¡Descarga Estatica dels olido rıgido y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
Cap´ıtulo 4
Est´atica del s´olido r´ıgido
4.1. Introducci´on
La est´atica del s´olido r´ıgido es un tema central dentro de la Mec´anica de la Ingenier´ıa de Edificaci´on, en el que haremos uso profuso de los conceptos ya estudiados en los temas precedentes (grados de libertad, leyes de Newton, est´atica de la part´ıcula, reducci´on de fuerzas, fuerzas distribuidas, etc.). Co- menzaremos estudiando las condiciones necesarias y suficientes del s´olido r´ıgido libre y ligado. Se analizar´an en detalle las ligaduras m´as frecuentes que se apli- can sobre los s´olidos r´ıgidos planos ligados. Por terminar, se estudiar´a la fuerza de rozamiento y la ruptura del equilibrio mediante el deslizamiento o el vuelco.
4.2. Equilibrio del s´olido r´ıgido libre
4.2.1. Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio
En el cap´ıtulo 1 se indic´o que las condiciones necesarias y suficientes de equilibrio un sistema de puntos materiales son que:
Cada punto material est´e inicialmente en reposo respecto del sistema de referencia inercial elegido.
La suma o resultante de todas las fuerzas que act´uan sobre cada uno de los puntos materiales sea nula.
Bas´andonos en este hecho, es posible obtener una condici´on necesaria de equi- librio simplificada para el sistema de puntos materiales, que involucra ´unica- mente a las fuerzas exteriores.
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
80 Est´atica del s´olido r´ıgido
FIGURA 4.1: S´olido r´ıgido inicial- mente en reposo respecto a un sis- tema de referencia inercial y sobre el que act´ua un conjunto de n fuer- zas exteriores F~ 1 , F~ 2 ,... , F~n (izda.). Dos part´ıculas del s´olido, j y k, se ejercen fuerzas internas, iguales y opuestas (dcha.).
® F 1
® Fn
z
O y
x
® fjk
® fkj
z
O y
x
k
j
® F 3
® F 2
Condiciones necesarias de equilibrio
Consideremos un sistema de N part´ıculas, inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial, y sobre el que act´ua un conjunto de n fuerzas fuerzas exteriores exteriores F~ 1 , F~ 2 ,... , F~n (fig. 4.1 izda.). Dichas fuerzas pueden ser debidas a la presencia de campos externos (gravitatorio, el´ectrico, magn´etico) o al contacto con otros cuerpos y part´ıculas que no forman parte del sistema. fuerzas interiores Cada part´ıcula del sistema estar´a adem´as sometida a fuerzas interiores, ejercidas por las restantes part´ıculas. En el caso de que el sistema de part´ıculas constituya un s´olido r´ıgido, las fuerzas internas son las que mantienen unidas y a distancia invariable las part´ıculas que lo forman. Denotaremos por f~jk a la fuerza que la part´ıcula k ejerce sobre la part´ıcula j. Por la tercera ley de Newton, las fuerzas han de ocurrir en parejas de la misma magnitud y de sentidos opuestos, por lo que f~jk = − f~kj. La condici´on de equilibrio del sistema de part´ıculas exige que la resultante, R^ ~j , de las fuerzas (internas y externas) aplicadas sobre cada part´ıcula sea nula.
R^ ~j = ~ 0. (4.1)
Por tanto, tambi´en habr´a de ser nula la suma del conjunto de todas las fuerzas aplicadas sobre el sistema de puntos materiales. Esto es,
∑^ N
j=
R^ ~j =
∑^ n
i=
F^ ~i +
∑^ N
j=
∑^ N
k= (k 6 =j)
f^ ~jk = ~ 0. (4.2)
Por otro lado, al ser nula la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada part´ıcula, tambi´en lo ser´a el momento de dichas fuerzas respecto un punto cualquiera O, M^ ~O( R~j ) = OP~ (^) j × R~j = ~ 0 , (4.3)
donde Pj es el punto del espacio ocupado por la part´ıcula j. L´ogicamente, tambi´en ser´a nula la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
82 Est´atica del s´olido r´ıgido
no se pueden representar por vectores deslizantes, sino por vectores ligados. Siguiendo el mismo razonamiento expuesto en la secci´on anterior se concluir´ıa que, en el equilibrio, deber´a cumplirse necesariamente que:
F^ ~ ′^ +
∑^ n
i=
F^ ~i = ~ 0 , (4.10)
M^ ~ ′^ +
∑^ n
i=
M^ ~O( F~i) = ~ 0. (4.11)
Pero teniendo en cuenta las ecs. (4.8) y (4.9) se concluye que
F^ ~ ′^ = ~ 0 , (4.12) M^ ~ ′^ = ~ 0. (4.13)
Por tanto, si el sistema de fuerzas que habr´ıa que a˜nadir es nulo, las condiciones (4.8) y (4.9), por s´ı solas, garantizan el equilibrio.
