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DPT. FISICA APLICADA II - ETSIE - US
Cap´ıtulo 3
Fuerzas paralelas. Fuerzas
distribuidas
En el ´ambito de la Ingenier´ıa y, en particular, de la Edificaci´on, es frecuente encontrar elementos constructivos sometidos a fuerzas paralelas, que comparten una direcci´on com´un, establecida bien por consideraciones de dise˜no o por la propia naturaleza de las fuerzas implicadas. En particular, todos los elementos est´an sujetos a la acci´on de la fuerza de la gravedad, y los pesos de cada una de las part´ıculas constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Por otro lado, en el tema precedente se supuso que los puntos de aplicaci´on de las fuerzas estaban lo suficientemente separados unos de otros como para permitir discernirlos. Es decir, las fuerzas aplicadas sobre el s´olido r´ıgido eran de naturaleza discreta. Sin embargo, en muchas ocasiones, las fuerzas est´an distribuidas con continuidad sobre zonas del s´olido objeto de estudio, de modo que un enfoque discreto (“fuerza a fuerza”) es de entrada inabordable. Estas breves consideraciones justifican la necesidad de disponer de los con- ceptos e instrumentos de c´alculo necesarios para tratar estos otros sistemas de fuerzas presentes en la Edificaci´on.
3.1. Sistemas de fuerzas paralelas
Pi
Fi
u
FIGURA 3.1: Un s´olido r´ıgido plano sobre el que act´ua un sistema de fuer- zas paralelas.
Un sistema de fuerzas F~ 1 , F~ 2 ,... F~N , cuyas rectas de acci´on pasan respec- tivamente por los puntos P 1 , P 2 ,... PN es un sistema de fuerzas paralelas si
sistema de fuerzas paralelas
∀ i F~i = λi ~u (fig. 3.1), donde ~u es un vector que tiene la direcci´on de todas las fuerzas. La resultante de un sistema de fuerzas paralelas se puede expresar como
R^ ~ =
∑^ N
i=
λi ~u
( N
i=
λi
~u. (3.1)
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64 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
El momento de un sistema de fuerzas paralelas respecto al origen de coor- denadas se puede expresar como
M^ ~O =
∑^ N
i=
OP^ ~i × λi ~u
( N
i=
λi OP~ (^) i
× ~u, (3.2)
donde OP~ (^) i es el vector que va del origen de coordenadas a un punto cualquiera Pi de la recta de acci´on de la fuerza F~i. Es decir, R~ es paralela a ~u y M~O es perpendicular a ~u. Por lo tanto, los sistemas de fuerzas paralelas tienen invariante escalar igual a cero, aun cuando ni R~ ni M~O fuesen nulos.
3.1.1. Centro de un sistema de fuerzas paralelas
Supongamos un sistema de fuerzas paralelas en la direcci´on ~u y con R~ 6 = ~0. ¿Existe alg´un punto del eje central de ese sistema que se pueda calcular sin conocer ~u? Si ese punto existiera, siempre podr´ıamos aplicar en ´el una fuerza deslizante cuyas componentes coinciden con las de R~ que ser´ıa equivalente al sistema de fuerzas paralelas fuese cual fuese la orientaci´on del sistema de fuerzas paralelas. Llamemos G a ese punto. Por ser un punto del eje central de un sistema de invariante escalar igual a cero y R~ 6 = ~0, sabemos que M~G = ~0, de manera que el momento en el origen de coordenadas O (0, 0 , 0), no es m´as que (usando el teorema del centro de reducci´on):
M^ ~O = OG~ × R~
=
( N
i=
λi
OG^ ~ × ~u. (3.3)
Comparando (3.2) y (3.3), observamos que una posible soluci´on es ( (^) N ∑
i=
λi
OG^ ~ =
∑^ N
i=
λi OP~ (^) i. (3.4)
Entonces, el vector posici´on del punto G vendr´a dado por
OG^ ~ =
∑^ N
i=
λi OP~ (^) i
∑^ N i=
λi
N´otese que aunque G es independiente de la direcci´on de las fuerzas, s´ı de- pende de los puntos Pi donde se consideraron aplicadas las fuerzas. Por tanto, s´olo podremos aplicar en G una ´unica fuerza, equivalente al sistema de fuer- zas e independiente su orientaci´on, en tanto que no cambien los puntos Pi de aplicaci´on de las fuerzas. Para escribir las componentes cartesianas de OG~ se suele emplear la nota- ci´on OG~ = xG~ı + yG~ + zG~k. (3.6)
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66 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
Tambi´en puede buscarse el eje central por otros procedimientos, tal como el si- guiente: N´otese que la resultante del sistema es no nula y que por el hecho de ser un sistema de fuerzas paralelas, su segundo invariante es nulo. Por tanto, el mo- mento m´ınimo es nulo. Por otro lado, si se desliza a lo largo de su recta de acci´on la fuerza que est´a aplicada en C hasta colocarla en B (se recomienda hacer el dibujo para verlo) y se suma con la fuerza que ya hab´ıa en B, el sistema puede reducirse a dos fuerzas paralelas con el mismo sentido, la de la derecha de doble m´odulo que la de la izquierda, y separadas 3 m. El eje central debe ser una recta vertical tal que en sus puntos se anule el momento; por tanto, el eje central deber´a estar entre ambas fuerzas y al doble de distancia de la fuerza de la izquierda; tendr´a entonces de ecuaci´on x = − 1 m, como antes dedujimos.
