El m´etodo de bipartici´on
Antonio Garv´ın
Por el teorema de los ceros de bolzano, toda funci´on continua que en los extremos de un
intervalo tome valores de signo opuesto, tiene al menos un cero en ese intervalo.
Este resultado proporciona un sencillo m´etodo para buscar ceros de cualquier funci´on conti-
nua, que a la vez nos proporciona una cota del error que se comete al aproximar este cero.
La idea es localizar un cambio de signo, coger el punto medio del intervalo y si no es cero,
quedarnos con uno de los dos subintervalos donde se da el cambio de signo. Repetir esto hasta
que localicemos un cero, o bien parar cuando el intervalo sea suficientemente peque˜no.
Consideremos la ecuaci´on x2−4 = 0.
Para la funci´on y=x2−4 si x= 0, y=x2−4 = −4<0 y si x= 3, y=x2−4=9−4=5>0
.
As´ı hay un cero entre 0 y 3.
−−−−−0−−−−−−1−−−−−−−−2−−−−−−−−3−−−−−−
Podemos ahora probar por ejemplo con 1 y 2.
x= 1, y = 12−4 = −3<0
x= 2, y = 22−4=0
Y nos encontramos con un cero de la ecuaci´on. Este caso rara vez se va a dar y lo m´as que
podremos es acercarnos al cero. Bien, este ejemplo era facil porque es claro que √4 = 2.
¿Y si queremos la raiz cuadrada de 527?
√527
x2−527 = 0
Buscamos un cambio de signo
x= 12, y = 122−527 =
= 144 −527 <0
x= 20, y = 202−527 =
= 400 −527 <0
x= 30 y= 302−527 >0
La raiz est´a entre 20 y 30
−−−−−−−−−−−20 −−−−−−−−−−−−−−−−−30 − −−− −− − −− −−−
252−527 = 625 −527 >0, raiz entre 20 y 25. 242−527 = 576 −527 >0, 24 se pasa, raiz
entre 20 y 24.
232= 529
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