¡Descarga Álgebra 10 2015 y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Algebra I`
Grau en F´ısica 29 d’Octubre de 2015
Q¨uestions (2 punts) Per a cadascuna de les seg¨uents afirmacions, doneu una demostraci´o (si l’afirmaci´o ´es certa) o un contraexemple (si ´es falsa):
(a) Un grup G de 4 elements ´es necessariament commutatiu. CERT. Suposem que G = { (^1) G, a, b, c} i representem l’operaci´o com un producte. Tenim dues opcions (excloents): (1) Els tres elements a, b, c s´on cadascun el seu propi simetric: a^2 = b^2 = c^2 = 1G. En aquest cas, el producte de dos dels elements a, b, c ´es el tercer element. En efecte: ab = 1G implica b = a−^1 = a, fals! ab = a implica b = 1G, fals! ab = b implica a = 1G, fals! Per tant, ab = c. Com que aquest argument ´es valid per a qualsevol parella, considerada en qualsevol ordre, tenim: ab = c = ba, ac = b = ca, bc = a = cb. Per tant, G ´es un grup abelia.
(2) Nom´es un dels tres elements a, b, c ´es el seu propi simetric, i els altres dos s´on l’un el simetric de l’altre. Per exemple, ab = 1G = ba i c^2 = 1G.
Pel teorema de Legendre, l’ordre de a ´es 1, 2 o 4. Com que a 6 = 1G i a^2 6 = 1G, a la for¸ca a t´e ordre 4. Per tant, G ´es el grup c´ıclic generat per a i ´es abeli`a.
(b) Dos grups G, H de 4 elements s´on necess`ariament isomorfs.
FALS. Contraexemple: G = (Z/ 2 Z) × (Z/ 2 Z), H = Z/ 4 Z. No s´on isomorfs perqu`e tenen un nombre diferent d’elements d’ordre 2. De fet, G cau en el cas (1), i H en el cas (2), de la q¨uesti´o anterior.
Exercici 1 (3 punts) Considerem l’aplicaci´o que assigna a cada nombre real la seva part entera:
f : R −→ Z, f (x) = bxc,
definida com l’´unic enter m = bxc que satisf`a m ≤ x < m + 1.
(a) Considerem a R la relaci´o binaria: x ∼ y ⇔ f (x) = f (y). Proveu que ∼ ´es una relaci´o d’equivalencia. Reflexiva: Com que f (x) = f (x), ∀x ∈ R, tenim x ∼ x, ∀x ∈ R. Sim`etrica: x ∼ y =⇒ f (x) = f (y) =⇒ f (y) = f (x) =⇒ y ∼ x. Transitiva:
x ∼ y, y ∼ z =⇒ f (x) = f (y), f (y) = f (z) =⇒ f (x) = f (z) =⇒ x ∼ z.
(b) Per a cada x ∈ R, descriviu la classe [x] ⊂ R respecte d’aquesta relaci´o. Comproveu que les diferents classes dels nombres reals determinen una partici´o de R en uni´o disjunta de subconjunts.
La classe de x la formen els nombres reals amb la mateixa part entera que x. Es a´ dir, els que cauen dins l’interval [m, m + 1), sent m = bxc. Aquestes classes parteixen R com la uni´o disjunta de tots els intervals [m, m + 1), per a m recorrent tots els nombres enters.
(c) Proveu que f indueix una aplicaci´o bijectiva entre el conjunt quocient R/ ∼ i el conjunt Z dels nombres enters.
Definim F : (R/∼) −→ Z, assignant a cada classe [x] = [m, m + 1) la part entera de qualsevol dels nombres reals en aquest interval (que ´es la la mateixa per a tots ells):
F ([x]) = f (x) = bxc = m.
Per veure que F ´es bijectiva, comprovem que ´es injectiva i exhaustiva.
F injectiva: F ([x]) = F ([y]) =⇒ f (x) = f (y) =⇒ x ∼ y =⇒ [x] = [y]. F exhaustiva: Per a qualsevol enter m, tenim bmc = m. Per tant, F ([m]) = f (m) = m, de manera que m ´es imatge d’una classe de nombres reals per l’aplicaci´o F.
Exercici 2 (3 punts) Considerem el polinomi p(x) = x^6 − 1 ∈ C[x]. (a) Calculeu les arrels complexes de p(x). S´on ζk = e^2 kπi/^6 , per a k = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5. Es a dir:´
U =
ζ 0 = 1, ζ 1 = eπi/^3 , ζ 2 = e^2 πi/^3 , ζ 3 = − 1 , ζ 4 = −ζ 1 , ζ 5 = −ζ 2
(b) Comproveu que el conjunt U format per totes les arrels complexes de p(x) ´es un subgrup de C∗^ := C \ { 0 } amb la operaci´o producte.
(1) El producte de nombres complexos restringit a U ´es una operaci´o interna: ζkζ= e2(k+)πi/^6 =⇒ (ζkζ)^6 = 1 =⇒ ζkζ ∈ U. (2) U cont´e l’element neutre: 1 = ζ 0 ∈ U. (3) U cont´e l’invers de cada element de U : 1 /ζk = e−^2 kπi/^6 =⇒ (1/ζk)^6 = 1 =⇒ 1 /ζk ∈ U. (c) Calculeu l’ordre de tots els elements de U , aix´ı com els seus subgrups. 〈 1
〈 =^ {^1 }^ ordre 1 ζ 1
〈 =^ U^ ordre 6 ζ 2
〈 =^ {^1 , ζ^2 , ζ^22 =^ ζ^4 }^ ordre 3 ζ 3
〈 =^ {^1 ,^ −^1 }^ ordre 2 ζ 4
〈 =^ {^1 , ζ^4 , ζ^42 =^ ζ^2 }^ ordre 3 ζ 5
= U ordre 6