(c) Al girar el tri´angulo, el centro del sistema pasa a tener coordenadas (xG, yG) = ( 43 , 1) m. Como sabemos que el eje central es una recta vertical que pasa por el centro del sistema de vectores paralelos, su ecuaci´on ser´a ahora x = 43 m.
3.2. Centro de gravedad y centro de masa
3.2.1. Centro de gravedad
centro de gravedad El centro de gravedad de un sistema de part´ıculas materiales es el centro del sistema de fuerzas formado por los pesos de las part´ıculas. Consideremos el sistema formado por N part´ıculas de pesos m 1 ~g 1 , m 2 ~g 2 ,
.. ., mN ~gN colocadas en los puntos P 1 , P 2 ,.. ., PN (~gi es la aceleraci´on de la gravedad en el punto Pi). Suponiendo que todas las ~gi son paralelas, ~gi = −gi ~k, aplicando la definici´on (3.5), el vector posici´on del centro de gravedad vendr´a dado por:
OG^ ~ =
∑^ N
i=
mi gi OP~ (^) i
∑^ N i=
mi gi
cuyas componentes cartesianas son:
x¯ =
∑^ N
i=
mi gi xi
∑^ N i=
mi gi
y¯ =
∑^ N
i=
mi gi yi
∑^ N i=
mi gi
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3.2 Centro de gravedad y centro de masa 67
z ¯ =
∑^ N
i=
mi gi zi
∑^ N i=
mi gi
siendo (xi, yi, zi) las componentes cartesianas de OP~ (^) i.
3.2.2. Centro de masa
El centro de masa de un sistema de part´ıculas materiales de masas m 1 , m 2 , centro de masa
.. ., mN colocadas en los puntos P 1 , P 2 ,.. ., PN , es el punto G que viene dado por:
OG^ ~ =
∑^ N
i=
mi OP~ (^) i
∑^ N i=
mi
cuyas componentes cartesianas son:
¯x =
∑^ N
i=
mi xi
∑^ N i=
mi
y¯ =
∑^ N
i=
mi yi
∑^ N i=
mi
z¯ =
∑^ N
i=
mi zi
∑^ N i=
mi
El centro de gravedad (3.10), supuesta la aceleraci´on de la gravedad cons- tante, coincide con el centro de masa de dicho sistema de part´ıculas. Esta condici´on se cumple, con muy buena aproximaci´on, para los cuerpos que se manejan habitualmente en Arquitectura T´ecnica. Para calcular el centro de masa de cuerpos continuos (y no s´olo para con- juntos de puntos materiales aislados) basta sustituir los sumatorios en (3.15)– (3.17), respectivamente, por integrales. As´ı, las coordenadas del centro de masa ser´ıan:
¯x =
M
x dm ∫ M
dm
y¯ =
M
y dm ∫ M
dm
z¯ =
M
z dm ∫ M
dm
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3.2 Centro de gravedad y centro de masa 69
x
y
O x
y
O x
y
O
FIGURA 3.2: Para calcular el centro de masa de la figura de la izquierda se puede proceder dividiendo en las dos porciones de la derecha y apli- cando la ec. (3.26).
