¡Descarga Apunts Matrius, espais vectorials, diagonalització y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Tema 1
Matrius i sistemes lineals
1.1 Teorema de Laplace
Definició 1.1.1. Sigui M ∈ M n (R) una matriu n × n. Si n > 1 , anomenarem determi-
nant de M (abreviat det M ) a l’expressió següent:
det M
def
n ∑
j =
m 1 ,j
1+ j det M 1 ,j
on M i,j denota la submatriu que s’obté traient la fila i i la columna j de M. En el cas
n = 1, el determinant serà igual a l’únic coeficient de la matriu.
Teorema 1.1.2. Teorema de Laplace.
L’expansió del determinant per la primera fila és equivalent a a l’expansió del determinant
per qualsevol fila o columna.
Demostració. La demostració del teorema parteix de la demostració de cada un dels lemes
1.1.3, 1.1.4, i 1.1.6—que s’enuncien i es demostren a continuació del teorema.
Un cop demostrats els lemes 1.1.3, 1.1.4, i 1.1.6 la demostració del teorema complet és
gairebé immediata. Ja s’ha demostrat que l’expansió per la i-èsima fila és equivalent
a l’expansió per primera fila (lema 1.1.6), i que aquesta és equivalent a l’expansió per
primera columna (lema 1.1.3). Podem fer exactament el mateix raonament que hem
fet per demostrar el lema 1.1.6, però per columnes en lloc de files, per demostrar que
l’expansió per primera columna és equivalent a l’expansió per la j-èsima columna. Per
tant queda demostrat que expandir per la i-èsima fila és equivalent a expandir per la
j-èsima columna.
Lema 1.1.3. L’expansió del determinant per la primera fila és equivalent a l’expansió
del determinant per la primera columna:
det M =
n ∑
j =
m 1 ,j · (−1)
1+ j det M 1 ,j =
n ∑
i =
m i, 1 · (−1)
i + det M i, 1
2 TEMA 1. MATRIUS I SISTEMES LINEALS
Demostració. Sigui A ∈ M n (R). Per n = 2 és cert:
det A =
2 ∑
j =
a 1 j · (−1)
1+ j det A 1 j = a 11
∣ ∣ ∣a 22
∣ ∣ ∣ − a 12
∣ ∣ ∣a 21
∣ ∣ ∣ =
= a 11 a 22 − a 12 a 21
= a 11
∣ ∣ ∣a 22
∣ ∣ ∣ − a 21
∣ ∣ ∣a 12
∣ ∣ ∣ =
2 ∑
i =
a i 1 · (−1)
i + det A i 1.
Suposem que és cert per n − 1 , per un valor arbitrari de n > 2 (hipòtesi d’inducció). El
determinant d’A ∈ M n (R) vindrà donat per
det A =
n ∑
j =
a 1 ,j · (−1)
1+ j det A 1 ,j. (1.1)
El primer terme d’aquesta expressió serà a 1 , 1
· C
1 , 1 , on C 1 , 1
1+ · det A 1 , 1 = det A 1 , 1
Aquest coincideix exactament amb el primer terme de l’expansió per primera columna.
Analitzem la resta de termes (j > 1 ). Sigui
A
def = A 1 ,j i siguin ˜a `,m els seus elements. La
matriu
A és d’ordre n − 1 ; per tant, per hipòtesi d’inducció, el seu determinant es pot
calcular expandint per la primera columna:
det
A =
n − 1 ∑
` =
a ˜ `, 1
` + det
A
`, 1
Com que aquesta matriu s’obté eliminant la primera fila i la j-èsima columna (on, re-
cordi’s, j > 1 ), es té l’equivalència ∀≤ n − 1 : ˜a _,_ 1 = a ` +1 , 1
. De manera similar,
A ,_ 1 = (A 1 _,j_ ) _, 1 = A(1 ,` +1) , ( j, 1), on la notació M( a,b ) , ( α,β ) denota la submatriu que s’obté
eliminant les files a, b i les columnes α, β de la matriu M. Visualitzant-ho:
A =
a 1 , 1 a 1 , 2 · · · a 1 ,n
a 2 , 1 a 2 , 2 · · · a 2 ,n
a n, 1 a n, 2 · · · a n,n
A
1 ,j
1 ··· j − 1 j ··· n − 1
a 2 , 1 · · · a 2 ,j − 1 a 2 ,j + · · · a 2 ,n 1
a n , 1 · · · a n,j − 1 a n,j + · · · a n,n n − 1
A
`, 1
a 2 , 2 · · · a 2 ,j − 1 a 2 ,j + · · · a 2 ,n
a ,_ 2 · · · a _,j − 1 a ,j_ +1 · · · a _,n
a _ +2 _,_ 2 · · · a _ +2 ,j − 1 a _ +2 _,j_ + · · · a _ +2 ,n
a n, 2 · · · a n,j − 1 a n,j + · · · a n,n
= A
(1 ,` +1) , ( j, 1)
Per tant podem escriure (1.2), fent el canvi d’índex k
def
= ` + 1, com
det A 1 ,j
n ∑
k =
a k, 1
k det A (1 ,k ) , ( j, 1)
4 TEMA 1. MATRIUS I SISTEMES LINEALS
Suposem que és cert per n − 1 , per un valor arbitrari de n > 2 (hipòtesi d’inducció).
