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Universidad de Cádiz. Facultad de Ciencias de la Educación. Campus Universitario
de Puerto Real. Polígono Río San Pedro, 11510 Puerto Real, Cádiz. Tlfno. (956)
(Recibido Diciembre 2006; aceptado Enero 2006).
Biblid (0214-137X (2005) 21; 55-77)
Resumen: El estudio de la detección temprana de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas es un objetivo prioritario de la investigación educativa para intentar que ningún niño o niña se quede atrás en sus aprendizajes. Diversos estudios convergen en la idea de que el constructo “conciencia numérica”, de forma análoga al de conciencia fonológica en el caso de la lectura, puede ser una herramienta importante para avanzar en este campo. En este artículo documentamos la conceptualización, el origen y desarrollo de este constructo, así como los instrumentos de evaluación e intervención del mismo. Asimismo, se plantean los problemas que su desarrollo está produciendo en el ámbito de la educación y las implicaciones prácticas que de él se derivan. Palabras claves : Conciencia numérica; Dificultades de aprendizaje de las matemáticas; Matemática temprana; Test de evaluación matemática temprana; Programas de intervención.
Summary The study of early detection of difficulties in learning Mathematics, to avoid children’s school problems, is one of the priorities of educational research. Many studies share the idea that the construct of “numerical awareness”, in the same way as the phonological awareness in the case of reading, may be an important tool to make progress in this field. In this essay we document the conceptualization, origin and development of this construct, as well as its assessment and intervention tools. We also deal with the problems its development is causing in the field of education as well as with the practical implications deriving from it. Key words: Numerical awareness, difficulties in learning Mathematics, Early Mathematics, Early Mathematics Education test.
El constructo “conciencia numérica”. Su
importancia en la detección y prevención
de las dificultades de aprendizaje de las
matemáticas
Manuel Aguilar, José I. Navarro, Concepción Alcalde y
Esperanza Marchena
Résumé L’étude de la détection précoce des difficultés de l’apprentissage des mathématiques est l’un des objectifs prioritaires de la recherche éducative, afin qu’aucun enfant ne reste en arrière dans son apprentissage. Plusieurs études affirment que le construit « conscience numérique », de même que la conscience phonologique dans le cas de la lecture, peut-être un outil important pour avancer dans ce domaine. Dans cet article, nous analysons le concept, l’origine et le développement de ce construit, ainsi que ses instruments d’évaluation et d’intervention. Nous posons également les problèmes que son développement produit dans le monde de l’éducation et ses implications pratiques. Mots-clé: Conscience numérique ; Difficultés de l’apprentissage des mathématiques ; Mathématique précoce ; Test d’évaluation mathématique précoce ; Programmes d’intervention.
Manuel Aguilar, José I. Navarro, Concepción Alcalde y Esperanza Marchena
actitudes negativas hacia todo lo que podríamos denominar alfabetización numérica (ALBSU, 1987; Cockcroft, 1982; Cornelius 1992). Estos hallazgos señalan la importancia de una intervención temprana sobre las DAM y de ello dan cuenta algunos estudios en los que se muestra que las diferencias entre los niños (con DAM y sin DAM) se incrementan con los años de escolaridad (Aubrey, 1993; Wright, 1991, 1994; Young-Loveridge, 1989, 1991) si no se realiza una intervención que palie o elimine las diferencias.
Parece pertinente, pues, plantearse la importancia de contar con algún instrumento con el que podamos detectar tempranamente al alumnado con dificultades de aprendizaje de las matemáticas. En lo que sigue queremos presentar un constructo cuya operacionalización permitiría contar con ese instrumento y en el que grupos de investigadores de disciplinas como la psicología básica y del desarrollo, la educación matemática y la educación especial llevan algunos años tratando de conceptualizar, operativizar, explicar, evaluar, y estudiar sus repercusiones en el aprendizaje posterior. Nos referimos a la conciencia numérica o sentido numérico.