Resumen
Un s´olido r´ıgido libre estar´a en equilibrio siempre y cuando:
Todas las part´ıculas del s´olido est´en inicialmente en reposo respecto del sistema de referencia inercial.
La resultante de las fuerzas externas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido sea nula.
La suma de los momentos de todas las fuerzas externas en un punto sea nula.
Las ecs. (4.8) y (4.9) son dos ecuaciones vectoriales que podemos escribir como 6 ecuaciones escalares. Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas:
∑^ n
i=
Fxi = 0, (4.14)
∑^ n
i=
Fyi = 0, (4.15)
∑^ n
i=
Fzi = 0, (4.16)
donde Fxi es la componente seg´un la direcci´on x de la fuerza externa F~i, etc., y
∑^ n
i=
MOx( F~i) = 0, (4.17)
∑^ n
i=
MOy ( F~i) = 0, (4.18)
∑^ n
i=
MOz ( F~i) = 0, (4.19)
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.2 Equilibrio del s´olido r´ıgido libre 83
donde MOx( F~i) es la componente seg´un la direcci´on x del momento de la fuerza externa F~i en el punto O, M~O( F~i), etc. Las ecs. (4.14)–(4.16) garantizan que no se altera el equilibrio por movimientos de traslaci´on, y las ecs. (4.17)–(4.19) que no lo hace por movimientos de rotaci´on. Otras elecciones de coordenadas conducir´ıan a expresiones diferentes para las ecuaciones de equilibrio.
4.2.2. Equilibrio del s´olido r´ıgido en el plano
Importancia del caso plano
En este texto nos vamos a limitar al estudio del s´olido r´ıgido plano por su mayor sencillez. Adem´as, en muchos casos es posible estudiar la Est´atica de un sistema espacial analizando la est´atica de un s´olido r´ıgido plano sometido a un sistema de fuerzas contenido en ese mismo plano. Esto ocurre cuando el sistema de fuerzas que act´ua sobre un s´olido r´ıgido espacial puede reducirse a un sistema de fuerzas coplanario, por ejemplo:
(a) Cuando todas las fuerzas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido est´an conteni- das en un plano.
(b) Cuando la disposici´on de fuerzas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido sea sim´etrica respecto de un plano.
(c) Cuando la distribuci´on de fuerzas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido tenga simetr´ıa traslacional.
(d) Cuando se estudien las fuerzas del s´olido sobre un plano dado^1.
Numerosos problemas en Ingenier´ıa de Edificaci´on recaen en alguna de estas categor´ıas. Por otro lado, el estudio de los sistemas planos tambi´en es ´util en la medida que sirve de introducci´on al estudio de la est´atica de los sistemas espaciales.
Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio del s´olido r´ıgido en el plano
Las condiciones establecidas antes para el equilibrio de un s´olido r´ıgido se simplifican considerablemente en el caso de un plano. Eligiendo los ejes x e y en el plano del s´olido, se tiene
Fzi = 0, (4.20) MOx( F~i) = 0, (4.21) MOy( F~i) = 0, (4.22)
para cada una de las fuerzas exteriores aplicadas al s´olido. N´otese que las ecs. (4.21) y (4.22) son ciertas siempre que el punto O sea un punto del plano del s´olido (mientras que en las ecs. (4.17) y (4.18) eran ciertas en un punto arbitrario del espacio).
(^1) En este ´ultimo caso, las condiciones de equilibrio plano que se enunciar´an a continuaci´on para un s´olido plano son necesarias pero no suficientes para garantizar el equilibrio del s´olido espacial. En los tres casos anteriores son necesarias y suficientes.
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.3 Equilibrio del s´olido r´ıgido plano ligado 85
en los puntos A 1 , A 2 y A 3 (fig. 4.2). Calculemos los momentos de las tres fuerzas en el punto de intersecci´on O de las rectas de acci´on de dos de ellas, por ejemplo F~ 1 y F~ 2. En ese punto, M~O( F~ 1 ) = M~O( F~ 2 ) = ~0. Para que un s´olido r´ıgido est´e en equilibrio la suma de todos los momentos debe ser el vector nulo, por tanto tambi´en debe de ocurrir que M~O( F~ 3 ) = ~0. Por tanto, la recta de acci´on de F~ 3 tambi´en debe pasar por O.
