Topologia Elemental I-Curs 2006-07
Pr`actica 11. Continu¨ıtat
Objectiu. Estudiar la continu¨ıtat d’aplicacions de R2en R2quan es
consideren distintes dist`ancies.
Denotem per (R2,Tc) el pla amb la topologia associada a la m`etrica
de correus.
1.- Estudieu la continu¨ıtat de les aplicacions:
Id : (R2,Tc)→(R2,Te)iId : (R2,Te)→(R2,Tc).
2.- Estudieu la continu¨ıtat de les seg¨uents aplicacions de (R2,Tc) en
(R,Te):
a) π1(x1, x2) = x1π2(x1, x2) = x2.
b) f(x1, x2) = x1
x2, si x26= 0 i f(x1,0) = 0.
c) f(x1, x2) = x1
x2−1, si x26= 1 i f(x1,1) = 0.
3.- Estudieu la continu¨ıtat de les seg¨uents aplicacions de (R2,Te) en
(R,Te):
a) π1(x1, x2) = x1,π2(x1, x2) = x2.
b) f(x1, x2) = x1+x2,f(x1, x2) = x1·x2.
c) f(x1, x2) = x1
x2−1, si x26= 1 i f(x1,1) = 0.
4.- Siga (X, Td) un espai m`etric qualsevol. Demostreu que una apli-
caci´o f: (X, Td)→(R2,Te) ´es cont´ınua si i nom´es si les aplicacions f1
if2definides com f(x) = (f1(x), f2(x)) s´on aplicacions cont´ınues entre
els espais (X, Td) i (R,Te).
1