Llamando
M 1 =
∑^ S
i=
mi,
M 2 =
∑^ N
i=S+
mi, (3.25)
podemos reescribir (3.22) como
OG^ ~ = M^1
OG~ 1 + M 2 OG~ 2
M 1 + M 2
Esta propiedad es muy ´util para el c´alculo de centros de masa de sistemas compuestos a partir de otros cuyo centro de masa sea sencillo de calcular. Tambi´en es ´util para el c´alculo del centro de masa de sistemas que se puedan expresar como resta de sistemas sencillos. En el ap´endice C se presentan los centros de masa de algunas l´ıneas y superficies planas homog´eneas.
3.2.4. Momento est´atico. Teoremas de Arqu´ımedes
El momento est´atico de un sistema de puntos materiales respecto a un plano momento est´atico es la suma de los productos de las masas por sus respectivas distancias al plano. Las distancias van afectadas de un signo que depende de si las part´ıculas est´an a un lado u otro del plano. As´ı, el momento est´atico de un sistema de N masas mi a distancias di del plano Π vendr´a dado por
MΠ =
∑^ N
i=
mi di. (3.27)
En el caso de sistemas continuos de densidad ρ = ρ(x, y, z), el momento est´atico respecto al plano Π vendr´a dado por
MΠ =
V
d ρ dV. (3.28)
En el SI el momento est´atico se mide en kilogramo-metro (kg m).
El momento est´atico de un sistema de puntos materiales respecto a un cierto plano es igual al momento est´atico del centro de masa suponiendo que toda la masa del sistema estuviese concentrada en ´el.
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70 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
FIGURA 3.3: En general, un plano que pase por el centro de masa no di- vide al sistema mec´anico en dos par- tes de igual masa ni de igual volumen ni de igual longitud.
G
G
En efecto, sea eligiendo un sistema de referencia cartesiano de manera que el plano xy coincida con Π, se puede escribir:
MΠ =
∑^ N
i=
mi zi
= ¯z
∑^ N
i=
mi
= d¯
∑^ N
i=
mi, (3.29)
donde d¯ es la distancia del centro de masa al plano Π. Por tanto, el momento est´atico respecto a cualquier plano que contenga al centro de masa es cero (ya que d¯ = 0) y viceversa: cualquier plano de momento est´atico cero contiene al centro de masa. Consecuencia de la propiedad anterior son los llamados teoremas de Ar- qu´ımedes, muy ´utiles para determinar el centro de masa de cuerpos homog´eneos sim´etricos:
Si un cuerpo homog´eneo tiene un plano de simetr´ıa el centro de masa est´a en dicho plano.
En efecto, basta con observar que un plano de simetr´ıa es un plano respecto al cual el momento est´atico del sistema de puntos materiales es nulo, por tener el sistema masas iguales a distancias iguales y opuestas respecto al plano.
Si un cuerpo homog´eneo tiene un eje de simetr´ıa el centro de masa est´a en dicho eje.
Arqu´ımedes (Siracusa, hacia 287 a. de J. C.; Siracusa, 212 a. de J. C.): Es uno de los m´as gran- des pensadores de la Antig¨uedad. En Matem´aticas, entre otras co- sas, determin´o el ´area del c´ırcu- lo, el per´ımetro de la circunferencia y un valor aproximado para π. En F´ısica, es el fundador de la Est´ati- ca (con las leyes de las palancas) y de la Hidrost´atica (con el teorema de Arqu´ımedes). En efecto, basta con observar que cualquier eje de simetr´ıa es la intersecci´on de dos o m´as planos de momento est´atico nulo.
Si un cuerpo homog´eneo tiene un centro de simetr´ıa dicho punto coincide con el centro de masa.
En efecto, basta con observar que cualquier centro de simetr´ıa es la inter- secci´on de tres o m´as planos de momento est´atico nulo. En general, un plano de momento est´atico nulo (es decir, un plano que pase por el centro de masa) no divide al sistema mec´anico en dos partes de igual masa ni de igual volumen ni de igual longitud; lo que es igual en ambas partes es la suma de los productos de las masas por sus correspondientes distancias al plano.