Conceptualización de la conciencia numérica o sentido numérico
Desde hace más de veinte años se vienen realizando estudios de investigación que coinciden en demostrar la importancia que tiene el conocimiento metalingüístico y, dentro de éste, el desarrollo de la conciencia fonológica en el proceso de acceso, identificación y lectura de las palabras escritas, así como en sus dificultades. La importancia de las habilidades metalingüísticas y, en concreto, la capacidad de representación fonológica o de segmentación lingüística se justifica por la propia naturaleza alfabética de nuestro sistema de escritura, tal y como nos señala Alegría (2006). En el campo de las matemáticas está emergiendo un constructo semejante al de conciencia fonológica, es el de ” conciencia numérica o sentido numérico “. Ha sido un grupo de investigadores provenientes del campo de la psicología cognitiva del desarrollo quien se ha interesado por este constructo de “sentido numérico” (Bereiter y Scardamalia, 1981; Dehaene, 1997; Greeno, 1991; Okamoto y Case, 1996). Como constructo emergente no existe acuerdo sobre su conceptualización y operacionalización. Desafortunadamente, como mencionan Gersten, Jordan y Flojo (2005), no hay dos investigadores que definan el sentido numérico de la misma forma. Intentemos un acercamiento a su conceptualización y operacionalización.
El sentido numérico se refiere a la fluidez y flexibilidad que los niños pueden desarrollar con los números - o fallar en ello-, entender su significado y todo lo relacionado con ellos (Berch, 1998). Aunque es un constructo que está en los inicios de su desarrollo Gersten y Chard (1999) citando a Case (1998) lo describen así: “ El sentido numérico es difícil de definir pero fácil de reconocer. Los estudiantes con buen sentido numérico pueden avanzar sin obstáculos entre las expresiones verbales de las cantidades y sus expresiones numéricas. Pueden inventar sus propios procedimientos para realizar operaciones con números. Pueden representar el mismo número de múltiples formas dependiendo del contexto y del propósito de esta representación. Pueden evaluar números y patrones de números: especialmente lo que deriva del conocimiento profundo del sistema de numeración. Tienen un buen sentido numérico de la magnitud y pueden reconocer grandes errores numéricos, esto es, errores que están fuera en el orden de magnitudes. Finalmente, pueden pensar o encontrar de una manera lógica las soluciones de problemas numéricos o expresiones numéricas- sin precisar ningún cálculo ” (p. 1).
El constructo “conciencia numérica” en la detección y prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas Kalchman, Mos y Case (2001) precisan las características de un buen sentido numérico, éste incluye: “ (a) fluidez en la estimación y juicio de magnitudes, (b) habilidad para reconocer resultados erróneos, (c) flexibilidad en el cálculo mental, (d) habilidad para moverse entre distintas representaciones y para usar la representación más apropiada” (p. 1).
Con algunos ejemplos podemos ilustrar a qué nos referimos con el “ sentido numérico ”. Bruer (1997) subraya que los niños de 3 y 4 años pueden comparar dos números pequeños por tamaño y determinar cuál es más grande y cuál es más pequeño. También muestra la variedad de respuestas que los niños dan a tareas matemáticas; por ejemplo, un niño de 5 años puede conocer que 9 es 2 más que 7, mientras que otro niño sólo conoce que 9 es mayor que 7, y otro compañero puede que ni siquiera conozca que 9 y 7 son cifras que representan cantidades. La forma de manifestar este conocimiento también es variada, así, un niño puede conocer estas diferencias contando con los dedos, otro usando bloques o fichas; otro, simplemente lo tiene ya almacenado en su memoria a largo plazo y lo recupera inmediatamente sin apoyo material. En un estudio realizado por Aguilar, Ramiro y López (2002) encontramos que una mayoría de los niños de 5 años evaluados (98 alumnos y alumnas) al final del primer trimestre de 3º de Educación Infantil conocen cómo sumar y restar 1 y 2 a pequeñas cantidades (más del 70% de la muestra), o que más de la mitad de los niños y niñas evaluados conoce los dobles de los cinco primeros numerales (1 a 5). Resultados similares los encontraron Case, Harris y Graham (1992) y Griffin, Case y Siegler (1994). Los estudios de estos autores resaltaron la importancia del nivel socioeconómico en sentido numérico. Al inicio del preescolar ya se encuentran diferencias en la discriminación de cantidades, al preguntar a los niños “ ¿qué número es mayor 4 ó 5? ” los resultados diferían en función del nivel socioeconómico. Los de nivel alto daban la respuesta correcta en el 96% de los casos, contrastando con solo un 18% de respuestas correctas en los de bajo nivel. Esta escasez de conocimiento puede ser explicada por una falta de instrucción explícita en casa. Basándose en observaciones realizadas en los hogares concluyeron que estos déficit son debidos a una falta de experiencias de los niños con los adultos y con los hermanos que podría facilitar la asociación entre cantidad y cifra y que, a su vez, permite el desarrollo del sentido numérico. Este hallazgo es similar a la relación entre desarrollo de la conciencia fonológica y status socioeconómico que está bien documentado por Adams (1990). Asimismo esto resalta la importancia de una instrucción diferenciada de las matemáticas en la edad preescolar, como más adelante veremos.