Sigui A una matriu n × n i B la matriu obtinguda intercanviant les files r i r + 1 d’A.
A =
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
a r, 1 · · · a r,n
a r +1 , 1 · · · a r +1 ,n
a n, 1 · · · a n,n
, B =
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
a r +1 , 1 · · · a r +1 ,n
a r, 1 · · · a r,n
a n, 1 · · · a n,n
A partir del lema 1.1.3, podem calcular el determinant de B expandint per la primera
columna:
det B =
n ∑
i =
b i, 1
i + det B i, 1
Per tots els índex i tals que i 6 = r ∧ i 6 = r + 1, els coeficients b i, 1 i a i, 1 són equivalents;
d’altra banda,
∀i /∈ {r, r + 1} : B i, 1
= (A
i, 1
fr f r + , (1.10)
on el superíndex f r f r + denota que s’intercanvien de posició les files r i r + 1. Intuï-
tivament, això és el mateix que constatar que intercanviar primer les files (d’on s’obté la
matriu B) i després obtenir la submatriu (ergo, B i, 1 ) és equivalent a obtenir en primer
lloc la submatriu (ergo, A i, 1 ) i intercanviar les files després (d’on s’obté (A i, 1
fr fr + ).
La submatriu B i, 1 és d’ordre n − 1 ; llavors, utilitzant l’hipòtesi d’inducció en el fet (1.10),
es té que det B i, 1 = − det A i, 1
. Per tant, utilitzant aquestes equivalències en l’eq. (1.9),
det B = −
∑
i / ∈{ r,r +1}
a i, 1
i + det A i, 1
r + det B r, 1
( r +1)+ det B r +1 , 1
(s’han separat els termes i = r i i = r + 1 de la suma, ja que per aquests no valen les
equivalències anteriors). En el cas on i = r, es té que b r, 1 = a r +1 , 1 —ja que B s’ha obtingut
intercanviant les files r i r + 1 en A. Per la mateixa raó, B r, 1 = A r +1 , 1 , ja eliminar la fila
r en B és equivalent a eliminar la fila r + 1 en A (aquí “equivalent” vol dir que s’obté la
1.1. TEOREMA DE LAPLACE 5
mateixa submatriu):
B
r, 1
a 1 , 1 a 1 , 2 · · · a 1 ,n
a r − 1 , 1 a r − 1 , 2 · · · a r − 1 ,n
a r +1 , 1 a r +1 , 2 · · · a r +1 ,n
a r, 1 a r, 1 · · · a r,n
a r +2 , 1 a r +2 , 2 · · · a r +2 ,n
a n, 1 a n, 2 · · · a n,n
A
r +1 , 1
a 1 , 1 a 1 , 2 · · · a 1 ,n
a r − 1 , 1 a r − 1 , 2 · · · a r − 1 ,n
a r, 1 a r, 1 · · · a r,n
a r +1 , 1 a r +1 , 2 · · · a r +1 ,n
a r +2 , 1 a r +2 , 2 · · · a r +2 ,n
a n, 1 a n, 2 · · · a n,n
De manera similar, b r +1 , 1 = a r, 1 i B r +1 , 1
= A
r, 1
Per tant, els últims dos termes de l’expressió (1.12) es poden reescriure com
a r +1 , 1
r + det A r +1 , 1
a r, 1 · (−1)
( r +1)+ det A r, 1.
