manipulações
algébricas, obtendo-se uma solução da equação algébrica,
- a solução da equação algébrica é transformada na solução procurada da
equação diferencial utilizando-se a transformação inversa de Laplace.
Dessa forma precisamos estudar transformada de Laplace e transformada inversa
de Laplace. É o que faremos a seguir.
Definição de Transformada de Laplace
Chama-se transformação de Laplace (processo que transforma) o operador
linear L que a cada função f , associa outra função definida por uma integral
imprópria. real definida em (0, ∞). Essa outra função é definida por: F(s)=
∞
0
e f(t)dt
Assim a transformada de Laplace transforma uma função f de variável independente
t, numa outra função, que denotaremos F, de variável independente s, para os
quais a integral imprópria converge.
Para que a transformação de Laplace exista a função f precisa satisfazer
determinadas condições: contínua por partes e de ordem exponencial.
Lembre que:
- uma função é continua por partes em a<t<b se for contínua no intervalo exceto
num número finito de descontinuidades de primeira espécie (saltos).
- Uma função é de ordem exponencial se existem números c,M >0 e T>0 tais que
[f(t)]
ct
≤ Me
para todo t>T.
As funções com as quais lidaremos admitem transformada de Laplace. Os
teoremas que envolvem a existência da transformada de Laplace de funções serão
omitidos, sem prejuízo para nossos objetivos. Para maiores detalhes podem ser
consultados os livros indicados na bibliografia
A transformada de Laplace de f será denotada por L(f), L(f)=F(s) ou L(f(t)) = F(s)
quando se quer chamar atenção para a variável independente.
Cálculo da transformada de Laplace
O cálculo da transformada de Laplace de uma função é feito mediante a utilização
da definição.
Exemplos :
Propriedades da Transformada de Laplace
A transformação de Laplace possui várias propriedades a partir das quais é possível
calcular a transformada de algumas funções de maneira mais fácil.
Linearidade: a transformação de Laplace é uma transformação linear, isto é, se f e g
admitem L(f) e L(g), então L(af+bg) = aL(f) + bL(g), para a,b ∈ R.
Transformada de derivadas: Se L(f(t)) = F(s), nas condições já apresentadas, então
temos:
L(f
(n)
(t)) = s
n
L(f(t)) - s
n -
f(0) - s
n -
f '(0) - s
n -
f ''(0) - ... - sf
(n -2)
(0) - f
(n -1)
desde que f e suas derivadas sejam contínuas para 0 ≤ t ≤ N, para N real e positivo,
e de ordem exponencial para determinados valores de t>M, M >0.
Exemplos: L(y') = sL(y) - y(0) L(y'') = s
2
L(y) - s y(0) - y'(0)
L(t+e
t
)= L(t)+L(e
t
2
s s
L(4+t)= L(4)+L(t) L(5)=5L(1)
A demonstração da propriedade linear e da transformada de derivadas podem ser
feitas a partir da definição do operador L e são encontradas nos livros indicados na
bibliografia.
Exercícios para desenvolver habilidade de cálculo de transformadas, com
auxílio da tabela:
I) Consulte a tabela de fórmulas matemáticas e encontre a transformada de Laplace
das seguintes funções, considerando a propriedade linear da transformação de
Laplace:
1)L(2e
4t
) 8)L(e
-t
cos2t) 15) L(2)
2)L(3e
-2t
9) L(
t -
e
-3t
16)L(0)
3)L(cos3t) 10) L(e
-0,1t
cos0,5t) 17) L(0,5t
3
-0,2t
4
4)L(cosh3t) 11) L(e
t
senht) 18)L(sen2tcos2t)
5)L(0,5senh2t)
12) L(
t
t -
t
cos 4 sen 2 t )
6)L(5e
2t
13) L(
t e
5
-5t
3
7)L(t
3
e
-3t
) 14) L(3.5 t
2
II) Transforme as equações diferenciais abaixo em equações algébricas mediante a
utilização da transformação de Laplace e suas propriedades:
4y'' - y'+ y = sen(2t) y(0) = 0, y'(0) = -
q' + 0.5q = t q(0) = 1.
3) 2 I' + 16 I + 0,5 = 0 I(0) = 1
III) Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, considerando a
propriedade linear da transformação de Laplace:
- f(t)=e
t+
- f(t)=2t
2
- f(t)=(1+e
2t
2
- f(t)=-4t
2
+16t+
- f(t)=te
4t
- f(t)=4t-10 10) f(t)=4t
2
-5sen3t 14) f(t)=t
2
-e
-9t
- f(t)=e
-t
sent 7) f(t)=t
2
+6t-3 11) f(t)=e
t
senht 15) f(t)=cos5t+sen2t
- f(t)=tcost 8) f(t)=1+e
4t
- f(t)=t
5
- f(t)=t
2
e
-2t
Transformada Inversa de Laplace
Chama-se transformação inversa de Laplace a transformação L
(transformação
inversa de L) que a cada função F : X→R, F(s)=
e f(t) dt
-st
0
∞
, associa a função f: (0,
∞), ou seja, se F(s) é a transformada de Laplace de f(t), então f(t) é a transformada
inversa de Laplace de F(s), ou ainda, F(s) = L(f(t)).
Dessa forma a transformada inversa de Laplace de F, que será denotada por L
1
(F(s)) é f(t) :
F(s) = L(f(t)) ⇔ L
(F(s)) = f(t).