F 2
F 3
O
F 1
A (^1) A 2
A 3
FIGURA 4.2: Sistema de tres fuerzas coplanarias que act´uan sobre un s´oli- do r´ıgido.
Algunas observaciones sobre el teorema de las tres fuerzas:
La concurrencia de tres fuerzas en un mismo punto implica que la ecuaci´on de equilibrio de los momentos se satisface en dicho punto. Sin embargo, no necesariamente ha de satisfacerse la ecuaci´on de equilibrio de las fuerzas.
Tambi´en puede haber equilibrio si las tres fuerzas son paralelas (interse- can en el infinito) puesto que en esa circunstancia s´ı podr´ıa verificarse la ecuaci´on de momentos.
El adjetivo “coplanarias” puede omitirse en las condiciones del teorema de las tres fuerzas ya que, si un sistema de tres fuerzas est´a en equilibrio, estas fuerzas necesariamente han de ser coplanarias. En efecto, consideremos tres fuerzas, F~ 1 , F~ 2 y F~ 3 , no necesariamente co- planarias, y tomemos un punto arbitrario P sobre la recta de acci´on de F~ 3. De la segunda condici´on de equilibrio (que la suma de los momentos en cualquier punto debe ser el vector nulo)
M^ ~P = M~P ( F~ 1 ) + M~P ( F~ 2 ) = ~ 0. (4.29)
Es decir, obtendremos
M^ ~P ( F~ 1 ) = − M~P ( F~ 2 ). (4.30)
Por tanto, los vectores M~P ( F~ 1 ) y M~P ( F~ 2 ) han de estar sobre la misma recta y tener sentidos opuestos. Recordando la definici´on de momento de una fuerza (como producto vectorial del vector posici´on del punto de aplicaci´on de la fuerza por el vector fuerza) se puede concluir que el plano subtendido por el vector F~ 1 y el punto P debe coincidir con el plano subtendido por el vector F~ 2 y el punto P. Por tanto, F~ 1 , F~ 2 y P est´an en el mismo plano. Como P es un punto arbitrario de la recta de acci´on de F~ 3 , la misma demostraci´on es v´alida para cualquier otro punto de la recta de acci´on de F~ 3. Por tanto, concluimos que F~ 1 , F~ 2 y F~ 3 est´an en el mismo plano.
4.3. Equilibrio del s´olido r´ıgido plano ligado
4.3.1. Condiciones de equilibrio
Seg´un se defini´o en el cap´ıtulo 1, un s´olido r´ıgido ligado es aqu´el que s´olido r´ıgido ligado est´a sometido a ligaduras externas. El principio de liberaci´on permite susti- tuir cualquier ligadura por un sistema de fuerzas conveniente. En el cap´ıtulo 2 se mostr´o que un sistema de fuerzas siempre se puede reducir a otro equivalente formado por una fuerza y un par. Por tanto, la acci´on de una ligadura puede
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
86 Est´atica del s´olido r´ıgido
representarse, en general, mediante una fuerza y un par, que llamaremos fuerza y momento de reacci´on vincular. Supongamos un s´olido sometido a m ligaduras. Las ecuaciones de equili- brio (4.8) y (4.9) que obten´ıamos para el caso libre se convierten en:
∑^ n
i=
F^ ~i +
∑^ m
j=
φ^ ~j = ~ 0 , (4.31)
∑^ n
i=
M^ ~O( F~i)+
∑^ m
j=
M^ ~O(φ~j ) +
∑^ m
j=
~μj = ~ 0 , (4.32)
donde, F~i son las fuerzas exteriores, M~O( F~i) sus momentos en un punto arbi- trario fijo O, φ~j las fuerzas de reacci´on vincular, M~O(φ~j ) sus momentos en O, y ~μj los momentos de reacci´on vincular (recu´erdese que el momento de un par es independiente del punto de reducci´on). En el caso plano y usando coordenadas cartesianas, las ecuaciones vectoria- les (4.31) y (4.32) dan lugar a las siguientes ecuaciones escalares:
∑^ n
i=
Fxi +
∑^ m
j=
φxj = 0, (4.33)
∑^ n
i=
Fyi +
∑^ m
j=
φyj = 0, (4.34)
∑^ n
i=
MOz ( F~i)+
∑^ m
j=
MOz (φ~j ) +
∑^ m
j=
μzj = 0. (4.35)
Dependiendo del v´ınculo de que se trate podr´an ser cero una o m´as de las 3 inc´ognitas de reacci´on vincular φxj , φyj y μzj asociadas al v´ınculo j.