Veamos otros ejemplos ajustados a contenidos más avanzados; por ejemplo, recordar y conocer que cuando un número se multiplica por 5 acabará en 0, o en 5; que al multiplicar 6 X 8 , el resultado tiene que ser más que 6 X 6, o que 7 X 9 tiene que ser menos que 70 (que es 7 X 10), reconocer pronto que 3 X 4 es lo mismo que 4 X 3 y que por tanto vale la misma respuesta (aunque aquí la propiedad conmutativa es relativa, no es lo mismo 4 niños con 3 lápices que 3 niños con 4 lápices), etc. McIntosh (1996), sugiere que un problema como 5/12 + 3/7 puede ser resuelto con el algoritmo convencional, hallando el denominador común, o por reconocimiento de que cada fracción es algo menos que 1. La primera aproximación puede ser hecha de forma memorística aplicando un procedimiento algorítmico, la segunda forma requiere alguna comprensión del significado de los números y de sus relaciones entre ellos; esto es, el sentido numérico. Otro buen ejemplo del sentido numérico y su flexibilidad nos lo proporcionan Li y Silver (2000). Sugieren que la instrucción meramente algorítmica de las operaciones básicas puede ser un obstáculo para resolver situaciones problemáticas. Propusieron, entre otras tareas, un problema de los denominado división con resto. El problema fue el siguiente: “ Mary tiene 22 cintas de video. Quiere comprar algunas cajas para guardarlas. En cada caja caben 5 cintas. ¿Cuántas cajas tiene que comprar Mary para guardar todas las cintas? ”. Una mayoría de niños
El constructo “conciencia numérica” en la detección y prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas
(Figura 1). La misma sorpresa se produce en los niños al retirar uno de los ratones y al levantar la pantalla siguen apareciendo dos. Según esta autora, la sorpresa que manifiesta el niño indica que la situación de cambio producido viola sus expectativas de solución correcta. A pesar de que sus juicios son toscos y sólo funcionan con cantidades pequeñas de objetos, parece ser que sus razonamientos son genuinamente cuantitativos. En la Tabla 1 se presentan los principales hitos del desarrollo matemático temprano (Butterworth, 2005; Varol y Farran, 2006).
Figura 1. Muestra de los estímulos usados por Wynn en sus experimentos sobre razonamiento cuantitativo en bebés (Wynn, 1992).
Tabla 1. Principales logros del desarrollo numérico temprano Edad Destreza 0;0 Puede discriminar pequeñas numerosidades (Antell y Keating, 1983) 0;4 Puede sumar y restar uno (Wynn, 1992) 0;11 Discrimina aumentos y disminuciones en pequeñas numerosidades (Brannon, 2002) 2;0 Empieza a aprender la secuencia de números contando verbalmente (Fuson, 1992) 2;6 Reconoce qué palabra-número significa más que uno (Wynn, 1990). 3;0 Cuenta uno a uno un pequeño número de objetos (Wynn, 1990 3;6 Puede añadir y quitar uno con pequeños objetos y con palabras (Starkey y Gelman, 1982); puede usar el principio cardinal para establecer la numerosidad de un conjunto (Gelman y Gallistel, 1978) 4:0 Puede usar los dedos para ayudarse a sumar (Fuson y Kwon, 1992) 5;0 Puede sumar pequeños números sin empezar a contar uno de los sumandos (Starkey y Gelman, 1982). Puede sumar hasta 5 sin contar (Hunting, 2003) 5;6 Entiende la propiedad conmutativa de la suma y cuenta para sumar desde el sumando mayor (Carpenter y Moser, 1982); puede contar correctamente hasta 40 (Fuson, 1988) 6;0 Conservación del número (Piaget, 1952) 6;6 Entiende la complementariedad de la suma y la resta (Bryant et al., 1999); puede contar correctamente hasta 80 (Fuson, 1988) 7;0 Recupera algunas combinaciones numéricas de su memoria
Manuel Aguilar, José I. Navarro, Concepción Alcalde y Esperanza Marchena También desde la psicología del desarrollo se establece una diferenciación en términos de destrezas generales y específicas del sentido numérico. Case y sus colaboradores (Griffin y Case, 1997; Okamoto y Case, 1996) plantean el desarrollo de una “ estructura central conceptual ” para los números. Ésta sería una estructura cognitiva que le permite al niño comprender el mundo de la cantidad y de los números de una manera más sofisticada, hasta llegar a adquirir nuevos conocimientos en este dominio, y resolver un amplio rango de problemas. Esta estructura conceptual se desarrollaría a lo largo de dos estadios durante la infancia. Uno sería el período predimensional, adquirido sobre los 4 años, en este período los niños tienen dos esquemas matemáticos que van por separado: el esquema global de cantidad que permite responder a preguntas sobre “ más ” y “ menos ”, y el esquema inicial de “conteo” que le permite enumerar el número de objetos que hay en un conjunto. Un componente importante de esta estructura conceptual es la línea o recta numérica mental, que emerge alrededor de los 6 años (e.g. ya en el período unidimensional) en el que los dos esquemas anteriores están unidos o mezclados. Para estos investigadores, la línea numérica mental consiste en el conocimiento de la escritura de los numerales, conocimiento de las etiquetas verbales de los números, la habilidad de señalar los objetos cuando se cuentan o enumeran y el conocimiento del cardinal de un conjunto. Dentro de la estructura central conceptual del número en cada estadio de desarrollo existiría una relación recíproca entre las destrezas generales (e.g. la categorización usada en situaciones de conteo) y las específicas (e.g. el conocimiento de las etiquetas verbales o palabras de los números (Case, 1996). El desarrollo del sentido numérico sería una combinación del progreso en las destrezas generales y específicas. En este proceso, el aprendizaje asociativo y conceptual se alimenta uno a otro de una manera dinámica. Cuando un niño aprende una destreza específica, como la habilidad para comparar la numerosidad de dos conjuntos, áquella tiene un impacto en la destreza general de comparación de magnitudes.
Al igual que sucede con la conciencia fonológica, el sentido numérico o conciencia numérica no es una simple posesión sino que se compone de una serie de destrezas que el niño va adquiriendo y desarrollando (Bruer, 1997; Ginsburg, 1997; Griffin, Case y Siegler, 1994, Lock, 1996; Markovits y Sowder, 1988). Un aspecto crucial es que a este desarrollo contribuye de forma importante las interacciones que el niño establece con su medio social y familiar (Gersten y Chard, 1999; Ginsburg, 1997; Griffin, Case y Siegler, 1994). El sentido numérico comenzaría a partir de determinadas capacidades biológicas y se desarrollaría, al principio, a través de interacciones sociales con adultos y con otros niños en las actividades de juego (Ginsburg, 1997). Las actividades informales son una buena vía para el desarrollo del sentido numérico de la misma forma que las interacciones del lenguaje natural pueden ayudar a desarrollar en el niño las destrezas verbales, como el vocabulario o la conciencia fonológica. Estas actividades informales proporcionan un conocimiento y uso del número en distintos contextos: el número de años que cumple (contexto de medida), los números de los pisos cuando sube en el ascensor (contexto ordinal), los escalones que cuenta con los padres al subir y bajar la escalera (secuencia de conteo), los kilos que pesa (contexto de medida), el número de la camiseta de su jugador favorito (el número como etiqueta), etc. Unos niños pueden haber adquirido un buen sentido numérico de manera informal y otros no y por tanto necesitan una instrucción formal. En definitiva, como señala Pérez-Echeverría (2005), el sentido numérico y el conocimiento matemático es el resultado de una serie de procesos a partir de unas representaciones elementales biológicamente predispuestas, que posibilitan la participación en prácticas culturales que implican el número y el aprendizaje de herramientas culturales específicas, lo que a su vez hace posible el aprendizaje y comprensión de sistemas matemáticos más formales.
Manuel Aguilar, José I. Navarro, Concepción Alcalde y Esperanza Marchena
evidenciado que la rapidez en la recuperación de las combinaciones numéricas básicas es un correlato crítico de la eficiencia en matemáticas (Orrantia, 2005), los datos de estos estudios sugieren que, por ejemplo, la velocidad con que los estudiantes pueden identificar qué número es mayor de los dos que se le proporcionan, o contar hacia atrás desde un número dado, serían variables importantes a medir para detectar dificultades de aprendizaje.
Nuestro grupo de investigación ha diseñado y elaborado una prueba para evaluar el conocimiento matemático temprano que recoge algunos de los componentes del sentido numérico (Aguilar, Navarro y Cazorla, 2002). Se compone de una serie de subtests que evalúan:
- Niveles de conteo verbal hacia adelante y hacia atrás, 2. Niveles de identificación de numerales, 3. Niveles de aritmética temprana y 4. Niveles de desarrollo de las estrategias de cálculo con decenas. En cada uno de los subtests se establece una serie de estadios progresivos. El rango de aplicación de esta prueba es de los 4 a los 7-8 años, aunque puede aplicarse a niños y niñas mayores que presenten dificultades de aprendizaje.