Observem que ara en cada terme tot està “en funció de” r i r + 1, respectivament,
exceptuant l’exponent del − 1. Utilitzant la identitat ∀a ∈ Z : (−1)
a = −(−1)
a ± 1 , podem
tornar a reescriure com
−a r +1 , 1
( r +1)+ det A r +1 , 1
−a r, 1
r + det A r, 1
Finalment, a partir d’això podem simplificar l’expressió (1.11) reintroduint aquests termes
al sumatori:
det B = −
∑
i / ∈{ r,r +1}
a i, 1
i + det A i, 1
− a r +1 , 1
( r +1)+ det A r +1 , 1
− a r, 1
r + det A r, 1
n ∑
i =
a i, 1
i + det A i, 1
.
L’expressió entre parèntesis és el determinant de la matriu A (expansió per primera
columna). Per tant, det B = − det A.
1.2. PROPIETATS DEL DETERMINANT 7
Desenvolupem det B segons la seva definició.
det B =
n ∑
j =
b 1 ,j
1+ j det B 1 ,j
Per construcció, b 1 ,j = a i,j per tot j. D’altra banda, la matriu B 1 ,j és equivalent a la
matriu A i,j —ja que, novament per construcció, la primera fila de B és la i-èsima fila d’A;
vegi’s el diagrama anterior per visualitzar-ho. Per tant, (1.14) es pot reformular com
det B =
n ∑
j =
a i,j · (−1)
1+ j det A i,j. (1.15)
Unint les equacions (1.13) i (1.15), obtenim
det A = (−1)
i − 1
n ∑
j =
a i,j
1+ j det A i,j
n ∑
j =
i − 1 · a i,j · (−1)
1+ j det A i,j =
n ∑
j =
a i,j
i + j det A i,j
Aquesta darrera expressió és l’expansió del determinant d’A per la i-èsima fila.
1.2 Propietats del determinant
Proposició 1.2.1. El determinant de la matriu A
′ que s’obté multiplicant una fila o una
columna sencera d’una matriu A ∈ M n (R) per un escalar λ ∈ R és
det A
′ = λ det A.
Demostració. A partir del teorema de Laplace, podem calcular el determinant d’A
′ mit-
jançant l’expansió per la fila o columna que ha estat multiplicada; per exemple, si la s’ha
multiplicat per λ la fila k:
det A
′
n ∑
j =
a
′
k,j
· C
k,j
n ∑
j =
λa k,j
· C
k,j = λ
n ∑
j =
a
′
k,j a k,j
· C
k,j = λ det A.
Proposició 1.2.2. Siguin A, B ∈ M n (k) matrius que difereixen només en els coeficients
d’una fila o d’una columna (com a màxim). Sigui la matriu M la matriu que s’obté
sumant les dues files/columnes diferents D’A i B i deixant la resta de coeficients iguals
(que a A i a B). Llavors
det M = det A + det B
8 TEMA 1. MATRIUS I SISTEMES LINEALS
Demostració. Sigui k l’índex de la columna diferent entre A i B. Pel teorema de Laplace,
podem expandir el determinant de M per la k-èsima columna:
det M =
n ∑
i =
m i,k · C i,k =
n ∑
i =
(a i,k + b i,k ) · C i,k =
n ∑
i =
a i,k
· C
i,k
n ∑
i =
b i,k
· C
i,k = det A + det B.
Es pot fer exactament el mateix raonament per files. Noteu, a més, que els cofactors C i,k
són iguals per totes tres matrius, ja que, excepte la k-èsima columna/fila, tota la resta
de columnes/files són iguals.
Proposició 1.2.3. Per qualsevol A ∈ M n (k), si A conté dues files (o columnes) iguals
entre elles, llavors det A = 0.
Demostració. Siguin r i s els índex de les files idèntiques en A. Sigui B la matriu que
s’obté intercanviant les files r i s d’A. Llavors, per una banda, det B = det A ja que les
dues matrius són idèntiques. D’altra banda, pel lema 1.1.4 det B = − det A. Per tant,
det A = − det A ∴ det A = 0.
El mateix raonament és vàlid per columnes també.
Proposició 1.2.4. Si sumem un múltiple d’una fila/columna d’A ∈ M n (k) a una fi-
la/columna diferent, el determinant d’A no canvia.