4.3.2. Tipos de ligaduras en el plano
Clasificaci´on atendiendo al n´umero de coacciones Seg´un el n´umero de coacciones que ejercen las ligaduras puede establecerse la siguiente clasificaci´on:
Simples: son aqu´ellas que ejercen una ´unica coacci´on. Las hay de dos tipos:
- Aqu´ellas que obligan a un punto del s´olido r´ıgido a permanecer sobre una curva dada o a que una curva del s´olido r´ıgido (por ejemplo su contorno) permanezca en contacto con un punto fijo. Estas ligaduras se sustituyen por una ´unica fuerza de reacci´on vincular de direcci´on conocida (perpendicular a la curva) y m´odulo y sentido desconoci- dos. Son ligaduras que introducen, por tanto, una sola inc´ognita de reacci´on vincular (que se suele identificar con el m´odulo y sentido de la fuerza desconocida). Ejemplos de este tipo de ligaduras son el apoyo simple, la biela y el cable.
- Aqu´ellas que impiden la rotaci´on del s´olido r´ıgido pero no las tras- laciones. Estas ligaduras se sustituyen por un par cuyo momento de reacci´on vincular tiene direcci´on conocida (perpendicular al plano
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
88 Est´atica del s´olido r´ıgido
FIGURA 4.3: Diversos modos en que un s´olido r´ıgido puede estar apo- yado y fuerzas de reacci´on vincular correspondientes.
Rodillo, fig. 4.4 (a).
Rueda, fig. 4.4 (b).
Soporte de rodillos, fig. 4.4 (c).
Balanc´ın, fig. 4.4 (d).
Apoyos simples bilaterales o de doble efecto son:
El pasador en ranura lisa, fig. 4.5 (a).
La deslizadera o collar sobre ´arbol liso, fig. 4.5 (b).
N´otese que mientras que en las ligaduras de las figs. 4.3 y 4.4 un movimiento del s´olido puede hacer que esa ligadura desaparezca (al perderse el contacto), tal cosa no puede suceder en un apoyo simple de doble efecto.
FIGURA 4.4: Diversas maneras de construir apoyos simples: (a) rodillo, (b) rueda, (c) soporte de rodillos, (d) balanc´ın circular.
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.3 Equilibrio del s´olido r´ıgido plano ligado 89
FIGURA 4.5: (a) Pasador en ranura lisa y (b) deslizadera sobre ´arbol liso.
Biela
Una biela consiste en un s´olido r´ıgido articulado en dos puntos y sobre el que no act´ua ninguna fuerza con componentes normales al eje de la biela. El eje de la biela es la recta que une las dos articulaciones. En particular, el peso de la biela debe ser despreciable frente a las fuerzas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido. La biela es una ligadura simple, ya que ejerce una ´unica coacci´on sobre el s´olido r´ıgido al impedir su traslaci´on en la direcci´on del eje de la barra, permitiendo su traslaci´on en la direcci´on perpendicular. Su acci´on se sustituye por una fuerza
FIGURA 4.6: Biela.
de reacci´on vincular cuya direcci´on coincide con el eje de la biela, y de m´odulo y sentido desconocidos. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.6.
Cable
El cable (tenso) es un hilo inextensible de peso despreciable. Es una liga- dura simple que se sustituye por una ´unica a la fuerza de reacci´on vincular de direcci´on conocida (la del cable) y m´odulo desconocido. Esta fuerza de reacci´on vincular se llama tensi´on, pues coincide con la tensi´on del cable. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.7. El sentido de la fuerza de reacci´on vincular que sustitu- ye a un cable tenso es siempre hacia fuera del s´olido, mientras que en la biela puede tener ambos sentidos.
FIGURA 4.7: Cable tenso.
Es importante saber distinguir cuando un cable aplicado a un s´olido r´ıgido act´ua como una ligadura (cuando limita las posibles posiciones del s´olido) y cuando act´ua como un transmisor de una fuerza activa.