Otra prueba que nuestro grupo está tipificando en España es el Test de Evaluación Matemática Temprana de Utrech (TEMTU) (Van de Rijt, Van Luit y Pennings, 1999). Es una prueba de papel y lápiz dirigida a evaluar el nivel de competencia matemática temprana, alguno de cuyos componentes tendría relación con el sentido numérico. En su origen fue desarrollado para grupos de edad de 4 a 7 años (2º y 3º de Educación Infantil, y 1º de Educación Primaria).
El test consta de tres versiones paralelas (A, B y C) de 40 ítems cada una de ellas. El TEMTU se compone de 8 subtest y cada uno de ellos es evaluado a través de cinco ítemes. Los ocho componentes del test reúnen tareas relacionadas con las operaciones piagetianas y tareas relacionadas con el conteo.
El TEMTU se aplica individualmente. De esta forma el evaluador puede tener una medida del desarrollo del sentido numérico del alumno/a. Comparando la ejecución de un niño con otros de su grupo normativo se puede determinar el nivel de competencia matemática temprana. Los componentes de la prueba son los siguientes.
1. Conceptos de comparación. Este aspecto se refiere al uso de conceptos de comparación entre dos situaciones no equivalentes relacionados con el cardinal, el ordinal y la medida. Son conceptos usados con frecuencia en las matemáticas: el más grande, el más pequeño, el que tiene más, el que tiene menos, etc. Un ejemplo de ítem de este subtest es: “ Aquí ves unos indios. Señala el indio que tiene menos plumas que éste que tiene su arco y sus flechas ” (figura 2). Gelman y Baillargeon (1983) mostraron que los niños de cuatro años son capaces de usar estos conceptos. 2. Clasificación. Se refiere al agrupamiento de objetos basándose en una o más características. Un ejemplo de ítem es: “ Mira estos cuadrados. ¿Puedes señalar el que tiene cinco bloques pero ningún triángulo? ”. Con la tarea de clasificación se pretende conocer si los niños, basándose en la semejanza y en las diferencias, pueden distinguir entre objetos y grupos de ellos. 3. Correspondencia uno a uno. Este subtest evalúa el principio de correspondencia uno a uno. El niño debe ser capaz de establecer esta correspondencia entre diferentes objetos que son presentados simultáneamente. Una muestra de este subtest es el ítem 12: el evaluador le da al niño 15 cubos y le presenta un dibujo que representa las caras de dos dados con el patrón
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de puntos de 5 y 6. “ Yo he lanzado dos dados y he conseguido estos puntos. ¿Puedes darme la misma cantidad de cubos? ”.
Figura 2. Ítem del TEMTU
4. Seriación. La seriación es ordenar una serie de objetos discretos según un rango determinado. Se trata de averiguar si los niños son capaces de reconocer una serie de objetos ordenados. Los términos usados en esta tarea son: ordenadas de mayor a menor, del más delgado al más grueso, de la más pequeña a la más grande. Ejemplo: “ Aquí ves unos cuadrados que tienen unos palitos. Señala el cuadrado donde los palitos están ordenados del más delgado al más grueso ”. 5. Conteo verbal (uso de la secuencia numérica oral). En este subtest se evalúa la secuencia numérica oral hasta el 20. La secuencia puede ser expresada contando hacia adelante, hacia atrás y relacionándola con el aspecto cardinal y ordinal del número. Ejemplo: “ Cuenta desde el 9 hasta el 15 ". 6. Conteo estructurado. Este aspecto se refiere a contar un conjunto de objetos que son presentados con una disposición ordenada o desordenada. Los niños pueden señalar con el dedo los objetos que cuentan. Se trata de averiguar si son capaces de mostrar coordinación entre contar y señalar. Ejemplo: El evaluador pone sobre la mesa un total de 20 bloques de forma desorganizada. El niño es requerido a que cuente todos los bloques. Se le permite señalar o tocar los bloques con los dedos o mover los bloques contados de un sitio a otro. 7. Resultado del conteo (sin señalar). El niño tiene que contar cantidades que son presentadas como colecciones estructuradas o no estructuradas y no se le permite señalar o apuntar con los dedos los objetos que tiene que contar. Un ejemplo es: Se le presenta al niño 15 cubos en tres filas de cinco cubos cada una con un espacio entre ellos y se le pregunta: “ ¿Cuántos cubos hay aquí? ”. 8. Conocimiento general de los números. Se refiere a la aplicación de la numeración a las situaciones de la vida diaria que son presentadas en formas de dibujo. Un ejemplo es: “ Tú
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numérica ”. Por ejemplo, en uno de los juegos los niños tiran un dado y el que obtiene el número mayor mueve su ficha a través de un recta numérica trazada en un tablero. El primero que llegue al final de la recta gana. Estos juegos desarrollan habilidades relacionadas con la conciencia numérica, habilidades como comparar la magnitud de dos números, contar hacia adelante y hacia atrás en la recta numérica y realizar una conversión de cada uno de los números en objetos cuando se cuenta (Figura 3). Cuando aplicaron este programa a alumnado de primero de primaria de bajo nivel socioeconómico, los resultados fueron muy positivos. El 87% del grupo tratado demostró una mejora en las habilidades de numeración y en otros procedimientos aritméticos. En el grupo control la mejora sólo afectó al 25 % de los participantes. Griffin y Case (1996) consideran que este sencillo procedimiento puede aumentar el sentido numérico de los niños de ambientes más desfavorecidos.