Demostració. Sigui B la matriu que s’obté sumant la fila r d’A a la fila s (on r 6 = s). Sigui
A la matriu que s’obté reemplaçant la r-èsima fila d’A per la s-èsima fila multiplicada
per l’escalar λ ∈ R. És a dir,
A =
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
a r, 1 · · · a r,n
a s, 1 · · · a s,n
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
A =
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
λa s, 1 · · · λa s,n
a s, 1 · · · a s,n
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
Per la propietat que s’enuncia en 1.2.2,
det B = det A + det
A. (1.17)
Sigui la matriu
A
′ la matriu que s’obté reemplaçant la r-èsima fila d’A per la s-èsima fila
(sense multiplicar per λ):
A
′
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
a s, 1 · · · a s,n
a s, 1 · · · a s,n
a 1 , 1 · · · a 1 ,n
10 TEMA 1. MATRIUS I SISTEMES LINEALS
Llavors, per la proposició 1.2.1, det E = λ det Id = λ.
iii) Les matrius de tipus E 3 són la identitat amb una de les files multiplicada per un
escalar λ sumada a una de diferent. Per exemple,
E =
1 0 · · · λ · · · 0
Sigui E una matriu arbitrària d’aquest tipus. Per la proposició 1.2.2, el determinant
d’E és el mateix que el de la identitat, i per tant det E = 1.
iv) Sigui M ∈ M n (k) una matriu qualsevol, siguin
M
1
M
2 i
M
3 les matrius que s’obte-
nen aplicant transformacions elementals qualssevol de tipus 1, 2 i 3 respectivament
i siguin E 1
, E
2 i E 3 les matrius elementals corresponent (respectivament). D’una
banda, per les proposicions 1.1.4, 1.2.1 i 1.2.2, tenim que
det
M
1 = − det M, det
M
2 = λ det M i det
M
3 = det M ,
respectivament. D’altra banda, per les proposicions de i), ii) i iii), tenim que
det E 1 = − 1 , det E 2 = λ i det E 3 = 1.
Per tant és cert que
det
M
1 = det{E 1 } det M, det
M
2 = det{E 2 } det M i det
M
3 = det E 3 det M.
Lema 1.2.6. Qualsevol matriu A ∈ M n (k) es pot “descompondre” en un seguit de
matrius elementals E 1
,... , E
m
∈ M
n (k) de manera que
A = E
m
· · · E
1 Id n
Teorema 1.2.7. Per dues matrius A, B ∈ M n (k) qualssevol,
det(AB) = det A · det B = det(BA).
Demostració. Qualsevol matriu A ∈ M n (k) es pot descompondre en un seguit d’ope-
racions elementals sobre la matriu identitat (lema 1.2.6). És a dir, existeixen matrius
elementals E 1
,... , E
m
∈ M
n (k) tals que
A = E
m
· · · E
2
E
1
Per tant
AB = (E
m
· · · E
2
E
1
)B.
1.3. SISTEMES SIMULTANIS 11
Aplicant el lema 1.2.5 recursivament:
det(AB) = det E m · det(E m − 1
· · · E
1
B) =
= det E m · det E m − 1 · det(E m − 2
· · · E
1
B) = · · ·
· · · = det E m · · · · · det E 1 · det B. (1.18)
Ara, tornant a aplicar 1.2.5 recursivament però en sentit recíproc,
det(AB) = [det E m · · · · · det E 2 · det E 1 ] · det B =
[
det E m · · · · · det E 3 · det(E 2 E 1 )
]
det B =
[
det E m · · · · · det E 4 · det(E 3
E
2
E
1
]
· B = · · ·
· · · = det(E m
· · · E
1 ) det B = det A · det B.
El fet que det(AB) = det(BA) és conseqüència directa d’això últim i de la commutabilitat
de la multiplicació entre escalars.
1.3 Sistemes simultanis
L’objectiu d’aquesta secció és resoldre sistemes amb la mateixa matriu A ∈ M m,n però
variant els termes independents, d’aquesta forma:
Ax
(1) = b
(1) ,... , Ax
( r ) = b
( r ) .
