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Unidade 8
Trigonometria
Metas Nesta aula vamos relembrar o teorema de Pitágoras, introduzir e aplicar as importantes razões trigonométricas, obtidas a partir dos lados de um triângulo retângulo. Objetivos Ao final desta aula você deve: conhecer a noção de ângulo e de arco; conhecer e aplicar as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente; conhecer relações importantes entre as razões trigonométricas; conhecer e aplicar as leis dos senos e dos cossenos;
Introdução à Trigonometria
A palavra Trigonometria tem origem grega e seu significado está ligado às medidas de um triângulo (trigonos: triângulo e metrein: medidas). É a área da Matemática onde se estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo. Ela surgiu devido às necessidades da Astronomia, para calcular o tempo e se desenvolveu na Geografia e Navegação. Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia , que viveu em cerca de 120 a.C , considerado o fundador da Trigonometria, foi um astrônomo grego, que introduziu a Trigonometria como ciência. Por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
Mais tarde, por volta do século XVI, apareceu o primeiro gráfico de uma função trigonométrica, a curva seno. Posteriormente ao desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, pois as funções trigonométricas estão associadas a fenômenos ondulatórios, sendo constantemente empregadas em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física, Química, Biologia, entre outras.
Ângulos
Um ângulo é caracterizado por um par de semirretas de origem no mesmo ponto.
O é o vértice do ângulo r e s são as semirretas que formam os lados do ângulo rÔs é o ângulo marcado pelo arco
- Calcule 3 × 17°33´26´´. Solução: A cada 60
acrescentamos 1 ao minuto e a cada 60` acrescentamos 1 ao grau (nesta ordem), portanto, temos 17° 33` 26 × 3 51° 9978`` ↓ 51°100´18`` ↓ 52°4018``
Logo, 3 × 17°33´26´´=52°40`18``.
Atividade 1:
- Determine o complemento e o suplemento de 45°45´.
- Calcule 4 × 18°45´22´´
- Resolva a equação 3 𝑥 − 51°46´36´´ = 𝑥 + 48°22´24´´.
- Determine os ângulos da figura.
Elementos do Triângulo Retângulo
Todo triângulo retângulo apresenta um ângulo reto e dois agudos. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em A.
Usaremos as letras maiúsculas dos vértices para denotar também os ângulos internos correspondentes e as letras minúsculas a,b,c para denotar os lados opostos aos ângulos A,B,C, respectivamente, e também as medidas dos lados. Assim, temos A = 90º e B + C = 90º , pois a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. Os nomes cateto e hipotenusa são usados apenas nos triângulos retângulos, no nosso caso, a hipotenusa é a , o lado oposto ao ângulo reto, e os demais lados b e c são ditos catetos. Para os triângulos retângulos vale o importante teorema de Pitágoras :
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: 𝒂𝟐^ = 𝒃𝟐^ + 𝒄𝟐.
Vemos abaixo o selo grego, lançado em 1955, em comemoração aos 2500 anos da fundação da Escola Pitagórica. Observe que a figura retrata o teorema de Pitágoras.
Razões trigonométricas importantes no triângulo retângulo
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as importantes razões seno, cosseno e tangente.
Outras razões importantes são a cossecante, secante e cotangente, onde
𝑠𝑒𝑐𝐶 = (^) 𝑐𝑜𝑠𝐶^1 , 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝐶 = (^) 𝑠𝑒𝑛𝐶^1 𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑔𝐶 = (^) 𝑡𝑔𝐶^1.
Exemplo2: 1)Dê o valor de senC , cosC e tgC para o triângulo retângulo abaixo.
Solução: Pela definição senC = 45 , cosC = 35 e tgC =^43_._
- Calcule senB, cosB e determine o valor de 𝑐𝑜𝑠^2 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛^2 𝐵.
senC = (^) 𝑎𝑐 (Lê-se : seno de C é o cateto oposto dividido pela hipotenusa)
cosC = 𝑏 𝑎 (Lê-se: cosseno de C é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa) tgC = 𝑐 𝑏 (Lê-se: tangente de C é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente) Observe que tgC = 𝑠𝑒𝑛 cos^ 𝐶𝐶.
