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Netzwerkanalyse
Einteilung der Netzwerke
- lineare resistive Netzwerke (linear time-invariant circuits): Das Netzwerk hängt nicht von der betrachteten Zeit ab. Sie ist zeitunabhängig. Das Strom-Spannungsverhältnis ist linear: U = RI R = const. bzw. I = GU G = const.
- nicht-lineare resistive Netzwerke (non-linear time-invariant circuits): Das Netzwerk hängt nicht von der betrachteten Zeit ab. Sie ist zeitunabhängig. Das Strom- Spannungsverhältnis ist nicht linear.
- lineare dynamische Netzwerke (time-variant dynamic circuits): Ein Netzwerk beinhaltet zeitabhängige Glieder. Das Ladung-Spannungsverhältnis sowie das Verhältnis Stromfluss zu magnetischem Fluss sind linear: Q = CU C = const. φ = LI L = const.
- Nicht-lineare dynamische Netzwerke (time-invariant dynamic circuits): Ein Netzwerk beinhaltet zeitabhängige Glieder. Das Ladung-Spannungsverhältnis sowie das Verhältnis Stromfluss zu magnetischem Fluss sind nicht linear.
- konzentrierte Netzwerke (lumped network): Die räumliche Ausdehnung D des Baulements und des Netzwerks ist viel kleiner als die Elektromagnetische Wellenlänge γ des elektromagnetischen Feldes der Signale. In konzentrischen Schaltungen spielen Ausbreitungseffekte keine Rolle. Die Kirchhoff’schen Strom- und Spannungsgesetze gelten nur in diesem Fall.
Digraph eines Netzwerks
Ersetzen wir die Elemente in den Zweigen eines Netzwerks durch die Digraphen der Elemente (gerichteter Graph), so entsteht der Digraph eines Netzwerks.
Folgendes ist bei der Ersetzung zu beachten: Ideale Strom- und Spannungsquellen werden zusammen mit ihren Innenwiderständen bzw. Innenleitwerte ersetzt. Gesteuerte Strom- und Spannungsquellen werden auch eingezeichnet.
Vorgehen: Knoten nummerieren. Referenzknoten bestimmen. Gerichtete Graphen einzeichnen. Î Die Stromrichtung bestimmt die Richtung des Graphen.
Kirchhoff’sches Stromgesetz (Kirchhoff Current Law, KCL)
Die Summe der elektrischen Ströme in einem konzentrierten Netzwerk, die in einen elementaren oder zusammengesetzten Knoten fliessen ist zu jeder Zeit t null.
∑i^ k (t)=^0
geschlossene Oberfläche
Tellegen’s Theorem
Die Summe der Leistungen, die in den Zweigen eines Netzwerkes verbraucht oder erzeugt wird, ist gleich null.
v i v ik 0
b
k 1
k
T ⋅ = ⋅ =
=
Kirchhoff’sches Spannungsgesetz (Kirchhoff Voltage Law, KVL)
Entlang einer beliebigen geschlossenen Knotenfolge (Masche, Kreis) ist zu allen Zeiten t bei einem Netzwerk mit konzentrierten Elementen die Summe der durchlaufenen Zweigspannungen vk gleich 0.
∑v^ k (t)=^0
geschlossene Knotenfolge
Eigenschaften von linearen und dynamischen Netzwerken
Superpositionsgesetz (Überlagerungsgesetz): Die Auswirkung aller unabhängigen Quellen in einem linearen Netzwerk lässt sich als die Summe der Auswirkung jeder einzelnen Quelle - wenn alle andern Quellen den Wert null aufweisen - ermitteln.