Equivalentment, es tractaria de trobar la matriu X ∈ M m,r tal que
AX = (b 1 · · · b r ︸ ︷︷ ︸
B
La manera més raonable i eficient de resoldre aquest sistema (AX = B) és mitjançant
Gauss-Jordan a la matriu: (
A | b
(1) · · · b
( r )
)
En matrius M ∈ M m,n (incloent el cas m = n), el mètode consisteix en aplicar eliminació
gaussiana fins obtenir la forma reduïda de la matriu: atenció, l’ampliada! Observem com,
depenent del cas, podria no donar-se un sistema compatible determinat.
Suposem que ara ja tenim la matriu en forma reduïda, ara haurem de substituir cap
enrere ("back-substitution") de tal manera que ens quedi (Id n |S). Aleshores cada vector
columna de la matriu S és cada vector solució del sistema simultani.
Una aplicació d’aquest mètode és el problema de trobar l’inversa d’una matriu quadrada
(de dimensió n). Podem pensar que estem resolent un sistema simultani, ja que estaríem
resolent alhora:
Ax
( i ) = e i ∀i = 1, ..., n
On e i és el vector columna amb ’1’ a la entrada i-èssima i amb ’0’ pertot altra. Aleshores
usaríem Gauss-Jordan i la matriu resultant seria, de fet, A
− 1 = S.
Tema 2
Espais vectorials
2.1 Definicions d’espais i subespais vectorials
Definició 2.1.1. Un espai vectorial V sobre un cos k (també anomenat un k-espai
vectorial) equipat d’una operació “suma”
(+) : V × V → V
(v, w) 7 → v + w ,
i d’una operació “multiplicació escalar”
(·) : k × V → V
(λ, v) 7 → λ · v ,
és un conjunt d’elements, anomenats vectors , que compleix les següents propietats:
i) Tancat per la suma. ∀~v, ~w ∈ V ~v + w~ ∈ V
ii) Tancat per la multiplicació escalar. ∀λ ∈ K ∀~v ∈ V λ · ~v ∈ V
iii) Associativitat de la suma. ∀~u, ~v, ~w ∈ V (~u + ~v) + w~ = ~u + (~v + w~)
iv) Commutabilitat de la suma. ∀~v, ~w ∈ V ~v + w~ = w~ + ~v
v) Identitat additiva. ∃ 0 ∈ V : ∀~v ∈ V ~v + 0 = ~v
vi) Inversa additiva. ∀~v ∈ V ∃(−~v) ∈ V : ~v + (−~v) = 0
vii) Identitat multiplicativa. Sigui 1 la identitat multiplicativa del cos k. Llavors,
∀~v ∈ V 1 · ~v = ~v.
viii) Compatibilitat de la multiplicació escalar i la multiplicació en el cos.
∀a, b ∈ k ∀~v ∈ V a(b · ~v) = (ab) · ~v.
ix) Distributivitat de la multiplicació escalar respecte la suma en el cos.
∀a, b ∈ k ∀~v ∈ V (a + b)~v = a~v + b~v.
x) Distributivitat de la multiplicació escalar respecte la suma vectorial.
∀a ∈ k ∀~v, ~w ∈ V a(~v + w~) = a~v + a ~w.
Tots els elements λ ∈ k s’anomenen escalars.
14 TEMA 2. ESPAIS VECTORIALS
Definició 2.1.2. Sigui E un k-espai vectorial. Es diu que un subconjunt V ⊆ E és un
subespai vectorial d’E si (i només si) V també és un espai vectorial per sí mateix (és a
dir, és tancat per la suma, per la multiplicació escalar, etc.).
Observació 2.1.3. Per demostrar que un subconjunt V d’un espai vectorial E és un
subespai vectorial només cal comprovar que és tancat per la suma i per la multiplicació
escalar; la resta de propietats “s’hereten” de l’espai E.
Ara definirem la forma més comú d’espai vectorial, a la qual pertanyen espais familiars
com R
n .
Definició 2.1.4. Sigui k un cos. Definirem k
n , on n ∈ N, com el conjunt de totes les
n-tuples (conjunts ordenats de cardinal n) d’elements que pertanyen al cos k.
Proposició 2.1.5. Per tot cos k i natural n ∈ N (n 6 = 0), k
n és un espai vectorial sobre
el cos k si definim el seu producte intern com a la suma component a component i el
producte extern com la multiplicació per l’escalar component a component.