Como calcular a transformada inversa de uma função? Por exemplo, qual a
transformada inversa de
s
? Observe que a transformada inversa transforma uma
função de variável s numa função de variável t.
Assim, para obter a transformada inversa de
s
precisamos pensar:
Considerando a propriedade linear e a definição da transformação inversa de
Laplace, encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções.
Na maioria dos casos, para encontrar a transformada inversa de uma dada função é
necessário simplificar e fatorar a função, tendo em vista que será utilizada a tabela
de fórmulas. Assim, no caso de denominadores de frações, por exemplo, é
necessário:
- fatorar o polinômio que aparece, caso ele seja de grau maior que um;
- "completar os quadrados" para utilizar a fórmula 15 ou 16, conforme o caso,
e
- decompor uma fração em frações parciais.
Em cada caso apresente a resposta assim: L
Esteja atento ao que faz para entender o processo desenvolvido.
1.F(s)=
s + 9
2
2.F(s)=
s
s + 2
2
3.H(s)=
s - 2s - 3
2
(dica: fatore o
denominador)
4.G(s)=
2s - 5
s
2
(dica: "separe" em duas frações) 5.G(s) =
5 s + 4
s
3
6.H(s)=
3s + 2
7.F(s)=
6 s - 4
s - 4s + 20
2
8.G(s)=
(s - 2)
2
9.G(s)=
3s + 7
s - 2s - 3
2
10.G(s)=
3s + 1
(s
2
+ 1 )( s − 1 )
(decomponha essa fração em frações parciai. O uso de
frações parciais é muito importante para encontrar a transformada inversa de
Laplace. Se você precisa de uma revisão leia Frações Parciais na pg.364 do livro
do Zill).
A seguir serão apresentados algumas resoluções para auxiliar.
t
3
2
1 1
e
s
L (
3 s 2
L (
−
− −
( ) ( )
t t
e e
s s s s
L
3
2
1
− −
2 2 2
s
s
s s s s
s
então
e t t
s
s
L
s
L
s
L
s s
s
L
t
) 2 sen 2 cos
2
1
2
1 1
2
1
− − − −
Resolva as equações diferenciais abaixo, com auxílio da transformada de
Laplace.
1).q' + 0.5q = t; q(0) = 1.5 solução: q(t)=2t-4+5,5e
-0,5t
2.) 4y'' + y = sen(2t);y(0) = 0 e y'(0) = 0 solução: y(t)=(-1/15)sen2t+(4/15)sen(t/2)
3.) y''+y = t; y(0) = 1 e y'(0) = -2 solução: y(t)=t+cost-3sent
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS USANDO TRANSFORMADA DE
LAPLACE.
Com auxílio da transformada de Laplace, resolva os problemas a seguir. Leia
com atenção cada problema e identifique os dados, o que é solicitado e
expresse os passos de forma organizada. Faça o problema compartilhando
idéias com seus colegas. Se tiver dificuldades, reveja a teoria, interaja com
seus colegas e reflita sobre a dificuldade. Se mesmo assim, não conseguir
resolver, procure auxílio da professora.
Fique atento para você analisar e ter consciência dos passos realizados e do que
está sendo feito.
- A equação diferencial linear
dq
dt
RC
q
E
R
representa um circuito com resistor e
capacitor ligados em série. Um circuito tem R=100 ohms, C=0,005 farad,
E(t)=10sent volts e nenhuma carga no capacitor no instante inicial. Nessas
condições encontre a carga e a corrente no circuito após 5 segundos. A corrente é a
taxa de variação da carga. Verifique se a corrente é transitória e justifique. A
corrente é dita transitória se ela tende a zero conforme o tempo cresce. Esboce os
gráficos da função que representa a corrente e da função que representa a carga no
circuito em cada momento.
função que representa a carga. Faça o mesmo para a função que representa a
corrente no circuito.(q(t)=e
-2t
cos2t+e
-2t
sen2t)
- Seja F(s)=
0,5 + s
s
2
− s + 1
. a função de transferência de um circuito aberto. Encontre a
resposta ao sistema, dada por y(t)=L
((F(s)). Esboce o gráfico de y. Para que
valores de t a resposta ao circuito é positiva? Quando a resposta tem valor máximo?
Qual a resposta ao sistema quando t=2 segundos?
Fenômenos que envolvem oscilações podem ser representados por meio de
equações diferenciais lineares de segunda ordem. Por exemplo a equação
my”+cy’+Ky=F(t) representa a variação de posição (y(t)) de um corpo de massa m
que oscila com amortecimento proporcional a velocidade, sendo c a constante de
proporcionalidade desse amortecimento, k a constante de elasticidade da mola ou
amortecedor e F(t) uma força externa ao movimento. Essa força é chamada de
“função entrada”. A solução da equação diferencial é chamada de “função saída”.
Nessas condições resolva o problema a seguir:
- Um corpo 2 Kg está suspenso numa mola cuja constante elástica é 4 Kg/m. O
corpo é posto em movimento, sem velocidade inicial (y’(0)=0), deslocando-o 0,5 m
acima da posição de equilíbrio (y(0)=-0,5), considerando a posição “para cima”
negativa. Se é aplicada simultaneamente uma força externa de F(t)=sen4t e
desprezando a resistência do ar, determine a função que dá o movimento do corpo
em cada instante. Calcule também a posição do corpo após 5 segundos.