Figura 3. El juego de la recta numérica (Griffin y Case, 1996).
El juego de la recta numérica
El programa Rightstart consiste en una serie de 30 juegos diseñados para desarrollar la estructura conceptual implicada en la utilización de la recta numérica mental. Cada juego permite que se apliquen múltiples niveles de comprensión, de manera que niños con diferentes conocimientos y ritmos de aprendizaje aprenden algo en cada actividad. Cada juego está diseñado para ser motivador tanto afectiva como cognitivamente y cada uno incluye interacción física, social y verbal. El juego de la recta numérica es un juego de mesa que se juega en pequeños grupos; cada niño recibe una recta numérica codificada con color. Después de tirar los dados, el niño calcula la cantidad y pide al banquero que le dé esa cantidad de fichas para contar. Después las fichas se colocan en secuencia sobre la recta numérica al mismo tiempo que se cuenta en voz alta. A continuación mueve otra pieza sobre las fichas que tiene que contar (y cuenta otra vez) y la deja sobre la última ficha. Cuando los niños se sienten cómodos con este nivel de juego (es decir, cuando ya pueden contar bien, cuantificar conjuntos, igualar conjuntos con números), se les pide que elaboren juicios sobre quién está más cerca de la meta, y cómo lo saben. Se introducen cartas que requieren que la posición en la recta numérica aumente o disminuya en uno. Los otros 29 juegos son diferentes al juego de la recta numérica, pero también proporcionan oportunidades para que los niños consoliden la misma estructura de conocimiento. Más de 50% de los juegos son cooperativos en vez de competitivos. Las oportunidades o necesidades de explicar una evaluación cuantitativa están integradas en muchos de los juegos y se detallan en el manual del maestro en forma de preguntas que se deben hacer a los estudiantes mientras juegan.
Programas instruccionales de este tipo que incluyen el desarrollo del sentido numérico permiten una reducción significativa del fracaso en matemáticas. Sin embargo, hay algunas cuestiones que precisan ser aclaradas; se sabe que realizar actividades numéricas con actividades simultáneas de aprendizaje de automatización de las combinaciones numéricas básicas son factores claves para reducir las dificultades en matemáticas (Gersten y Chard, 1999). Esta idea es contraria a la propuesta por Pellegrino y Goldman (1987) que sugieren un aprendizaje secuencial y progresivo de estas destrezas. Es también probable que algunos estudiantes, que alcancen un buen dominio en las combinaciones numéricas básicas y luego son enseñados con
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los algoritmos tradicionales de cálculo, nunca desarrollen un buen sentido numérico, como ocurre con niños y niñas con necesidades educativas especiales, que a pesar de la instrucción en conciencia fonológica y un trabajo repetido en fluidez lectora y exactitud, fallan al desarrollar una buena conciencia fonémica o no desarrollan un objetivo claro y el placer por la lectura.
En otro estudio, Siegler y Stern (1998) mostraron cómo los estudiantes pueden desarrollar estrategias eficientes para resolver problemas relacionados con sentencias numéricas. Observaron, por ejemplo, que los niños aprenden a resolver lo que ellos denominan problemas de inversión (A + B - B = A). En otras palabras, observaron cómo los estudiantes infieren este principio después de realizar un rango de problemas, como”¿ Cuánto es 6 + 3 menos 3?, )Cuánto es 4 más 8 menos 4? ”. La selección de los ejemplos que se presentan a los niños parece ser un factor clave para incrementar el aprendizaje de este principio. Estos investigadores notaron que la velocidad y precisión en el cálculo así como el aprendizaje conceptual influyeron en el desarrollo de la eficacia en el uso de estrategias de resolución de problemas. Argumentan que la instrucción en matemáticas debe tener en cuenta todas estas facetas.