Articulaci´on
Una articulaci´on. (apoyo fijo, apoyo doble, perno liso o bisagra) impide las dos posibles traslaciones del s´olido r´ıgido y le permite s´olo girar alrededor del punto de articulaci´on. Es una ligadura doble, pues ejerce dos coacciones sobre el s´olido r´ıgido. Su acci´on se sustituye por una fuerza de reacci´on vincular de m´odulo, direcci´on y sentido desconocidos. Las dos inc´ognitas de reacci´on vincular son, por ejemplo, las dos componentes de esta fuerza seg´un un sistema de ejes cualesquiera con origen en la articulaci´on. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.8 (a).
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.3 Equilibrio del s´olido r´ıgido plano ligado 91
FIGURA 4.10: Clasificaci´on de los s´olidos r´ıgidos individuales atendien- do a su estabilidad: (a) isost´atico, (b) hiperest´atico, (c) mecanismo. La estabilidad del s´olido r´ıgido no de- pende de qu´e sistema de fuerzas ex- ternas aplique el monigote. Los apo- yos simples se suponen bilaterales.
fuerzas aplicadas satisfacen las ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, esto s´olo ocurrir´a para determinados conjuntos de fuerzas aplicadas. Para impedir cualquier movimiento posible de un s´olido r´ıgido es preciso que las ligaduras externas ejerzan al menos tantas coacciones, C, como grados de libertad pueda tener un s´olido r´ıgido libre, GSR libre. En el caso de un s´olido r´ıgido plano, GSR libre = 3, por lo que las ligaduras han de ejercer tres o m´as coacciones. Atendiendo a su estabilidad, los s´olidos r´ıgidos se clasifican en las siguientes categor´ıas:
Isost´atico. Un s´olido r´ıgido se dice que es isost´atico cuando el n´umero isost´atico coacciones es exactamente igual al de grados de libertad del s´olido r´ıgido libre. Por tanto, el n´umero de grados de libertad del sistema ligado es G = GSR libre − C = 0. Conocido el sistema de fuerzas externas, las ecuaciones de equilibrio por s´ı solas permiten resolver todas las inc´ognitas de reacci´on vincular. Se dice entonces que los sistemas isost´aticos est´an est´aticamente determinados. Son estables, pero si se elimina una coacci´on dejan de serlo. Se presenta un ejemplo en la fig. 4.10 (a).
Hiperest´aticos. Un s´olido r´ıgido se dice que es hiperest´atico cuando el hiperest´atico n´umero de coacciones es mayor que los grados de libertad del s´olido r´ıgido libre. El n´umero de grados de libertad es G = 0. Para caracterizar a estos s´olidos se define el grado de hiperestaticidad o grado de indeterminaci´on est´atica, H = |GSR libre − C|. Las inc´ognitas de reacci´on vincular son su-
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
92 Est´atica del s´olido r´ıgido
perabundantes y las ecuaciones de equilibrio, por s´ı solas, no permiten resolver todas las inc´ognitas de reacci´on vincular. Por ello se dice que los sistemas hiperest´aticos est´an est´aticamente indeterminados. Para deter- minar todas las inc´ognitas de reacci´on vincular es necesario abandonar el modelo de s´olido r´ıgido, adoptar el modelo de s´olido deformable y apli- car, adem´as de las ecuaciones de la Est´atica, m´etodos propios de la Elas- ticidad. Los s´olidos hiperest´aticos son estables y pueden seguir si´endolo eliminando hasta H coacciones adecuadamente escogidas. La fig. 4.10 (b) muestra un ejemplo de s´olido hiperest´atico.
inestable Inestables o mecanismos. Un s´olido r´ıgido se dice que es inestable o un mecanismo cuando el n´umero coacciones es inferior al de grados de mecanismo libertad del s´olido r´ıgido libre. Por tanto, G = GSR libre − C > 0. Basta con un subconjunto de las ecuaciones de equilibrio para resolver todas las inc´ognitas de reacci´on vincular. Las restantes G ecuaciones impondr´an condiciones sobre la configuraci´on del s´olido o las fuerzas aplicadas para que pueda haber equilibrio. Estos s´olidos son inestables y s´olo se hacen estables si se a˜naden v´ınculos que introduzcan G (o m´as) coacciones. La fig. 4.10 (c) muestra un ejemplo de s´olido r´ıgido inestable.