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72 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
3.3.2. Cargas planas rectas
carga plana recta Una carga plana recta es un sistema de fuerzas paralelas y con el mismo sentido distribuidas a lo largo de una l´ınea recta. En este texto estudiaremos ´unicamente cargas planas aplicadas perpendi- cularmente a una recta. Por ejemplo, el peso de la nieve que se ha acumulado sobre una viga horizontal se puede estudiar como una carga plana de este tipo. Si suponemos que el eje x de nuestro sistema de referencia coincide con la l´ınea de la viga, la carga distribuida se representa por la funci´on densidad lineal de carga, f (x), que se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud (N/m en el SI). Representaremos esta funci´on sobre el eje y de nuestro sistema de referencia (fig. 3.4). En esta representaci´on, a la superficie limitada por la den- sidad de carga se le llama superficie de carga. Esta superficie tiene dimensiones de fuerza puesto que en el eje horizontal tenemos longitudes y en el vertical x densidades lineales de carga.
f x ( )
y
O
FIGURA 3.4: Densidad de carga f (x) de una carga distribuida perpendicu- larmente sobre el eje x.
Seg´un la forma que tenga la superficie de carga hablaremos de cargas rec- tangulares o uniformemente distribuidas, en las que la densidad lineal de carga es constante en todos los puntos (fig. 3.5 arriba izda.), triangulares o unifor- memente variables (fig. 3.5 abajo izda.), trapezoidales, parab´olicas, irregulares, etc. Las cargas planas que estamos considerando en este texto pueden represen- tarse mediante un sistema de fuerzas paralelas de la forma
d F~ = dF (−~) = f (x) dx (−~). (3.33)
Dado que la resultante del sistema es no nula, ´este siempre puede reducirse a una fuerza ´unica igual a la resultante aplicada en el centro del sistema. La resultante tendr´a la misma direcci´on y sentido que la carga distribuida y su m´odulo se calcula como:
R =
dF
f (x) dx, (3.34)
FIGURA 3.5: Densidad de carga y superficie de carga de una carga rec- tangular (arriba izda.) y de una trian- gular (abajo izda.). Esas cargas son mec´anicamente equivalentes a una unica carga´ R~ cuya l´ınea de acci´on pasa por centroide de la superficie de carga (dcha.).
x^ x
R
y
O
x^ x
R
y
O
x
f x ( )
y
O
x
f x ( )
y
O
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3.3 Sistema de fuerzas distribuidas 73
donde la integral se extiende a la regi´on de aplicaci´on de la carga plana. Ahora bien, puesto que el integrando f (x) dx representa el elemento de ´area dS bajo la curva f (x) (fig. 3.6), el m´odulo de la resultante del sistema de fuerzas es igual al ´area encerrada bajo la funci´on f (x), que es el ´area de la superficie de carga y que suele denominarse carga total. (^) x
f x ( )
y
O
dx
FIGURA 3.6: Densidad de carga f (x) de una carga distribuida per- pendicularmente sobre el eje x. El “´area” sombreada, de anchura dx, vale f (x) dx.
Para hallar la coordenada x del centro del sistema de fuerzas paralelas basta sustituir, en la expresi´on (3.7), el sumatorio de las fuerzas extendido a todas las fuerzas discretas por la integral extendida a las fuerzas infinitesimales dF :
xG =
x dF ∫ dF
=
∫ xf^ (x)^ dx f (x) dx
=
∫x dS dS = ¯x, (3.35)
donde ¯x es la coordenada x del centroide de la superficie de carga. N´otese que, al ser las fuerzas distribuidas verticales, conociendo la coordenada ¯x del cen- troide de la superficie de carga la l´ınea de acci´on de la fuerza ´unica equivalente al sistema queda perfectamente determinada, sin necesidad de determinar la coordenada ¯y (fig. 3.5 dcha.).
PROBLEMA RESUELTO 3.2:
En la figura se muestra una viga sobre la que act´uan dos sistemas de fuerzas distribuidas y dos fuerzas puntuales.
(a) Halla el m´odulo F de las fuerzas puntuales y el valor de la carga total Pt de la distribuci´on triangular si queremos que el sistema completo de fuerzas sea nulo.
(b) Calcula en ese caso, de dos formas distintas, el centro de fuerzas paralelas del sistema formado por todas las fuerzas distribuidas.
(c) ¿Es posible reducir el sistema de fuerzas distribuidas a una ´unica fuerza apli- cada sobre la viga? En caso afirmativo, calcula el valor y punto de aplicaci´on de dicha fuerza puntual.
2 m 3 m 2 m
Pt Pr fr = 5 10 N/m^3
F F
PROBLEMA RESUELTO 3.