Per convenció, quan ens referim a k
n emprarem la definició anterior de suma i multipli-
cació escalar.
2.2 Dependència lineal
Definició 2.2.1. Es diu que els vectors d’un conjunt {v 1 ,... , v n } d’un k-espai vectorial
són linealment dependents (abreviat l.d.) si i només si
∃λ 1 ,... , λ n ∈ k :
∃i : λ i
n ∑
i =
λ i v i
.
Si els vectors d’un conjunt no són l.d. es diu que són linealment independents (abreviat
l.i.).
Corol
lari 2.2.2. S’obté directament a partir de la definició 2.2.1 que:
i) Qualsevol conjunt de vectors que contingui l’element neutre
0 és linealment depen-
dent.
ii) Dos vectors són linealment dependents entre sí si i només si són proporcionals.
iii) Si un conjunt de vectors és l.i., qualsevol subconjunt d’aquest també ho és.
iv) Si els vectors v 1 ,... , v k són linealment dependents, almenys un d’aquests es pot
expressar com a combinació lineal dels altres.
Demostració.
i) Per qualsevol λ ∈ k, λ~0 =
- Per tant, per un conjunt de vectors {v 1 ,... , v n
sempre existirà una combinació
0 · v 1
que suma
0 , sent λ 6 = 0. Per tant, aplicant la definició, els vectors {v 1 ,... , v n ,~ 0 }
són linealment dependents.
16 TEMA 2. ESPAIS VECTORIALS
Tenint en compte la definició 2.2.1, que les columnes d’A siguin l.d. implica que existeixen
coeficients x 1 ,... , x n no tots ells zero, tals que
x 1
a 11
a m 1
a 1 n
a mn
que, pel que acabem de veure, és equivalent a
∃x ∈ k
n : x 6 =
0 ∧ Ax = 0.
Lema 2.2.4. Si un conjunt de vectors {v 1 ,... , v m } és l.i., si substituïm un dels vectors
v k per una combinació lineal dels vectors v 1 ,... , v n (on el k-èsim coeficient és no nul),
v
′
k
n ∑
i =
μ i v i , on μ 1 ,... , μ n ∈ R , μ k
el conjunt de vectors {v 1 ,... , v
′
k
,... , v n } seguirà sent l.i..
Demostració. Suposem que no. Llavors
∃λ 1 ,... , λ n ∈ R : ∃i : λ i
∑
i 6 = k
λ i v i
′
k
Substituint v
′
k
pel seu valor corresponent,
∃i : λ i
∑
i 6 = k
λ i v i
n ∑
i =
μ i v i
Ara demostrem que λ k no pot ser zero. Si ho fos, hi hauria d’haver per força un λ i
amb i 6 = k (ja que hem imposat que ∃i : λ i
= 0 per la definició de l.d.), i per tant existiria
una combinació lineal no nul
la dels vectors v 1 ,... , v k − 1 , v k + ,... , v n que suma
0 , cosa que
entraria en contradicció amb la hipòtesi que v 1 ,... , v n són l.i. (vegeu l’apartat iii) del
corol
lari 2.2.2).
Com que λ k
= 0 i per hipòtesi μ k
= 0, concloem que λ k μ k
= 0. Per tant, tenim que
∑
i 6 = k
(λ i + λ k μ i ) v i + λ k μ k v k =
0 ∧ λ k μ k 6 = 0. (2.2)
A partir de (2.2) veiem que existeix una combinació no nul
la dels vectors v 1 ,... , v n que
suma
0 , però per hipòtesi aquests vectors són l.i.; contradicció.
Teorema 2.2.5. Sigui A ∈ M m × n (k) una matriu qualsevol i sigui
A la seva forma
esglaonada (per files).
i) Les files d’A que corresponen (tenen el mateix índex) a les files d’
A que tenen un
pivot són l.i. entre elles. Qualsevol conjunt format per la unió de totes aquestes
files i qualsevol altra fila (de les que no tenen associat un pivot) és l.d..
2.2. DEPENDÈNCIA LINEAL 17
ii) Les columnes d’A que corresponen a les columnes d’
A que tenen un pivot són l.i.
entre elles. Qualsevol conjunt format per la unió de totes aquestes columnes i
qualsevol altra columna (de les que no tenen associat un pivot) és l.d..
