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Solução:
𝑐𝑜𝑠𝐵 = 4 42 = 22 , 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 44 2 = 22 e 𝑐𝑜𝑠^2 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛^2 𝐵 = 22
2
2 = 1.
3)Num triângulo retângulo de hipotenusa 2 5 , a soma dos catetos é 6. Calcule o cosseno do menor ângulo do triângulo. Solução: Vamos denotar um cateto por x e o outro será 6-x , já que, por hipótese, a soma
dos catetos é 6. Pelo teorema de Pitágoras, segue que (2 5)^2 = 𝑥^2 + (6 − 𝑥)^2 ⟺ 20 = 𝑥^2 + 36 − 12 𝑥 + 𝑥^2 ⟺ 20 = 2𝑥^2 − 12 𝑥 + 36 ⟺ 2 𝑥^2 − 12 𝑥 + 16 = 0 ⟺ 𝑥^2 − 6 𝑥 + 8 = 0 ⇔ 𝑥 = 2𝑜𝑢 𝑥 = 4. Portanto, as dimensões do triângulo são 2,4 e
2 5. O menor ângulo 𝛼 do triângulo é formado pela hipotenusa e o cateto de medida 4,
logo 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 24 5 = 2 55.
Atividade3:
- Num triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa é a=25cm e cosB=0,96. Calcule o perímetro do triângulo.
- Num triângulo ABC, retângulo em A, temos b=4cm e a-c=2cm. Calcule tgC, sendo os lados a , b e c opostos, respectivamente, A , B e C.
- Calcule os valores de 𝑥 𝑒 𝑦 da figura.
Caro leitor, nesse ponto devemos refletir um pouco sobre as razões introduzidas. As seis razões trigonométricas, seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e
cotangente não dependem do “tamanho do triângulo retângulo”; elas dependem apenas da medida do ângulo. De fato, dois triângulos retângulos com um ângulo agudo de mesma medida são semelhantes.
Portanto, de acordo com as figuras acima, temos por semelhança que (^) 𝑎𝑎´ = (^) 𝑐𝑐´ ⇒ 𝑐´ 𝑎´ =^
𝑐 𝑎 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝐶^ =^ 𝑠𝑒𝑛𝐶´^ e^ de^
𝑎 𝑎´ =^
𝑏 𝑏´ ⇒^
𝑏´ 𝑎´ =^
𝑏 𝑎 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝐶^ =^ 𝑐𝑜𝑠𝐶´. Daí, segue que os valores da tangente, cotangente, secante e cossecante só dependem da medida 𝛼 do ângulo.
OBS: Pela figura acima, vemos que 𝑠𝑒𝑛 90° − 𝛼 = 𝑏𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑡𝑔 90° − 𝛼 = 𝑏𝑐 =
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 , sec 90° − 𝛼 = 𝑎𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 , o que justifica os nomes das razões( cosseno de 𝛼 é
seno do complementar de 𝛼 𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒). No exemplo2 acima, verificamos que a soma dos quadrados do seno e do cosseno do mesmo ângulo B é igual a 1. Abaixo, vamos mostrar que, na verdade, essa relação é verdadeira para qualquer ângulo 𝛼 agudo, na verdade, pode ser estendida a um ângulo qualquer. Considere o triângulo retângulo ABC.
De fato, pelo teorema de Pitágoras sabemos que 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 , mas como sen 𝛼 = 𝑐𝑎 e cos 𝛼 = 𝑏𝑎 , temos que 𝑐 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 e 𝑏 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼, logo 𝑎^2 = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼^2 ) + (𝑎𝑠𝑒𝑛𝛼)^2 ⟹ 𝑎^2 = 𝑎^2 𝑐𝑜𝑠^2 𝛼 + 𝑎^2 𝑠𝑒𝑛^2 𝛼 ⟹ 𝑐𝑜𝑠^2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛^2 𝛼 = 1
Os valores acima são precisos. Para os demais ângulos pode-se usar alguma identidade trigonométrica para o cálculo das razões trigonométricas ou ainda podemos aproximar esses valores usando ferramentas matemáticas mais sofisticadas. As calculadoras científicas, em geral, nos dão valores aproximados para essas razões. Porém, podemos fazer aproximações, ainda que grosseiras, usando um transferidor e uma régua. Observe o próximo exemplo. Exemplo3: Com o auxílio de uma régua e um transferidor, vamos aproximar os valores de sen25°, cos25° e tg25°. Solução:
Solução: No triângulo retângulo B´C´D, temos 𝑡𝑔40° = (^) 𝐵𝐶´´𝐷𝐶´ = 𝑥𝑑. No triângulo retângulo A´C´D, temos 33 = 𝑡𝑔30° = (^) 𝐴𝐶´´𝐷𝐶´ = (^) 40+𝑥𝑑. Logo,
𝑑 𝑡𝑔40° = 𝑥 e 𝑥 = 33 40 + 𝑑 ⟹ 𝑑 𝑡𝑔40° = 33 40 + 𝑑 ⟹ 𝑑 𝑡𝑔40° − 33 = 403 3
⟹ 𝑑 = (^3) 𝑡𝑔^40 40°^3 − 3 ≅87,9 m. Portanto, 𝑥 = 𝑑 𝑡𝑔40° ≅ 73,08𝑚 e a altura da torre
é aproximadamente 74,8m.
