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Tipologia: Notas de estudo
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Elaborado por: Paulo Santos Nº 1026 Manuel Rua Nº 1024 António Almeida Nº 1023 Helder Regada Nº 960
Para alterar o valor do elemento A(1,3) para 7 :
Os índices das matrizes são listas de números que podem ser armazenadas em vectores declarados previamente. Se pretendermos por exemplo, extrair a segunda linha da matriz podemos fazer :
>>v= A(2,[1 2 3])
v= 4 5 6
ou declarando primeiro um vector para os índices das colunas:
**_>>k= [1 2 3]
v= A(2,k)_**
v= 4 5 6
Também é possivel obter a diagonal da matriz sob a forma de um vector coluna. Por exemplo para a seguinte matriz a:
>> a=[1:4;5:8;9:12;13:16]
a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
>> k= diag (a)
k = 1 6 11 16
A criação de vectores elemento a elemento é bastante morosa e para matrizes de grandes dimensões quase irrealizável. O Matlab permite gerar sequências de números de forma rápida se fizermos uso do operador “ : ”. Por exemplo, para gerar o vector v =[1,2,3,...,100] podemos fazer :
>>v= 1:
A notação geral para o operador “ : ” é a seguinte :
número_inicial : incremento : número_final
Por exemplo, usando 2 como incremento :
>> c=1:2:
c =
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
O operador “ : ” permite a geração de sequências de números inteiros como no exemplo anterior ou mesmo de números reais. Eis alguns exemplos:
>> d=1:pi/20:pi (pi é igual a 3.1416)
d = Columns 1 through 7
Columns 8 through 14
2.0996 2.2566 2.4137 2.5708 2.7279 2.
>> e=5:-1:-
e = 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -
As funções seguintes permitem a criação de algumas matrizes elementares:
Vejamos alguns exemplos de utilização destas funções:
>>Z= zeros (2,5)
Z = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
>>O= ones(2,3)
O= 1 1 1 1 1 1
_>>T= ones(2,3)_*
T= 3 3 3 3 3 3
>> R=rand(4)
_>> A= randn(1,3)i_* (“i” representa a unidade imaginária)
0 - 1.3362i 0 + 0.7143i 0 + 1.6236i
É ainda possivel combinar as diferentes funções, por exemplo:
_>> B = [ones(3) zeros(3,2); zeros(2,3) 4eye(2)]_*
B = 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4
Cria uma matriz B usando submatrizes elementares: ones, zeros, e a matriz identidade de tamanhos específicos.
Concatenar matrizes consiste em formar matrizes a partir de outras mais pequenas. A notação é idêntica à utilizada para formar matrizes com números. Os seguintes exemplos ilustram a concatenação de matrizes.
>>a= [1,2; 3,4]
a= 1 2 3 4
>>A= [a a; a a] (Matriz 4x4, formada a partir da matriz a anterior)
A remoção de um elemento isolado de uma matriz não é possível uma vez que esta deixaria de respeitar as propriedades de uma matriz
>>A (1,2)=[ ] (operação não é permitida pelo Matlab)
??? Indexed empty matrix assignment is not allowed.
Quando as matrizes são de grande dimensão torna-se bastante incómodo para o utilizador a apresentação do resultado no ecrã do computador de todos os cálculos efectuados. Para evitar a apresentação dos resultados basta colocar no final da linha de comando um ponto e vírgula tal como o seguinte exemplo demonstra:
>> g=[1:500;501:1000];
É possível resolver com o Matlab diversos problemas da álgebra linear, sendo fácil realizar cálculos elaborados com matrizes, como por exemplo, o produto de duas matrizes, inversão de matrizes, cálculo dos valores próprios, etc. Dadas as matrizes A e B, por exemplo:
>> A=[1:4;5:8;9:12;-3:0] (Matriz A)
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 -2 -1 0
>> B=[13:16;-8:-5;17:20;21:24] (Matriz B)
>>C= A+B ( A soma de matrizes só é válida se A e B são do mesmo tamanho.) C = 14 16 18 20 -3 -1 1 3 26 28 30 32 18 20 22 24
>>D= A-B ( A subtracção de matrizes só é válida se A e B são do mesmo tamanho.)
D = -12 -12 -12 - 13 13 13 13 -8 -8 -8 - -24 -24 -24 -
_>>E= AB_* ( A subtracção de matrizes só é válida se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.)
E = 132 142 152 162 304 330 356 382 476 518 560 602
>>A^2 ou _>>AA_*
ans = 26 36 46 56 74 100 126 152 122 164 206 248 -22 -28 -34 -
>>p= poly(A)
p = 1.0000 -18.0000 16.0000 -0.0000 -0.
o que indica que o polinómio característico (λI) é:
>>B = reshape(A, 2, 6)
Transpor a Matriz A de maneira a que as colunas se tornem linhas e as linhas colunas;
>>B = transpose (A) ou >> B=A’
Triangular inferior;
>> tril (A)
ans = -3 0 0 0 1 2 0 0 5 6 7 0 9 10 11 12
Triangular superior;
>> triu (A)
ans = -3 -2 -1 0 0 2 3 4 0 0 7 8 0 0 0 12
O Matlab permite resolver equações com matrizes, numericamente de forma muito eficiente. Considere-se a equação com matrizes ( Ax = B ) em que:
Para resolver a equação podemos utilizar:
x = A −^1 B
e o correspondente comando Matlab
_>>x= inv (A)B_*
x=
-0.