Demostració.
i) Denotarem amb a i la i-èsima fila d’A. Sigui k el nombre de files d’A que tenen
pivot; per la definició de l’algorisme de Gauss, són les k primeres files. Primer
demostrarem que a i ,... , a k són l.i.. Siguin j 1 , j 2 ,... , j k els índexos de la columna
que correspon al pivot de les files a 1 , a 2 ,... , a k respectivament. Suposem que
∃λ 1 ,... , λ k ∈ k : λ 1 a 1
Per la definició de la forma esglaonada d’una matriu (seguint l’algorisme de Gauss),
a 1 serà l’única fila amb un coeficient no nul a la posició j 1
. Per tant, λ 1
= 0. A
més, a 2 serà l’única fila a part d’a 1 amb un coeficient no nul a la posició j 2 ; com que
λ 1 ja és 0 , λ 2 només pot ser 0. Seguint aquest raonament inductiu concloem que
tots els coeficients han de ser nuls. Per tant, aplicant la definició 2.2.1, els vectors
a 1 , a 2 ,... , a k són l.i..
Ara demostrarem que a 1 ,... , a k són l.i.. Sabem cada una de les files a i s’obté a
partir de la fila a i sumada amb una combinació lineal de totes les files anteriors
(a 1 ,... , a i − 1 ). Podem “desfer” aquestes operacions sumant-li a a i una combinació
de les files a 1 ,... , a i − 1 de manera que la suma sigui a i (vegeu l’exemple 2.2.6). Per
tant, si prenem i = k, pel lema 2.2.4, el conjunt {a 1 ,... , a k − 1 , a k } seguirà sent
l.i.. Podem repetir aquest procés per k − 1 , k − 2 ,... , 1 , concloent que el conjunt
{a 1 ,... , a k } és l.i..
Per demostrar que cadascuna de les files a k + ,... , a m és l.d. amb el conjunt
{a 1 ,... , a k } només cal veure que, per definició de forma esglaonada,
∀i ∈ {k + 1,... , m} : a i =
i que cada fila a i s’ha obtingut sumant-li a a i una combinació lineal de totes les files
anteriors:
∀i ∈ { 1 ,... , m} : a i = a i + λ 1 a 1 + · · · + λ i − 1 a i − 1 on λ 1 ,... , λ i − 1 ∈ k.
Per tant tenim que
∀i ∈ {k + 1,... , m} : a i
- λ 1 a 1
- · · · + λ i − 1 a i − 1
és a dir, per tot i ∈ {k + 1,... , m}, el conjunt de vectors {a 1 ,... , a k ,... , a i } és l.d..
Pel que acabem d’observar, el conjunt {a 1 ,... , a k , a k + } és l.d.:
∃λ 1 ,... , λ k ∈ k : λ 1 a 1 + · · · + λ k a k + a k +1 =
Per tant a k +1 es pot expressar com a combinació lineal de a 1 ,... , a k :
a k + = −λ 1 a 1 − · · · − λ k a k
D’altra banda, el conjunt {a 1 ,... , a k , a k + , a k + } també és l.d.:
∃μ 1 ,... , μ k + ∈ k : μ 1 a 1
- · · · + μ k a k
- μ k + a k +
- a k +
2.3. GENERADORS, BASE I DIMENSIÓ 19
llavors R j = α 1
R
j 1 +· · ·+α `
AR
j` (vegeu l’exemple de (2.5) per més claredat—on les
entrades α 1 ,... , α ` estan representades per asteriscs), i només cal aplicar el mateix
raonament que abans per concloure que A j és l.d. amb A j 1
,... , A
jk
Exemple 2.2.6. Esglaonem la següent matriu:
A =
9
2
11
2
101
4
95
4
= A.
Veiem que
a 1 = a 1
a 2
a 3
a 1
a 2 = a 3
Corol
lari 2.2.7. El rang d’una matriu és equivalent al nombre de files linealment inde-
pendents
1 i al nombre de columnes linealment independents.
Demostració. La definició anterior que havíem fet de rang per una matriu A ∈ M m × n (k)
qualsevol era “el nombre de pivots en la forma esglaonada d’A”. Pel teorema 2.2.5,
sabem que a cada pivot correspon (biunívocament) una fila/columna l.i. d’A. A més,
en el mateix teorema hem demostrat que no hi pot haver un conjunt de files/columnes
l.i. de cardinal més gran que el nombre de pivots. Per tant, el nombre de pivots d’A
coincideix amb el (màxim) nombre de files l.i..
