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H¨ohere Mathematik

Vorlesung 2

M¨arz 2017

ii

daran, dass es mit den Standard methoden, die sie in der Schule gelernt hatten, nicht ging. Dann komme ich und versuche unter dem Integral- zeichen zu differenzieren, und das klappte oft. Auf diese Weise kam ich in den Ruf, gut Integrale l¨osen zu k¨onnen, und das nur, weil ich einen anderen Werkzeugkasten hatte als die anderen und weil sie alle ihre Werkzeuge an dem Problem ausprobiert hatten, bevor sie es mir vorlegten. Richard Feynman, Physiker

Folgend werden wir den theoretischen Background der Feynman Methode pr¨asentieren.

Definition: Das parameterab¨angige Integral Sei 𝑓 : [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] → R, sodass 𝑓 f¨ur festes 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑] als Funktion von 𝑥 integrierbar ¨uber [𝑎, 𝑏] ist. Man nennt die Funktion:

𝑎

ein parameterabh¨angige Integral.

Definition: Das parameterab¨angige uneigentliche Integral Sei 𝑓 : [𝑎, 𝑏) × [𝑐, 𝑑) → R, 𝑏, 𝑑 ∈ R, sodass 𝑓 f¨ur festes 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑) als Funktion von 𝑥 uneigentlich integrierbar ¨uber [𝑎, 𝑏) ist. Man nennt die Funktion:

𝑎

ein parameterabh¨angige uneigentliche Integral.

Offenbar ist: 𝐹 (𝜉) =

0

sin 𝑥 𝑥

ein parameterabh¨angige uneigentliche Integral, wobei 𝑓 (𝑥, 𝜉) = sin 𝑥 𝑥

und 𝑓 : (0, ∞) × (0, ∞) → R. Das Integral konvergiert, weil

sin 𝑥 𝑥

(^) ≤ 𝑒−𝜉𝑥 (^) und:

0

Also 𝑓 , f¨ur festes 𝜉 ∈ (0, ∞), als Funktion von 𝑥 uneigentlich integrierbar ¨uber (0, ∞) ist.

Beispiel:

Stetigkeit parameterabh¨angiger Integrale: Ist 𝑓 (𝑥, 𝜉) stetig auf [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑], so existiert das Integral:

𝑎

f¨ur alle 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑] und 𝐹 (𝜉) ist stetig auf [𝑐, 𝑑].

In diesem Fall d¨urfen wir den Grenzwert unter das Integral ziehen:

lim 𝜉→𝜉 0

𝑎

𝑎

lim 𝜉→𝜉 0

𝑎

Bemerkung:

Stetigkeit der parameterabh¨angigen uneigentlichen Integrale: Es sei 𝑓 : [𝑎, ∞) × [𝑐, 𝑑] → R stetig, wobei 𝑎 > 0. Wir nehmen an, dass eine uneigentlich integriebare Funktion 𝑔 : [𝑎, ∞) → R existiert, und:

|𝑓 (𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔(𝑥), 𝑥 ≥ 𝑎.

Dann ist: 𝐹 (𝜉) =

0

stetig auf [𝑐, 𝑑].

∙ Das selbe Ergebnis gilt f¨ur den F¨alle [𝑎, 𝑏) oder (𝑎, 𝑏], 𝑎, 𝑏 ∈ R¯. ∙ Eine Funktion 𝑓 mit der Eigenschaft:

|𝑓 (𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝜉, und

𝑎

heisst majorisiert intergrierbar ¨uber [𝑎, ∞)

Bemerkungen:

Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge: Sei 𝑓 : [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] → IR stetig, dann gilt es die Gleichheit: ∫︁ 𝑑

𝑐

𝑐

𝑎

𝑎

𝑐

Da

2 cos(𝜉𝑥)

2 ist die Funktion 𝐹 stetig auf R. Weiters gilt es: ⃒⃒⃒⃒ 𝜕𝑓 𝜕𝜉

2 (−𝑥) sin(𝑥𝜉)

2 |𝑥|

und

−∞

2 |𝑥|𝑑𝑥 < ∞. Schliesslich ist 𝐹 differenzierbar.

Leibniz Regel f¨ur parameterabh¨angige Grenzen: Seien 𝑎, 𝑏 : (𝑐, 𝑑) → [𝛼, 𝛽] differenzierbare Funktionen und 𝑓 : [𝛼, 𝛽] × (𝑐, 𝑑) → R stetig, sodass die partielle Ableitung 𝜕𝑓𝜕𝜉 existiert und stetig auf [𝛼, 𝛽] × (𝑐, 𝑑) ist. Gegeben sind auch die Majoranten:

|𝑓 (𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔 1 (𝑥) und

sodass

𝛼

𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 und

𝛼

𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 existieren.

Dann gilt es die Leibniz Regel:

𝑑 𝑑𝜉

𝑎(𝜉)

𝑎(𝜉)

Beweis: Sehe [Konrad] Korollar 11.

F¨ur das eigentliche Integral

𝑎(𝜉)

𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 die Leibniz Regel lautet:

𝑑 𝑑𝜉

𝑎(𝜉)

Korollar:

Ubungen mit L¨¨ osungen

Aufgabe 1. Beweisen Sie die Identit¨at: ∫︁ ∞

0

L¨osung: Wir betrachten das parameterabh¨angige Integral:

0

wobei 𝑓 (𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑡𝑥. Man sieht leicht an:

Da, f¨ur festes 𝑚, lim 𝑥→∞

𝑒𝑡𝑥^

= 0, gibt es ein 𝑐 > 0 , sodass:

𝑥^2

Wenden wir nun die Differenzierbarkeit der parameterabh¨angigen uneigentlichen Integrale an, da alle Bedingungen erf¨ullt sind:

𝑡^2

0

Noch einen Schritt weiter:

𝐹 ′′(𝑡) =

𝑡^3

0

𝑥^2 𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥,

und nach 𝑛 Schritte:

𝐹 (𝑛)(𝑡) = (−1)𝑛^

𝑡𝑛+^

0

F¨ur 𝑡 = 1 bekommt man: (^) ∫︁ ∞

0

Aufgabe 2. Das gaußsche Integral 𝐼 ist konvergent und gilt es:

−∞

2 𝑑𝑥 =

L¨osung: Man sieht leicht an, dass:

−∞

2 𝑑𝑥 = 2

0

2 𝑑𝑥 (gerade Funktion).

Ubungsblatt¨ 2

Aufgabe 3. Finde den Wert des Integrals:

0

ln(1 + 𝑥) 1 + 𝑥^2

Hinweis: 𝐼(𝜉) =

0

ln(1 + 𝜉 · 𝑥) 1 + 𝑥^2

Aufgabe 4. Man berechne das Integral: ∫︁ 𝑑𝑥 (𝑥^2 + 𝑎^2 )^2

Hinweis: Man betrachte 𝑓 (𝑡, 𝑎) =

0

𝑥^2 + 𝑎^2

Aufgabe 5. Studieren Sie die Stetigkeit des Integrals:

0

sin(𝑡𝑥) 1 + 𝑥^2

𝑑𝑥, 𝑡 ∈ R.

Aufgabe 6. Um das Integral

0

sin 𝑥 𝑥

𝑑𝑥 zu brechnen, verwenden Sie das

parameterabh¨angige Integral:

0

𝑒𝜉𝑥^

sin 𝑥 𝑥

Literaturverzeichnis

[1] M. Eisermann. H¨ohere Mathematik 3, 2016.

[2] R. Bartle. The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons, 1976.