S´olidos impropiamente ligados
En la discusi´on anterior se ha supuesto que cada coacci´on ejercida por las ligaduras suprime un grado de libertad del s´olido r´ıgido. Sin embargo, la in- correcta disposici´on de las ligaduras puede generar situaciones en las que esto no es as´ı. Dos ejemplos de ello se muestran en la figura 4.11: los s´olidos est´an vinculados al exterior mediante tres apoyos simples, cada uno de los cuales ejerce una coacci´on. Sin embargo, el conjunto de las ligaduras s´olo suprime dos grados de libertad (en lugar de tres), pues el s´olido de la izquierda tiene la posibilidad de desplazarse horizontalmente, y el de la derecha puede rotar en torno al punto O. En este ejemplo, la disposici´on incorrecta de las ligaduras se debe a las siguientes circunstancias:
Las rectas de acci´on de las fuerzas de reacci´on vincular debidas a los apoyos son paralelas entre s´ı.
Las rectas de acci´on de las fuerzas de reacci´on vincular debidas a los apoyos se cortan en un punto O.
Cuando las ligaduras se disponen de forma incorrecta, el recuento de los grados de libertad atendiendo s´olo al n´umero de coacciones es err´oneo. Se dice impropiamente ligado entonces que el s´olido r´ıgido est´a impropiamente ligado, o que las ligaduras est´an dispuestas impropiamente. Adem´as, en estos casos, las ecuaciones de equilibrio por s´ı solas no permiten la determinaci´on de todas las inc´ognitas de reacci´on vincular, a´un cuando el n´umero de coacciones sea C ≤ 3. Por tanto, el s´olido r´ıgido est´a ´estaticamente indeterminado. La disposici´on impropia de las ligaduras puede afectar a la clasificaci´on del s´olido r´ıgido ligado que, atendiendo al recuento de coacciones, debiera ser en principio isost´atico o hiperest´atico. As´ı, un s´olido r´ıgido ligado impropiamente mediante v´ınculos que pueden ejercer tres coacciones no ser´a isost´atico, sino pseudo-isost´atico un mecanismo (G > 0), y se le clasifica como pseudo-isost´atico. Si el s´olido r´ıgido recibe m´as de tres coacciones y est´a impropiamente ligado, podr´ıa ocurrir
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
94 Est´atica del s´olido r´ıgido
(a) La fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas F~ 1 , F~ 2 , F~ 3 ser´a una fuerza ´unica igual a la resultante R~ aplicada sobre un punto Q del s´olido r´ıgido, tal que su momento en un punto cualquiera sea el mismo que el momento total del sistema en dicho punto. Eligiendo los ejes horizontal y vertical como ejes coordenados, tenemos: F~ 1 = (100, 0) N; F~ 2 = (0, −500) N; F~ 3 = (500, 0) N. R~ = (100, 0) + (0, −500) + (500, 0) = (600, −500) N. Tomemos como centro de reducci´on O la intersecci´on de los brazos de la cruz; resulta: MO = − 0 ,6 100 − 0 ,9 500 + 0,6 500 = − 210 N m; M~O = − 210 ~k N m Si Q est´a situado en el v´astago horizontal sus coordenadas son (x, 0), de donde: M^ ~O = − 210 ~k = OQ~ × R~ = (x, 0) × (600, −500) = − 500 x ~k y, por tanto, x = 0, 42 m. Aunque no lo piden, es ´util saber que entonces el eje central es la recta paralela a la direcci´on de R~ que contiene al punto Q(0, 42 , 0) m: x − 0 , 42 600
y − 0 − 500 , y = − 0 , 83 x + 0, 35 m. (P1.1)
(b) Ser´a posible aplicar la fuerza ´unica equivalente sobre el v´astago vertical si el eje central lo interseca en alg´un punto Q′. As´ı, para x = 0 obtenemos y = 0 ,35 m < 0 , 6 m, luego s´ı es posible aplicar la fuerza R~ en el punto Q′(0, 0 ,35) m. Tambi´en podr´ıamos obtener este punto repitiendo el c´alculo del apartado (a) para el punto (0, y).
A B
f A^ ←
f A x
f A y f B^ ←
R ←
Q G Q' O
y
x
1,49 m 2,22 m
0,35 m
0,6 m
+
FIGURA P1a: Resoluci´on del aparta- do (c).