2.3 Generadors, base i dimensió
Definició 2.3.1. Donat un conjunt de vectors G = {v 1 ,... , v m } dins d’un espai vectorial
E, anomenarem “espai generat per v 1 ,... , v m ” al conjunt de combinacions lineals dels
vectors v 1 ,... , v k —és a dir,
{v | ∃λ 1 ,... , λ m ∈ R : v = λ 1 v 1
Ho denotarem
V = [v 1 ,... , v m ] o [G].
Proposició 2.3.2. Sigui E un espai vectorial. L’espai generat per un conjunt de vectors
{v 1 ,... , v m } ⊆ E és el subespai vectorial d’E que conté v 1 ,... , v k més petit.
1 Quan ens referim al “nombre de files/columnes/vectors l.i.” d’un conjunt C , estem fent un abús del
llenguatge, perquè aquest nombre depèn del subconjunt en qüestió: en realitat, ens referim al cardinal
del subconjunt més gran de vectors l.i. de C.
20 TEMA 2. ESPAIS VECTORIALS
Demostració. El conjunt de combinacions lineals de v 1 ,... , v k és un espai vectorial:
∀u, w ∈ [v 1 ,... , v k
]
∃λ 1 ,... , λ m ∈ R : u =
m ∑
i =
λ i v i
∃μ 1 ,... , μ m ∈ R : u =
m ∑
i =
μ i v i
⇒ u + v =
m ∑
i =
λ i v i
m ∑
i =
μ i v i
m ∑
i =
(λ i
- μ i )v i ∈ [v 1 ,... , v k
] ;
∀c ∈ R, u ∈ [v 1 ,... , v k ] ∃λ 1 ,... , λ m ∈ R : u =
m ∑
i =
λ i v i
⇒ cu = c
m ∑
i =
λ i v i =
m ∑
i =
(cλ i )v i ∈ [v 1 ,... , v k ].
Suposem que hi ha un subespai vectorial S d’E ue contingui v 1 ,... , v k que és “més petit”
que [v 1 ,... , v k ]—és a dir, un subespai que conté “menys” elements. Llavors hi hauria
almenys un element de [v 1 ,... , v k ] que no pertanyeria a S, però això implicaria que hi
ha una combinació lineal de v 1 ,... , v k que no pertany a S, mentre que per definició els
subespais vectorials estan tancats per combinacions lineals; contradicció.
Proposició 2.3.3. Si v 1 ,... , v k són l.i. i generen un subespai vectorial V , i u /∈ V , llavors
u, v 1 ,... , v k són l.i. entre sí.
Demostració. Suposem que v 1 ,... , v k , u són l.d.:
∃λ 1 ,... , λ k , μ ∈ k : ∃i :^ λ i 6 = 0 ∨ μ 6 = 0 ∧
k ∑
i =
λ i v i + μu =
Veiem que μ no pot ser zero, ja que, si ho fos, hi hauria una combinació λ 1 v 1
(on almenys un λ i
= 0) que sumaria
0 , cosa que contradiria la hipòtesi de que v 1 ,... , v k
són l.i.. Per tant u es pot expressar com a combinació lineal de v 1 ,... , v k
u = −
μ
k ∑
i =
λ i v i
ergo, u ∈ V —contradicció.
Definició 2.3.4. Direm que un subespai vectorial V ⊆ E és finitament generat si existeix
un conjunt finit de vectors G = {v 1 ,... , v k } ⊆ E tal que V = [v 1 ,... , v k ]. En aquest cas
direm que G és un “conjunt de generadors” de V , o que v 1 ,... v k “generen” V.
Lema 2.3.5. Sigui V un espai vectorial finitament generat per G = {v 1 ,... , v m }—és a
dir, V = [v 1 ,... , v m ]. Llavors, si substituïm un dels vectors v k ∈ G per una combinació
lineal dels vectors de G—on el k-èsim coeficient és no nul—,
v
′
k
m ∑
i =
μ i v i , on μ 1 ,... , μ m ∈ R , μ k
G
′ = {v i ∈ G | i 6 = k} ∪ {v
′
k
G
′ segueix sent un conjunt de generadors de V.