Thevenin-Norton-Äquivalenz: Jede reale Stromquelle lässt sich in eine reale Spannungsquelle umwandeln und umgekehrt. Dies gilt aber nicht für ideale Quellen. Es gilt:
U (^) q = −Iq⋅ R Théveninäquivalent R
U
I (^) q = − q Nortonäquivalent
Substitutionstheorem: Ein komplexes nichtlineares zeitvariantes Netzwerk kann durch Aufteilung in Subnetzwerke wesentlich vereinfacht werden. Unter Voraussetzung der Eindeutigkeit der Lösung kann ein Netzwerk in zwei Netzwerke unterteilt werden, sodass gilt: Î Das Netzwerk A kann durch eine ideale Spannungsquelle v(t) ersetzt werden, ohne dass sich die Ströme und Spannungen im Netzwerk B ändern. Î Das Netzwerk A kann durch eine ideale Stromquelle i(t) ersetzt werden, ohne dass sich die Ströme und Spannungen im Netzwerk B ändern.
Tableau-Analyse
Da die Knotenpotentialmethode nur mit Hilfe einer Modifizierung für bestimmte Netzwerkelemente ihre Gültikgeit hat, wurde nach einer Universalmethode gesucht, mit deren Hilfe man fast alle Netzwerkelemente uneingeschränkt integrieren kann. Somit lässt sich jedes Netzwerk mit Hilfe einer derartigen Analyse bestimmen. Dies geschieht mit Hilfe der Tableau-Analyse. Allerdings muss man einen erheblichen Mehrwert an Netzwerkgleichungen in Kauf nehmen.
Die Tableau-Analyse besteht aus drei Matrizengleichungen: KCL: A.i(t) = 0 KVL: v(t) – AT.e = 0 Zweiggleichungen: M.v(t) + N.i(t) = us(t)
¾ Graphische Methode: Arbeitspunkt entspricht dem Schnittpunkt der Charakteristik des Eintores und der Lastkurve des Biasnetzwerkes ¾ Analytische Methode: Gleichung des Biasnetzwerks und Gleichung des Eintores ineinander einsetzen und physikalische Lösungen suchen
Kleinsignalanalyse Alle DC-Quellen auf Null setzen. DC-Spannungsquellen müssen durch Kurzschlüsse ersetzt werden. DC-Stromquellen müssen durch Leerläufe ersetzt werden. Nichtlineare 1-Tor- oder 2-Tor-Charakteristiken müssen im Arbeitspunkt linearisiert und durch ein lineares äquivalentes Netzwerk ersetzt werden. AC-Kleinsignale bestimmen. (Lösen der linearen Gleichungen)
Gesteuerte Quellen
CCVS: Current Controlled Voltage Source; stromgesteuerte Spannungsquelle CCCS: Current Controlled Current Source; stromgesteuerte Stromquelle (z.B. Bipolartransistor) VCVS: Voltage Controlled Voltage Source; spannungsgesteuerte Spannungsquelle (z.B. Operationsverstärker) VCCS: Voltage Controlled Current Source; spannungsgesteuerte Stromquelle (z.B. Feldeffekttransistor)
f 1 () f 2 () CCVS v 1 = i (^1)
v 2 =rmi 1
VCVS v 1 i 1 =
v 2 =μv 1
CCCS v 1 = i (^1)
i 2 =αi 1
VCCS v 1 i 1 =
i 2 =gmv 1
Graphische Methode zur Bestimmung von v-i-Kennlinien
Vorgehen Geeignete graphische Approximation für ein entsprechendes Bauteil finden. Î vertikale und horizontale Geraden für ideale Quellen Î ‚Winkelstück‘ für Dioden Î Gerade mit positiver Steigung für ohm’sche Widerstände Î usw. Alle v-i-Kennlinien von jedem Bauteil einzeichnen. Anschliessend v-i-Kennlinien der Bauteile miteinander verknüpfen. Î bei Serieschaltung: Addition entlang der v-Richtung Î bei Parallelschaltung: Addition entlang der i-Richtung
Analyse von Netzwerken mit bereichsweise linearen Elementen
Hier müssen Fallunterscheidungen eingeführt werden!