(c) Por comodidad de c´alculo, en el diagrama de fuerzas que act´uan sobre el s´olido r´ıgido (fig. P1a) sustituimos las tres fuerzas activas por su equivalente R~ previa- mente calculada (aplicada en Q, aunque ser´ıa indiferente considerarla aplicada en Q′), y colocamos la cuarta fuerza activa que act´ua sobre el s´olido r´ıgido, el peso, en el centro de masa G del s´olido r´ıgido. Completamos el diagrama con las fuerzas de reacci´on en los v´ınculos A (articulaci´on) y B (apoyo simple). Fuerzas que act´uan: φ~A, ~φB , R, ~ P~. Articulaci´on en A: ~φA = (φAx, φAy ). Apoyo simple en B: φ~B = (0, φB ). Para conocer el punto de aplicaci´on de la fuerza peso P~ = (0, −100) N, deter- minamos previamente la posici´on del centro de masa G del conjunto de ambos v´astagos: Por simetr´ıa y ser el s´olido homog´eneo, G se encuentra sobre el v´astago horizontal, de modo que yG = 0. Desde el extremo A calculamos la coordenada xG. La posici´on del centro de masa de la barra horizontal es xH = 22 ,^7 m. En la barra vertical directamente observamos xV = 1, 8 m. La posici´on del centro masa es la del centroide por ser homog´eneo: xG = (lH xH + lV xV )/(lH + lV ) = 1, 49 m. Entonces, finalmente, las ecuaciones de equilibrio son: ∑ Fx = 0 : φAx + 600 = 0, (P1.2) ∑ Fy = 0 : φAy + φB − 500 − 100 = 0, (P1.3) ∑ MA = 0 : 0 , 6 φB − 1 ,49 100 − 500 2,22 = 0, (P1.4)
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.3 Equilibrio del s´olido r´ıgido plano ligado 95
de donde obtenemos:
φAx = −600 N, (P1.5) φB = 2098 N, (P1.6) φAy = −1498 N, (P1.7)
donde el signo menos de φAx significa que el sentido se esa componente es contrario al que elegimos en el diagrama de fuerzas.
Luego φ~A = (− 600 , −1498) N y ~φB = (0, 2098) N.
PROBLEMA RESUELTO 4.2:
El extremo A de la barra homog´enea AB de la figura puede deslizar por un riel vertical. La superficie esf´erica sobre la que se apoya AB tiene 5 cm de radio. Calcula:
(a) La longitud AB de la barra para que en su posici´on de equilibrio forme 60 ◦ con la vertical. Hacerlo anal´ıtica y geom´etricamente.
(b) Las fuerzas de reacci´on vincular en A y en C si la masa de la barra es 30 kg.
Nota: Desprecia los rozamientos en la deslizadera y el apoyo.
A
C
B
O (^) 5 m
60
o
PROBLEMA RESUELTO 4.
Soluci´on:
(a) Que la barra est´e en equilibrio en esa configuraci´on significa que la suma de fuerzas sobre la barra y la suma de sus momentos en cualquier punto deben ser nulas, teniendo en cuenta las fuerzas que aparecen en el siguiente diagrama de s´olido libre con la configuraci´on dada:
Comenzamos resolviendo el apartado (a) de manera anal´ıtica (planteando las ecua- ciones de equilibrio). Teniendo en cuenta los ejes coordenados elegidos en la
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
4.4 Rozamiento 97
como antes.
(b) Si mAB = 30 kg, entonces el peso de la barra es P = 300 N, de forma que sustituyendo en las soluciones (P2.4) y (P2.5) obtenemos las fuerzas de reacci´on pedidas:
φC =
≃ 346 ,4 N, (P2.8)
φA = −
≃ − 173 ,2 N, (P2.9)
donde el signo menos de φA significa que esta reacci´on va a tener sentido contrario al que nosotros elegimos en el diagrama de fuerzas.
Y finalmente expresamos las fuerzas de reacci´on en forma vectorial:
φ^ ~C = (^300 √ 3
, 300) N, (P2.10)
φ^ ~A = (0, − 300 √ 3
) N, (P2.11)
donde hemos usado que φCx = φC cos 60◦, φCy = φC sen 60◦, y que el signo menos de φA cambiar´ıa el sentido del vector en el diagrama P2a, quedando as´ı en el sistema coordenado elegido con la componente horizontal negativa.