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3.3 Sistema de fuerzas distribuidas 75
Pt Pr + (^) =
+ =
x (^) G = 7/2 m
F 7 m ← F ←
xG
I G
P + Pt r ← ←
7/2 m 2 F
←
FIGURA P2b: Forma gr´afica de calcular del centro de fuerzas paralelas del sistema formado por todas las fuerzas distribuidas
As´ı, el centro de fuerzas paralelas es el punto G(xG, yG), con:
xG = Ptxt + Pr xr Pt + Pr
=
5 × 104 × 3 + 10^4 × 6
6 × 104
m. (P2.10)
yG =
Ptyt + Pr yr Pt + Pr
=
5 × 104 × 0 + 10^4 × 0
6 × 104
= 0 m. (P2.11)
(c) S´ı, por tratarse de un sistema de fuerzas paralelas (⇒ M~ · R~=0) de resultante no nula ( R~ 6 = 0). La fuerza puntual equivalente F~tot estar´ıa aplicada en el eje central del sistema, del cual conocemos el punto G, y tendr´ıa como componentes las de R~: F~tot = (0, − 6 × 104 ) N, aplicada en G( 72 , 0) m.
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76 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
Problemas propuestos
3.1. En la figura se muestra el techo en voladizo de un es- tadio deportivo, que junto a su soporte, se puede considerar como un s´olido r´ıgido de peso 200 kN aplicado en el centro de gravedad, de coordenadas G(3, 5) m. En el techo AB se tiene una fuerza uniformemente distribuida debida a la nie- ve, de densidad de carga 5/8 kN/m. En el lateral CD act´ua perpendicularmente una distribuci´on triangular de fuerzas debidas al viento, cuya densidad m´axima de carga se produ- ce en el punto C, donde su valor es 2/3 kN/m. Finalmente, la tensi´on del cable en el punto A vale T = 112 kN.
(a) Reduce cada fuerza distribuida a una sola fuerza equi- valente, indicando las componentes y punto de aplicaci´on de cada una. (b) Reduce el sistema formado por las fuerzas distribuidas, el peso y la tensi´on a un sistema fuerza-par equivalente en el punto O. (c) Reduce el sistema anterior a una ´unica fuerza equi- valente aplicada en el eje OY , indicando claramente las componentes de la fuerza y las coordenadas de su punto de aplicaci´on. (d) Halla la ecuaci´on del eje central del anterior sistema de fuerzas.
Nota: Considera cos 53◦^ = 35 , sen 53◦^ = 45.
53 o O
A B
D
G (3,5) m
y
x
9 m
8 m
T ¬ C^ 1 m
1 m PROBLEMA 3.
3.2. La figura representa un soporte publicitario forma- do por un panel OB unido r´ıgidamente a una estructura met´alica. La estructura met´alica est´a apoyada sin rozamien- to en A. Sobre el panel act´ua frontalmente la fuerza del viento, que puede tratarse como una distribuci´on de fuer- zas triangular, de modo que la densidad de fuerza en la
zona superior es 200 N/m. El peso del conjunto del panel y de la estructura met´alica es P = 700 N, y las coordenadas de su centro de masa en el sistema de referencia de la figura son G( 103 , 65 ) m. En las condiciones descritas, el m´odulo de la fuerza φ~ de reacci´on en el apoyo es φ = 550 N.
(a) Determina la fuerza equivalente, F~ , ejercida por el viento sobre el panel e indica su punto de aplicaci´on sobre el mismo. (b) Halla el sistema fuerza-par equivalente al sistema de fuerzas { F , ~P , ~ ~φ} en el punto O. (c) Reduce el sistema de fuerzas { F , ~ P , ~φ~} a una fuerza ´unica aplicada sobre el panel, y determina su punto de aplicaci´on. (d) Calcula la ecuaci´on del eje central del sistema de fuer- zas { F , ~P , ~ ~φ}.
1,2 m
4,5 m
200 N/m
O
A
B
x
y
G (3/10, 6/5) m
PROBLEMA 3.
3.3. Sobre las paredes de un muro homog´eneo de 2 kN de peso act´ua un conjunto de fuerzas distribuidas tal como se muestra en la figura. La densidad de carga m´axima de la distribuci´on triangular de la izquierda es 803 kN/m, la carga total de la distribuci´on triangular de la derecha vale 20 kN y la densidad de carga de la distribuci´on rectangular es de 20 kN/m.