Vorgehen Annahme eines bestimmten Zustands für das bereichsweise lineare Element Ersatzmodell einsetzen Berechnung der Netzwerkvariablen Frage: Existiert eine widerspruchsfreie Lösung? Î Ja: Wir sind am Ziel. Der Gültigkeitsbereich muss noch festgelegt werden. Î Nein: Prozedur nochmals wiederholen.
Bedeutung der Lösungen von dynamischen Netzwerken
Dynamische Netzwerke werden durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben. Die Lösung einer DGL besteht aus einem homogenen Teil und einem inhomogenen. Der inhomogene Teil wird auch als Störfunktion bezeichnet. Die Lösung der DGL kann als Superposition der Lösung des homogenen und des inhomogenen Teils aufgefasst werden. Dies entspricht aber auch der physikalischen Interpretation:
Î Lösung des homogenen Teils (Zero-Input-Response): Ist die Antwort des Netzwerks auf seine Anfangsbedingungen ohne Stimulus.
Î Lösung des inhomogenen Teils (Partikulärlösung, Zero-State-Response): Ist die Antwort des Systems auf den Stimulus, wenn die Anfangsbedingungen alle null wären. Die Partikulärlösung beschreibt also die Anregung des Systems, den Stimulus. In einem stabilen System repräsentiert die Partikulärlösung den stationären Zustand.
Dynamischer Pfad
Bei dynamischen Netzwerken ergibt sich das Problem der Stabilität. Insbesondere können die nichtlinearen Kennlinien Gebiete mit negativem differentiellem Widerstand enthalten. Diese negativen differentiellen Widerstände geben Anlass zu Instabilitäten, die schaltungstechnisch als Oszillatoren gorsse Bedeutung erlangt haben.
Um solche Instabilitäten zu erkennen, benötigen wir das Prinzip des Dynamischen Pfades.
Vorgehen Wir betrachten den Dynamischen Pfad von i(t) und v(t). Danach führen wir drei Fallunterscheidungen ein und betrachten das Verhalten der Strom- Spannung-Kennlinie. Dabei müssen die Abhängigkeiten beachtet werden! i(v(t)) = …
i > 0 Î v(t)? i = 0 Î v(t)? i < 0 Î v(t)?
v(i(t)) = …
v > 0 Î i(t)? v = 0 Î i(t)? v < 0 Î i(t)?
Wir erhalten somit Angaben über bestimmte Arbeitspunkte des Netzwerks: Î stabiler Punkt Î metastabiler Punkt: Im Punkt selbst ist die Schaltung stabil. Bewegt man sich jedoch weg von diesem Punkt, so wird die Schaltung instabil. Sprungphänomene können auftreten. Î instabiler Punkt: In diesem Punkt kommt es zu Sprungverhalten (Oszillation).
3 Gedämpfte periodische Schwingung 4 Ungedämpfte, stationäre periodische Schwingung
G üte eines Schwingkreises
2 T 0
ω 0 τ Q =π⋅ α
α
τ =
T 0 : Periode der Schwingung τ: Abklingzeitkonstante der Exponentialfunktion
Q = ∞ verlustloser Fall, stationärer Oszillator (4) dämpfter periodischer Fall (3)
Fallunterscheidungen
- 0.5 < Q < ∞ ge
- Q = 0.5 kritisch gedämpfter Fall (2)
- 0 < Q < 0.5 gedämpfter aperiodischer Fall (1)
Verstimmung
ω^0 ω
ω − ω V= 0
hasorendarstellung
t ein Hilfsmittel in der Netzwerkanalyse zur Veranschaulichung rianten Netzwerken. Da ein Signal nichts anderes ist als die
φ = ωt Â: Scheitelwert des Signals
P
Zeiger oder auf engl. phasor is von Signalen, also von zeitva Änderung der Amplitude A zu einer bestimmten Zeit t, lässt sich dieser Sachverhalt auch mit Hilfe der komplexen Ebene beschreiben.
