tema1, Apuntes de Topología

¡Descarga tema1 y más Apuntes en PDF de Topología solo en Docsity!

Tema 1. Topologia definida per una

mètrica en

n R

Juan J. Nu˜

no Universitat de Val`

encia

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 1/

Tema 1. Topologia definida peruna mètrica^ 1. Distàncies en

n R

2. Boles obertes i tancades3. Entorns, oberts i tancats4. Distància d’un punt a un subconjunt5. Diàmetre d’un subconjunt6. El primer axioma de numerabilitat i la condicióde Hausdorff7. Mètriques equivalents8. Espais mètrics

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 2/

Boles obertes i tancades^ Definició:

Siga^ d

una distància,

x^ ∈^ R

n^ i^ ǫ >

Definim la

bola^ (oberta) de centre

x^ i radi

ǫ:

B(x;^ ǫ ) =^ {y

n^ ∈ R tal que

d(x, y

)^ < ǫ}

Definim la

bola tancada

de centre

x^ i radi

ǫ:

B(x;^ ǫ ) =^ {y

n^ ∈ R tal que

d(x, y

)^ ≤^ ǫ}

Sempre es compleix que

{x} ⊆

B(x;^ ǫ

)^ ⊆^ B(

x;^ ǫ).

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 4/

Exemples^ Exemple 1:

La distància discreta

d:D

d(x, yD

{^1 ) =

,^ si^ x

6 =^ y, 0 ,^ si

x^ =^ y

Es comprova que verifica les tres condicions demètrica.Les seues boles són:Si^ ǫ <^

1 , aleshores

B(x;^ ǫ

) =^ B(

x;^ ǫ) =

{x}.

Si^ ǫ^ = 1

, aleshores

B(x;^ ǫ

) =^ {x

},^ B(x

;^ ǫ) =^ R

n.

Si^ ǫ >^

1 , aleshores

B(x;^ ǫ

) =^ B(

x;^ ǫ) =

n R.^ Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 5/

Exemple 3:

Cas particular n=1. En^ R, les tres mètriques

d,^ des^

i^ dcoincideixen i elm^

valor és

d(x, y) =

|x^ −^ y

La desigualtat triangular es compleix ja que^ |x^ −

y|^ =^ |

x^ −^ z^ +

z^ −^ y| ≤ |

x^ −^ z| +^ |z^ −

y|.

Les boles són intervals fitats:^ B(x; ǫ) =]x

−^ ǫ, x

+^ ǫ[,^

B(x;^ ǫ

) = [x^

−^ ǫ, x^

+^ ǫ].

Recíprocament, si

a < b, ]a, b[=

b^ + B( ab^ −;^2

a ),^2

[a, b] =

b^ + B( ab^ −;^2

a ). 2 Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 7/

Exemple 4:

Cas general. Per a la distància euclidiana, la bola de centre

x^ i de

radi^ ǫ^ és el conjunt delimitat pels punts

y^ les

coordenadas dels quals satisfan l’equació quadràtica

(y−^ x^1

2 )+^ · · · 1

• (yn^

(^2) − x)n 2 =^ ǫ.

(^2) En R, aquesta és l’equació d’una circumferència. (^3) En R, aquesta equació descriu una esfera.La descripció de les boles de les altres dos mètriquesés un dels objetius de la primera pràctica. Exercici: Demostra que

d≤^ m^

d≤^ de^

s^ Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 8/

Propietats dels entorns:^ 1.^ U^

∈ E(x) =

⇒^ x^ ∈

U^.

2.^ U, V

∈ E(x

) =⇒^

U^ ∩^ V^

∈ E(x)

3.^ U^ ⊆

V^ i^ U^

∈ E(x) =

⇒^ V^

∈ E(x)

Propietats dels oberts:^ 1.^ ∅ ∈ T

n^ i R∈ T

2.^ A, B

∈ T^

=⇒^ A

∩^ B^ ∈ T

3.^ Ai^

∈ T^ ,^ ∀

i^ ∈^ I^ =

⇒ ∪i∈

A∈ TI i^

.^ Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 10/

Proposici´

o:^ Tota bola és un subconjunt obert. Proposici´

o:^ A^ ∈ T

x^ ∈^ A ,

A^ ∈ E

(x).