Desenhamos com o auxílio de um transferidor um ângulo rÔs de 25º. Marcamos A em s, tal que AO=10cm. A seguir, traçamos AB perpendicular a r e medimos com a régua AB≅4,3cm e OB≅9,1cm. Temos, então : 𝑠𝑒𝑛 25 º = 𝐴𝐵 𝑂𝐴 ≅ 410 ,^3 = 0 , 43 , 𝑐𝑜𝑠 25 º = 𝑂𝐵 𝑂𝐴 ≅ 910 ,^1 = 0 , 91 , 𝑡𝑔 25 º = 𝐴𝐵 𝑂𝐵 ≅ 49 ,,^31 ≅ 0 , 47.
Exemplo4: Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 30° e caminhando até B passa a vê-la sob 40°. Dados AB=40 e a altura do observador h=1,70m, calcule, aproximadamente, a altura da tor- re 𝑥 + ℎ e a que distância 𝑑 ela se encontra do observador. Suponha 𝑠𝑒𝑛 40 ° ≅ 0 , 64 ,𝑐𝑜𝑠 40 ° ≅ 0 , 77 𝑒 𝑡𝑔 40 ° ≅ 0 , 84.
Atividade 4:
- Com o auxílio de uma régua e um transferidor, aproxime os valores de sen70°, cos70° e tg70°.
- Num triângulo retângulo, um cateto mede 12 cm e o ângulo oposto é de 60°. Calcule a hipotenusa e o outro cateto. Faça um esboço.
- Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido meio quilômetro, a que altura estará do solo? Faça um esboço.
- Uma escada de 6m de comprimento está encostada a uma parede vertical, formando com ela um ângulo de 30° graus. Calcule a distância do pé da escada à parede.
- Quando o sol está a 60° acima da linha do horizonte, qual é o comprimento da sombra de um poste de 7,5m de altura? Aproxime o resultado em metros com uma casa decimal.
Arcos e ângulos na circunferência em radianos
Quando cortamos uma circunferência de raio r num ponto e a “desentortamos”, obtemos um segmento de reta cuja medida é dada pela fórmula 𝑙 = 2𝜋𝑟 e essa medida é chamada de comprimento da circunferência. Quando tomamos um arco s dessa circunferência, correspondente a um ângulo central 𝛼 e o “desentortamos”, o comprimento desse arco pode ser obtido por uma regra de três simples.
Medida em graus comprimento do arco
Logo, 𝑠 = 2360 𝜋𝑟𝛼.
Atividade 5:
- Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2, cujo ângulo central é 30°.
- Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°.
- Determine o valor do raio 𝑟, tal que o comprimento do arco subtendido ao ângulo de 60° seja 3 𝜋.
Seno e cosseno de ângulos suplementares
Começamos traçando um sistema de coordenadas e colocando um transferidor na posição mostrada na figura seguinte, representado por um semicírculo de raio 1, com a origem do sistema de coordenadas coincidindo com a origem do semicírculo e o eixo 0 𝑥 marcando 0°. Observe que, os pontos que indicam as medidas dos pares de ângulos suplementares, como 30° e 150°, 45° e 135°, 60° e 120°, são pontos simétricos em relação ao eixo das ordenadas 0 𝑦.
Neste caso, como o círculo tem raio 1, os cossenos dos ângulos agudos ficam representados no eixo das abscissas e os senos no eixo das ordenadas. Como pontos simétricos em relação a 0 𝑦 possuem a mesma ordenada e abscissas opostas, definimos que : o seno de um ângulo obtuso é igual ao seno de seu suplemento