A( φ ) = Â.e j φ^ = Â.[cos( φ ) + jsin( φ )]
Ein zeitlich abhängiges Signal wird also in ein phasenabhängiges Signal transformiert.
Die Phasordarstellung erlaubt es nicht nur harmonische Funktionen zu betrachten, sondern uch beliebige Signale können mit der Phasordarstellung umschrieben werden. Denn durch die Fourierreihenentwicklung eines bekannten Eingangssignals bzw. einer Eingangsfunktion
a
oder sogar die diskrete Fouriertransformation eines abgetasteten Eingangssignals erhalten wir wiederum harmonische Funktionen, die wir in Phasordarstellung schreiben können. Mit Phasoren lässt sich wie mit Vektoren rechnen. Insebesondere gilt die Vektoraddition und Subtraktion.
Beispiele x (^) 1(t) = Acos(ωt) = Re[Aejω] 2(t) = Bcos(ωt) = Re[Bejω] x2(t) = Re[(A+B)e jω] j
net sich besonders gut für graphische Analysen, da die raphisch durchgeführt werden kann. Die Winkel und Längen der sultierenden Phasoren müssen dann nur noch abgelesen werden.
h die relativ aufwendigen ifferentialgleichungen in einfache Gleichungen transformieren. Dabei gilt folgende wichtige
x x(t) = x1(t) + x 3 (t) = Csin(ωt) = Im[Ce ω]
Die Phasorendarstellung eig Vektoraddition leicht g re
Aber auch für Schwingkreise und somit für dynamische Netzwerke wird die Phasorendarstellung oft benutzt. Denn mit ihrer Hilfe lassen sic D Beziehung:
Element Zeitbereich Phasordarstellung Induktivität L L t
i(t) v( t) ∂
V = jωLI
Kapazität C C t
i (t) ∂
∂v (t) I = jωCV
Dabei ergibt sich für die Impedanz (komplexer Widerstand):
j C
j L I
V
ω
Z= = ω =
Analog ergibt sich für die Admittanz (komplexer Leitwert):
j L
j C V
I
Y
ω
= = ω =
Somit lässt sich mit Phasoren rechnen wie mit normalen Widerständen bzw. Leitwerten. Die Regeln für das Zusammenfassen von Widerständen bzw. Leitwerten in Parallel- und erieschaltung gilt hier ebenfalls.
Netzwerks zu erörtern, benutzt man häufig das Bode- iagramm. Ausgangspunkt bildet eine Übertragungsfunktion H(jω), eine Input-Output-
S
Bode-Diagramm
Um das Frequenzverhalten eines D Beziehung der Form:
in
out V
V
H ( j ω)=
Um das Fr quenzverhe alten zu erörtern, erweist sich die Phasordarstellung als sehr hilfreich. Die Übertragungsfunktion wird also in Phasordarstellung geschrieben. Das Bode-Diagramm besteht aus zwei Diagrammen: Phasendiagramm: Phasengang der Übertragungsfunktion Amplitudendiagramm: Amplitudengang des Betrags der Übertragungsfunktion in Dezibel
H(j ω ) =( j ω / ω C ) -
Amplitudendiagramm: Kurve mit Steigung -20dB/Dekade im Punkt (ωC ,0) Phasendiagramm: konstant bei -90°
nzuwenden:
Phasendiagramme bestimmen Hier empfiehlt es sich, folgende Regeln a
2 2 2 2 1 a
b arctan
jb b
^ = ^ −
ω = ^1 =^111 a
arctan a jb
arg Z
arg(H (j )) arg
(^) Z a
( ) ( ) (^)
ω = ⋅ = + ⋅ + = 2
2 1
1 (^1 21122) a
b arctan a
b arg(H(j )) argZ Z arg(a jb) (a jb ) arctan
Der Winkel einer Übertragungsfunktion ist also nichts anderes als das Winkelargument des Zählers minus jenes des Nenners.