Un programa eficaz de intervención fue desarrollado por Ginsburg, Balfanz y Greenes (1999). El programa denominado Big Math for Little Kids. Al igual que el programa Rightstart , introduce juegos de matemáticas y actividades en el currículum de preescolar en alumnado con desventaja. Mientras el programa de Rightstart acentúa las habilidades específicas que parecen ser importantes en el desarrollo del número, el programa Big Math subraya la importancia de plantear situaciones en las que el niño trabaje con una variedad de conceptos matemáticos importantes, no necesariamente solo con la numeración. Parte de la base de que en el desarrollo de los programas diseñados se refleja una visión de la educación matemática temprana limitada a contar (conteo), identificar formas, y a alguna medida simple de comparación. En los programas en los que se introducen ideas más sofisticadas, lo hacen con frecuencia fugazmente y no reconocidas. Por consiguiente, la meta del programa Big Math es ayudar a los niños a explorar “ grandes ” ideas matemáticas y por amplios períodos de tiempo. Incluye actividades diseñadas para hacerlas individualmente, en pequeño grupo y para toda la clase. Estas son los seis contenidos básicos que debe contener el currículum: 1. Número. Uso de números y sus distintas formas y representaciones. 2. Forma. 3. Medida. 4. Operando con números. 5. Patrones y lógica. 6. Navegación y conceptos espaciales.
El programa incluye una amplia variedad de juegos, historias o cuentos y dibujos. Por ejemplo, una de las tareas implica una línea simétrica que se le presenta a los niños con dibujos de medias caras, y se les pide que completen las caras. Alguna tarea espacial incluye juegos como la “ búsqueda del tesoro ” en el que los niños tienen que alcanzar y localizar un objeto a través de pistas sobre su posición relativa en relación a otros objetos. Una de las actividades numéricas incluye escuchar una historia, “ Muchos cincos ”, en el que los niños representan el número cinco a través de palabras en diferentes lenguajes, el numeral escrito con cifras y varios tipos de cuentas o configuraciones de puntos. Los niños son alentados a que piensen en una amplia variedad de de formas de representar otros números.
Los resultados de este programa son prometedores, y sugieren que los niños pequeños pueden abordar mejor las matemáticas y sus desafíos, y podrían ir más allá del simple conteo memorístico, que el enfoque tradicional ha sugerido. Los autores también sugieren, de las observaciones realizadas, que los niños mejoran en la frecuencia y uso del lenguaje matemático, sus explicaciones son más robustas y profundas, este fenómeno es más interesante en el caso de los niños que no tienen el inglés como lengua nativa.
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El software “Jugando con Números”
El software “Jugando con los Números”, (Navarro, Ruiz, Alcalde, Aguilar y Marchena, 2005) es un programa destinado al desarrollo de habilidades de pensamiento matemático. Las actividades del software se agrupan en cuatro programas para el aprendizaje de conceptos relacionados con la adquisición del número y la habilidad de contar.
Está dirigido especialmente a los alumnos escolarizados en el segundo ciclo de Educación Infantil y primer ciclo de Primaria. De forma intuitiva, ayudado por iconos claros, el niño puede pasar de un programa a otro con gran facilidad, sin una excesiva ayuda del adulto.
Los programas permiten la opción de guardar en una base de datos los resultados del alumno en cada sesión de trabajo y el orden de presentación de las actividades se realiza de forma aleatoria. “Jugando con números” se inicia con una pantalla de presentación que permite acceder a los diferentes programas: "Aprendiendo a Contar", "Cadena de Números", “Calcular” y "Comenúmeros".
“Aprendiendo a contar” se compone de 5 actividades de conteo que permiten iniciar al alumno en el aprendizaje de la secuencia numérica; mediante actividades dirigidas a diferenciar entre los objetos contados y no contados. Se compone de cuatro subprogramas, cada uno de ellos presenta diferentes niveles de complejidad que se manifiestan en la igual o desigualdad al número que se solicita contar, que el ordenador vaya o no nombrando los números de la secuencia solicitada cuando tocan uno de los objetos, que aparezca en pantalla el número correspondiente al contado o los objetos aparecen ordenador o desordenados. La dificultad entre los distintos niveles se manifiesta cuando el objeto contado desaparece, se modifica o no cambia.