4.4. Rozamiento
4.4.1. Introducci´on
Un s´olido r´ıgido en contacto con una superficie recibe la acci´on de un sistema de fuerzas distribuidas sobre la superficie de contacto. Ese sistema se puede reducir en un punto A a una fuerza deslizante con las mismas componentes que la resultante del sistema, y un par de momento igual al momento en A del sistema. En el caso de un s´olido r´ıgido plano, el sistema de fuerzas distribuidas es coplanario. Por tanto, siempre se podr´a reducir a una ´unica fuerza deslizante, R~, con las mismas componentes que la resultante del sistema, aplicada en un punto Q de su eje central. Como el sentido de las fuerzas distribuidas es siempre desde la superficie de apoyo hacia el s´olido r´ıgido, el punto donde se ha de aplicar la fuerza R~ estar´a comprendido entre los extremos que limitan la superficie de contacto. La fuerza R~ puede descomponerse en dos componentes: una perpendicular a la superficie de contacto, que se llama fuerza normal y se representa por N~, y otra tangente a la superficie, denominada fuerza de rozamiento y que se denota por F~R. En un problema de rozamiento t´ıpico suele haber tres inc´ognitas: el m´odulo de N~, el m´odulo de F~R y el valor de la coordenada que determina el punto Q. Una vez conocido Q, la fuerza R~ (o N~ y F~R) puede deslizar sobre sus recta de acci´on, pues por tratarse de una fuerza aplicada sobre un s´olido r´ıgido se representa mediante un vector deslizante.
DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
98 Est´atica del s´olido r´ıgido
Superficies en contacto μe μd
acero sobre acero 0 , 74 0 , 57 aluminio sobre acero 0 , 61 0 , 47 cobre sobre acero 0 , 53 0 , 36 caucho sobre hormig´on 1 , 0 0 , 8 madera sobre madera 0 ,25–0, 5 0 , 2 vidrio sobre vidrio 0 , 94 0 , 4 madera encerada sobre nieve mojada 0 , 14 0 , 1 madera encerada sobre nieve seca – 0 , 04 metal sobre metal (lubricado) 0 , 15 0 , 06 hielo sobre hielo 0 , 1 0 , 03 tefl´on sobre tefl´on 0 , 04 0 , 04
TABLA 4.1: Coeficientes de rozamiento est´atico μe y din´amico μd. para diferentes superficies en contacto. Los valores dependen del grado de pulimento de las superficies y de la temperatura.
4.4.2. Leyes de Amontons-Coulomb del rozamiento est´atico
y en deslizamiento
A´un en nuestros d´ıas no existe una teor´ıa capaz de abarcar todos los as- pectos de rozamiento. Para la mayor parte de las aplicaciones en el ´ambito de la Arquitectura basta con estudiar lo que se llama el rozamiento est´atico o rozamiento seco, que es el que existe mientras hay equilibrio. Este equilibrio se puede romper bien por deslizamiento, bien por vuelco. Fuera del equilibrio se habla de rozamiento din´amico. El estudio experimental del rozamiento est´atico y del rozamiento din´amico en deslizamiento se debe a Amontons y Coulomb.
Guillaume Amontons (Par´ıs, 1663; Par´ıs, 1705): Estudi´o ex- perimentalmente el rozamiento y supuso, por vez primera, la existencia del cero absoluto de temperatura.
Charles Augustin de Coulomb (Angoulˆeme, 1736; Par´ıs, 1806): Estudi´o el rozamiento y la torsi´on y descubri´o la ley de Coulomb de la electrost´atica (1795).
Para ilustrar el comportamiento de la fuerza de rozamiento conviene consi- derar el siguiente experimento. Sea un s´olido r´ıgido plano de forma rectangular, homog´eneo y de peso P~ , que se encuentra sobre una superficie horizontal. So- bre el v´ertice superior derecho de este cuerpo tira una fuerza horizontal F~ , de m´odulo creciente e inicialmente cero. Puesto que los desplazamientos normales a la superficie est´an impedidos, la fuerza normal ser´a igual y opuesta al peso del cuerpo, N~ = − P~. En cuanto a la fuerza de rozamiento, se encuentra experi- mentalmente que depende de la fuerza aplicada seg´un se muestra en la fig. 4.12. Inicialmente, la fuerza de rozamiento crece en respuesta a la fuerza aplicada, siendo ambas iguales en modulo (F = FR) aunque de sentidos opuestos. El s´olido r´ıgido se encuentra por tanto en equilibrio. Sin embargo, para un cierto valor de F , la fuerza de rozamiento alcanza su m´aximo valor posible. A partir de dicho momento, si se contin´ua aumentando la fuerza aplicada, la fuerza de rozamiento disminuye ligeramente y se tendr´a que F > FR. En consecuencia, se rompe el equilibrio y el cuerpo empezar´a a deslizar. Del resultado de m´ultiples estudios experimentales sobre el deslizamiento de los s´olidos se deducen las siguientes leyes aproximadas:
- La fuerza de rozamiento es independiente del ´area de las superficies en contacto.
- El valor m´aximo posible de la fuerza de rozamiento es directamente pro- porcional al m´odulo de la fuerza normal. Esta relaci´on de proporcionali-