? Bei welcher endet sie? – Danach werden die einzelnen bertragungsfunktionen erster Ordnung eingezeichnet und gemäss ihrem Verlauf addiert. Für
wir eine Gerade im Intervall ss der oberen Abbildung einzeichnen. an die obere Abbildung an der
Beim Zeichnen ist es ratsam, zuerst das totale Winkelintervall festzulegen: Bei welcher Phase beginnt die Übertragungsfunktion Ü die Übertragungsfunktionen A und B (siehe oben) gilt das folgende Schema:
Der Phasengang der Übertragungsfunktion B ergibt sich, indem von 0° bis -90° durch die Knickfrequenz bei 45° gemä Dasselbe gilt für die Übertragungsfunktion A. Bei ihr muss m Abszisse spiegeln. Sie dreht von 0° nach +90°. Die Steigung der Gerade wird positiv!
3-dB-Grenzfrequenz
Man bezeichnet die Frequenzen ω bei denen der H (jω) auf den Wert 1 / 2 abgesunken ist
bzw. auf den Wert 2 angestiegen ist als 3-dB-Grenzfrequenzen.
Nyquist-Darstellung
llt die Übertragungsfunktion H(jω) in der komplexen H-Ebene
orgehen gungsfunktion muss mathematisch in Real- und Imaginärteil zerlegt werden. Die
Die Nyquist-Darstellung ste dar. Diese Darstellung eignet sich vorallem für Aussagen zur Stetigkeit einer Übertragungsfunktion. Polstellen können hier sichtbar gemacht werden. Dies ist vorallem für Schwingkreise (z.B. Oszillatoren) von grosser Bedeutung. Bei anderen Übertragungsfunktionen möchte man solche oszillatorischen Effekte vermeiden. Auch dafür ist diese Dartstellung geeignet.
V Die Übertra Ordinate beschreibt den Verlauf des Imaginärteils, während die Abszisse den Verlauf des Realteils beschreibt. Die Frequenz ω dient als Parameter.
=Re { H ( j ω)} Ordinate
x Abszisse y =Im { H ( j ω)}
nschliessend muss überlegt werden, was für einen Verlauf die Funktion aufweist. Dies
usgangs- und Eingangsimpedanz
ier wird das Kleinsignalersatzschaltbild verwendet.
ingangsimpedanz bestimmen
A
ergibt meist kreisförmige oder ellipsenförmige Bahnen. Dies zeigt das folgende Beispiel eines Tiefpassfilters:
A
H
E
Der Ausgangsstrom iout wird auf null gesetzt.
= (^) iout = 0 in
in i
R in
v
Literaturangabe
Diese Zusammenfassung beinhaltet Bilder und Quellen der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen I von Prof. Fröhlich sowie der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen II von Prof. Jäckel. Zudem enthält sie Bilder und Quellen des Taschenbuches Elektrotechnik und Elektronik , erschienen im Fachbuchverlag Leipzig.
- Einteilung der Netzwerke............................................................................................ Inhaltsverzeichnis
- Digraph eines Netzwerks............................................................................................
- Kirchhoff’sches Stromgesetz (Kirchhoff Current Law, KCL)
- Tellegen’s Theorem....................................................................................................
- Kirchhoff’sches Spannungsgesetz (Kirchhoff Voltage Law, KVL)...............................
- Eigenschaften von linearen und dynamischen Netzwerken........................................
- Tableau-Analyse.........................................................................................................
- Klein- und Grossignalanalyse
- Gesteuerte Quellen
- Graphische Methode zur Bestimmung von v-i-Kennlinien
- Analyse von Netzwerken mit bereichsweise linearen Elementen
- Bedeutung der Lösungen von dynamischen Netzwerken...........................................
- Dynamischer Pfad
- Schwingkreise (Dynamische Netzwerke 2. Ordnung).................................................
- Phasorendarstellung...................................................................................................
- Bode-Diagramm
- Nyquist-Darstellung
- Ausgangs- und Eingangsimpedanz
- Verstärkungsfaktoren
- Prinzip der Zustandsvariablen