(a) Calcula las coordenadas del centro de gravedad del muro.
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78 Fuerzas paralelas. Fuerzas distribuidas
(a) Reduzca la carga distribuida a una ´unica fuerza F~C equivalente, indicando su punto de aplicaci´on en la viga. (b) Calcule las coordenadas del centro de fuerzas paralelas del sistema S 1 formado por F~C y F~A. Reduzca S 1 a una sola fuerza equivalente, indicando su punto de aplicaci´on en la viga. (c) Reduzca el sistema de fuerzas S 2 formado por F~A, F~B y F~C a un sistema fuerza-par equivalente en el punto B. (d) Reduzca S 2 a una ´unica fuerza equivalente, indicando su punto de aplicaci´on en el eje OX. Determine la ecua- ci´on del eje central de S 2.
Nota: sen 53◦^ ' 4 / 5 , cos 53◦^ ' 3 / 5.
O B
A
a
FB
¬
FA
¬
l L
x
y (^) L l
a = 53
6 m 5 m o
PROBLEMA 3.
3.8. La figura representa un soporte r´ıgido de grosor des- preciable sometido a un sistema de fuerzas S formado por una distribuci´on de fuerza rectangular de densidad de car- ga f 1 = (3/2) kN/m, una distribuci´on de fuerza triangular cuya densidad de carga m´axima vale f 2 max = 20 kN/m, y una fuerza puntual de m´odulo F 3 = 4 kN.
(a) Reduzca S a un sistema fuerza-par en el punto O. (b) Determine una ´unica fuerza F~E equivalente a S apli- cada en alg´un punto del tramo AB, indicando claramente las componentes de la fuerza y las coordenadas del punto de aplicaci´on. Justifique su respuesta y los c´alculos reali- zados. (c) Determine la fuerza y el par que han de aplicarse en A para anular a S. Justifique su respuesta.
Datos adicionales: OA = 2 m, AB = 1, 5 m; sen 37 ◦^ ≈ 3 5 ,^ cos 37
PROBLEMA 3.
Cuestiones
3.1. Dado un sistema de fuerzas paralelas aplicadas sobre un s´olido r´ıgido con resultante no nula, podemos afirmar con toda seguridad que
(a) el momento en cualquier punto es nulo. (b) existe una infinidad de puntos en el espacio en los que el momento del sistema es nulo. (c) el centro del sistema es justamente el ´unico punto en el cual el momento del sistema es no nulo. (d) la resultante es perpendicular al eje central del siste- ma.
3.2. En una viga r´ıgida horizontal de 12 m de longitud se distribuyen 104 N de carga en los primeros 3 m, y otros 104 N de carga en los restantes 9 m, siendo ambas distribu- ciones de carga triangulares, como se muestra en la figura.
Entonces, la carga total sobre la viga se puede reducir a una carga puntual de valor 2 × 104 N aplicada
(a) a 3 m del extremo izquierdo de la viga, donde termina una carga y comienza la otra. (b) a 5 , 5 m del extremo izquierdo de la viga. (c) en el centro de la viga. (d) en cualquier punto de la viga.
I D
3 m 9 m
CUESTI ON 3.2´
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Cuestiones 79
3.3. En la figura se muestra un sistema material formado por un cuadrado y un cuadrante circular, ambos de igual masa. Sea E 1 y E 2 ejes de simetr´ıa del cuadrado y del cuadrante, respectivamente. Entonces,
(a) el centro de masa del conjunto est´a ubicado en el pun- to de intersecci´on de ambos ejes. (b) el conjunto de los dos cuerpos carece de centro de masa, pues no posee ning´un eje de simetr´ıa global, pero s´ı posee centro de gravedad. (c) el centro de masa est´a situado en la l´ınea de contacto entre los dos cuerpos, pues sus masas son id´enticas. (d) Ninguna de las otras respuestas es correcta.
E 1
E 2
CUESTI ON 3.3´
3.4. Sea la placa cuadrada homog´enea de la figura, de 8 kp de peso. Si le quitamos la porci´on menos sombreada, el nuevo peso de la placa, de m´odulo 6 kp, se aplicar´a en el punto
(a) G(− 1 , 0) m. (b) G(1, 0) m. (c) G(− 13 , 0) m. (d) G( 13 , 0) m.
2 2 m
y
x
CUESTI ON 3.4´