Después de que el alumno pulse la palanca roja, indicando que ha terminado la tarea solicitada, si la respuesta es correcta, aparece una pantalla de refuerzo, mientras el ordenador presenta fuegos artificiales con sonido. Por el contrario, cuando no es correcta, el ordenador produce una ayuda donde le indica cuál debería haber sido su respuesta correcta.
El feedback se adapta al tipo de error cometido: Si se pasa o no llega al número solicitado y pulsa la palanca roja nos indica el error y el número en el que debería haberse parado. Si el alumno cuenta dos veces el mismo objeto, el programa interrumpe el conteo, indica el error de repetición y el número al que debería haber llegado contando. Las actividades posteriores se llevan a cabo con el mismo procedimiento, con el único cambio del modelo presentado aleatoriamente y la orden relacionada con el número de objetos que componen la secuencia numérica.
“Cadena de números”. Este programa consolida en el alumno el aprendizaje de la secuencia numérica, mediante actividades dirigidas a la adquisición del recuento hacia delante y hacia atrás, empezando a partir de un número predeterminado menor que diez. Progresivamente este inicio podrá ser desde las decenas. Asimismo, estas actividades permitirán, no sólo la adquisición de la secuencia numérica, sino la posibilidad de descubrir, mediante operaciones, cuantos números hay entre ambos números solicitados. Presenta dos subprogramas con nueve niveles de complejidad: En los cuatro primeros niveles (N1, N2, N3, N4) su actividad se centra en contar hacia delante, los cuatro siguientes (N5, N6, N7, N8) su actividad se centra en contar
El constructo “conciencia numérica” en la detección y prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas
hacia atrás. El último nivel (N9), solicita el número de casillas que hay entre los dos números indicados, hacia delante o hacia atrás.
Después de que el alumno pulse el botón rojo, en cualquiera de los niveles, si la respuesta es correcta, aparece una pantalla de refuerzo, mientras el ordenador emite aplausos producidos por los marcianillos. Por el contrario, cuando no es correcta, el ordenador produce una ayuda adaptada al error cometido de la siguiente manera:
- Cuando el error consiste en no llegar al número solicitado, el programa indica el tipo de error y cuál hubiera sido la respuesta correcta.
- Cuando el error consiste en pasarse del número solicitado, el programa interrumpe el conteo, indica el tipo de error y la respuesta correcta.
En el nivel N9 el ordenador le pide que sitúe el marcianillo en una determinada casilla, cuando ha realizado la orden correctamente de dice que cuente las casillas que hay hasta una determinada y que la solución la dé marcando el número en la calculadora o en el teclado.
"Calcular". Con este programa pretendemos desarrollar en el alumno el concepto del valor de cardinalidad de los números a través de actividades prácticas. Mediante la presentación de diferentes tareas, el alumno descubrirá que sólo el último número del proceso de recuento representa el valor o cantidad de objetos del conjunto concreto contado. El programa se compone de cinco prácticas, que de manera aleatoria solicitan al alumno que indique cuantos objetos hay, pudiendo oscilar el número desde uno hasta veinte.
En cada una de las actividades el ordenador pide que cuente cuantos objetos aparecen en la pantalla y que lo indique en la calculadora que aparece a la derecha de la pantalla.
Si el alumno no da la respuesta correcta, le dice que no está bien y le indica la respuesta correcta.
"Comenúmeros". Con el programa pretendemos desarrollar en el alumno la discriminación gráfica de los números, así como la asociación con su respectiva etiqueta a través de actividades prácticas. Al finalizar el programa aparece una pantalla de resultados donde se designan los siguientes datos: el número de aciertos, el número de errores, el número de errores intermedios y una puntuación final.
Algunas cuestiones pendientes
Aunque es evidente que la analogía ” conciencia fonológica-conciencia numérica ” está lejos de tener una perfecta concordancia, puede ser útil para adentrarse en un mayor conocimiento y profundización del desarrollo matemático y sus dificultades. Un ejemplo de las diferencias entre los dos constructos es que el aprendizaje inicial de la lectura es claramente dependiente del procesamiento fonológico en general (no solo la conciencia fonológica), mientras que el desarrollo de las habilidades matemáticas lo es en menor medida, como ha quedado de manifiesto en algunos estudios (Hecht, Torgesen, Wagner y Rashotte, 2001; Solsona, 2003; Solsona, Navarro y Aguilar, 2006). Estos estudios intentan encontrar cuál es la contribución común de los componentes del procesamiento fonológico a las habilidades en lectura y matemáticas.
El constructo “conciencia numérica” en la detección y prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas
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