Proposici´

o:^ U^ ∈ E

(x)^ ⇐⇒

existeix

A^ ∈ T

tal que

x^ ∈^ A^

⊆^ U^.

Proposici´

o:^ C^ ∈ C ⇐⇒ ∀

x^6 ∈^ C^

existeix

ǫ >^0

tal

que^ B(

x;^ ǫ)^ ∩

C^ =^ ∅

Proposici´

o:^ Tota bola tancada és un subconjunt tancat.

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 11/

Diàmetre d’un conjunt^ Definició:

Siga^ d

una mètrica en

n^ Ri siga

S^ ⊆^ R

n.

Direm que

S^ és^ fitat

si existeix

K >^0

tal que

∀x, y^ ∈

S,^ d(x, y

)^ ≤^ K

Si^ S^ és fitat, es defineix el seu

diàmetre

com

δ(S) = sup

{d(x, y

)^ :^ x, y

∈^ S}.

n^ Si Rés fitat, es diu que la mètrica

d^ és^ fitada

Propietats:^ 1.^ S^

fitat si i només si està contingut en alguna bola.2. Si d^ es una mètrica,

′ d(x, y ) = min

{^1 , d(x, y

)}^ és

una mètrica fitada.

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 13/

El primer axioma de numerabil-itat i la condició de Hausdorff^ Siga^ d

una mètrica en

n R. Anem a veure que es

compleixen el primer axioma de numberabilitat(1AN) i la condició de Hausdorff (

T).^2

Proposició:

(1AN)

Donat

x^ ∈^ R

n^ existeix una família

numerable de entorns

{V}nn

⊂ E∈N

(x)^ amb la

propietat següent: per a tot

U^ ∈ E

(x)^ existeix

n^ ∈^ N

tal que

V⊆^ n^

U^.

Proposició:

(T)^ Per a tots^2

x, y^ ∈

n^ R tals que

x^6 =^ y

existeixen

U^ ∈ E

(x)^ i^ V

∈ E(y

)^ tals que

U^ ∩^ V

=^ ∅. Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 14/

Mètriques equivalents^ Proposició:

Les mètriques

d ,^ des^

i^ d en m^

n^ R són

equivalents. Proposición:

Donades dos mètriques

′ d i d ,

1.^ T⊆ Td^

′^ ⇐⇒d

∀x

n ∈ R, ∀ǫ >^

0 existeix

′^ ǫ>^0 tal que

′^ B(x;d ′ ǫ)^ ⊆^ B

(x;^ ǫ)d

′^ 2. Td ⊆ Td^

⇐⇒^

∀x^ ∈^ R

n′^ ,^ ∀δ

^0 existeix

δ >^0 tal que

B(x;d

δ)^ ⊆^ B

′′ (x; δd

3.^ d^ i^

′^ d equivalents

⇐⇒^

(1)^ i^ (2)

.^ Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 16/

Espais mètrics^ Definició:

Un^ espai m`

etric^ és un parell

(X, d)

on^ X

és un conjunt qualsevol i

d^ és una aplicació

d^ :^ X^ ×

X^ →^

[0,^ ∞[^

que verifica

1.^ d(x, y

) = 0^ si i només si

x^ =^ y

2.^ d(x, y

) =^ d(

y, x)^ (simètrica),

3.^ d(x, y

)^ ≤^ d(

x, z) +

d(z, y )^ (desigualtat

triangular),per a tots^ x, y, z

∈^ X.

L’aplicació

d^ s’anomena

distància

o^ mètrica

en^ X.

Els elements de

X^ s’anomenen

punts.

Top. Elem. I Curs 2007–08 – p. 17/