Transformada de La Place: Definição, Propriedades e Exemplos, Transcrições de Cálculo

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS

TRANSFORMADAS DE LA PLACE

Arthur Borges Alexander

Ituiutaba

1. Dê a definição da Transformada de La Place

No seu conceito mais básico, a transformada de La Place é uma

ferramenta capaz de transformar uma equação diferencial em uma

equação algébrica, tornando sua solução mais fácil, quando ao solucionar

a equação algébrica, usar a transformada inversa para a solução da

equação diferencial. (𝐹

= ℒ f

t

−𝑠𝑡

∞

0

𝑑𝑡), a equação tem este

formato e sua manipulação, bem como o sucesso nos resultados é obtido

com a ajuda de uma tabela das transformadas de La Place, que será

apresentada mais à frente. Fazendo uma analogia, é como um armário

grande que precisa passar pela porta, e a melhor alternativa é desmontar

o armário e passar cada parte pela porta, e depois montá-lo novamente.

2. Notação simbólica da transformada de La Place

A transformada de uma função f(t) é uma função da variável s, onde a

notação é feita com a letra minúscula para a função e a letra maiúscula

para a transformada

Ex: ℒ f(t)=F(s); ℒ g(t)=G(s). Sendo esta a função completa:

= ℒ f

t

−𝑠𝑡

∞

0

3. Tabela de La Place com as principais funções elementares

A tabela nada mais é que algumas das transformadas já definidas, o que

garante mais eficiência e rapidez na solução da equação diferencial.

Eis uma tabela com as principais transformadas.

f(t) F(s)

1

1

s

e

at

1

s − a

t

n

n!

s

n +

sen at

a

s

2

• a

2

cos at

s

s

2

• a

2

senh at

a

s

2

− a

2

4. Condições suficiente para existência da Transformada de La Place

A transformada de La Place exige duas condições para sua existência de

a) A função “ f ”, seja contínua ou contínua por partes

Esta função contínua por partes é aquela que apresenta pontos finitos

onde a função se mostra descontínua, onde nesses pontos, o gráfico

apresenta saltos, os quais nos mostram que os limites laterais não

coincidem.

https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/calculo/limites-

de-funcoes-reais/definicao-de-funcao-continua/definicao-

de-funcao-continua/

Função não contínua em x=0, portanto gráfico de uma função contínua por

partes.

b) A função “ f ”, seja de ordem exponencial para t>T. Gráfico t x f(t)

Esta condição é necessária, pois auxilia na demonstração da

existência da transformada. f é de ordem exponencial c se 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒

𝑐𝑡

Gráfico de uma função exponencial

https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/

5. As principais propriedades da transformada de La Place

Com o uso da tabela, já seria possível achar um bom número de

transformadas de La Place, no entanto, as propriedades, surgem para ser

possível abranger um número muito maior das transformadas. As

principais propriedades são:

1. Linearidade;
2. Deslocamento no tempo;
3. Deslocamento na frequência;
4. Teorema da Convulação;
5. Transformada de uma função de período T
6. Teorema do valor inicial;
7. Teorema do valor final;
8. Transformada da Integral;
9. Transformada de uma derivada;
10. Teorema do Desvio. 6. Transformadas de La Place de derivadas

Se f(t) é contínua e de ordem exponencial, e f’(t) é contínua por partes

para t<0, então ℒ{𝑓

′

Caso 𝑓(𝑡) e 𝑓′(𝑡) são contínuas, e 𝑓

′′

(𝑡) for contínua por partes, basta

aplicarmos a expressão acima duas vezes e obtermos

′′

2

Esse processo pode se repetir n vezes partindo do f(t),f’(t), ...𝑓

𝑛− 1

,sendo

contínuas e 𝑓

𝑛

, sendo contínua por partes.

Exemplo:

′

−𝑠𝑡

∞

0

Utiliza-se o método de integração por partes, onde 𝑢 = 𝑒

−𝑠𝑡

, e 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑡)

= lim

∞

−𝑠𝑡

−𝑠𝑡

∞

0

Se s>0 chegamos em

9. Principais Métodos para encontrar uma Transformada de La Place

Para encontrar uma transformada, basta fazer uma análise gráfica e

verificar se atendem aos requisitos básicos: A função ser contínua ou

contínua por partes e de ordem exponencial.

10. Elaborar 5 exercícios.

10.1 Utilizando a definição da transformada de Laplace, obtenha a

transformada – F(s) – da seguinte função:

Solução:

10.2 Com o auxílio da tabela, determine a transformada de Laplace da

seguinte função:

Solução:

Pela tabela:

Resposta:

10.3 Aplicando o Teorema do Valor Inicial e o Teorema do Valor Final obtenha

o valor inicial g(0+) e o valor final g(∞) da função

Solução:

Teorema do valor inicial

teorema do valor final

Resposta:

10.4 Calcule a transformada inversa da função

Solução:

Resposta: